内蒙古呼和浩特市2027届高三年级第一次质量监测数学+答案

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得

呼和浩特市2027届高三年级第一次质量监测部分分，有选错的得0分)

9.已知直线L₁:x+2y-1=0,直线l₂:ax-y+2=0则

A.l₂恒过定点(0,2)

数学

B.L₁⊥l₂时，a=-2

注意事项：

C.1,/l₂时，l₁与l₂的距离d=√5

1.考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置。

D.l₁与l₂相交于点P,过P且与两直线所成角相等的直线有两条

2.考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效。考试结束后，把答题卡

10.如图在正方体ABCD-A₁B₁C₁D中，下列判断正确的是

交回。

A.A₁B与AC夹角为30°

3.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

B.平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁

C.直线A₁B与平面A₁B₁CD夹角为30°

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

D.直线B₁D⊥平面A₁BC₁

1.复数2+3i的共轭复数是

11.设等比数列{a。},记其公比q,前n项和为S,若S₃,S,,S₆成等差数列，则

A.-2-3iB.-2+3iC.2-3iD.2+3i

{的前项和为

2.已知集合A={-1,-2,1,4},B={xl√x²=-x}则A∩B=B.a³}n

A.{-1,1}B.C.{-1,4}D.{-1,-2}

C.{log₂|a。|}是等差数列，且公差为D.2ag=a₂+a₅

3.曲线y=Inx+2在点(e,3)处的切线斜率是

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

C.3D.e

12.已知(a-√x)⁹的展开式中x³的系数是84,则a=

4.已知向量a,b的夹角为1,则(a-b)(a+2b)的值为

13.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知∠B=45°,BC边上的高为a,则

A.1B.3C.2+√3D.2-√3cosA=

5.内蒙古足球超级联赛由内蒙古12个盟市各组建一支球队参加，第一阶段常规赛中，每

14.P、Q为椭圆Z)的4个顶点、两个焦点中的两点，|PQ|=√13,

队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，则共要进行多少场常规赛

椭圆的离心率为

A.11场B.22场C.66场D.132场

四、简答题(本题共5小题，共77分.简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

6.已知正三棱台的高为√3,上、下底面边长分别为1和7,则该棱台的侧面积为

15.(13分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为

A.12√6B.24√6C.12√3D.18√6

矩形，对角线AC与BD交于点0,PA⊥平面

7.已知2sin2a=cos2a-1(sinα≠0),则

ABCD,E为PD的中点.

B.-3C.3D.±3(1)证明：PB//平面AEC;

.求PB到平面

8.函数f(x)满足

AEC的距离.

A.405B.407C.409D.411

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16.(15分)先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将出现的点数分别记为a、b.18.(17分)已知函数f(x)=2√3sinxcosx+2cos²x-1.

(1)设向量求的概率；

m=(a,b),n=(1,-1),m·n=0(1)求函数f(x)的对称轴方程；

(2)现对上述试验重复进行3次(每次试验为先后抛掷骰子两次),每次试验的结果相(2)若x∈[0,π],求f(x)的零点个数；

互独立。将每次试验中事件“m·π=0”发生记作一次“成功”.记X为3次试验中

,且x₁≠x₂时，有f(x₁)=f(x₂),求f(x₁+x₂).

“成功”的次数.

(i)求X的分布列；

(ii)求X的数学期望E(X)和方差D(X).

19.(17分)已知函数+x.

17.(15分)已知双曲线,实轴长为4,其中一条渐近线方程f(x)=xlnx-ax²

(1)当a=0时，求f(x)的单调递减区间；

(2)对Vx≥1,f(x)≤2(x-1)恒成立，求实数a的取值范围；

(1)求C的方程；(3)若曲线y=f(x)上存在两个不同的点A、B,使得A、B关于直线y=x对称，求实数

a的取值范围.

(2)设双曲线C的两个焦点分别为F₁、F₂,M(x₀,y₀)为C上的点，若△MF₁F₂为钝角三角

形，求y。的取值范围.

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2027届高三年级第一次质量检测数学试题参考答案

一、单选题

12345678

CDACDAAB

二、多选题

91011

ADBCDABD

三、填空题

12.1

四、解答题

15.(1)证明：连接EO,因为四边形ABCD为矩形，

所以点O为BD的中点.……………………1分

又点E为PD的中点，所以EO//PB.…………3分

因为EOC平面AEC,PB女平面AEC,所以PBI平面AEC.……………5分

(2)法一：由题意，建立空间直角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),,即)……………7分

设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),由

可取n=(2,-√3,3)……………10分

则AB在法向量n上的投影长度为……………12分

故PB到平面AEC的距离为……………13分

法二由(1)知PB//平面AEC,∴PB到平面AEC的距离为B到平面AEC的距离.…………7分

在△AEC中，,AE=1,…………9分

由VB-AEC=VE-ABC

设B到平面AEC的距离为h

解得………12分

故PB到平面AEC的距离为…………………13分

16.解：(1)设事件A表示“m·n=0”,…………2分

由m·n=0,知a=b,此时事件A有6种情况……………………4分

而所有事件的总数为36

所以………………6分

(2)X的可能取值为0,1,2,3

由题知…………………7分

………………8分

………………9分

………………………10分

……………………11分

故X的分布列为

X0123

P

………………12分

ECO=3×=.Dc-3××5-5………………15分

17.(1)易知2a=4,

则α=2,b=√22分

所以C的方程…………5分

(2)不妨设点M(xo,vo)在第一象限，

当∠F₁F₂M=90°时，将M(√6,yo)代入双曲线得yo=1………………7分

故当∠F₁F₂M为钝角时，yo>1………………………9分

当∠F₁MF₂=900时，将xo²+yo²=6与双曲线方程联立得………12分

故当∠F₁MF₂为钝角时，…………………14分

综上，结合双曲线的对称性可……………15分

18、解：(1)∵…………1分

由,k∈z解得.,k∈z………………3分

∴f(x)的对称轴方程为k∈z………5分

(2)令,则

因为y=sint在]上有两个零点…………………7分

所以f(x)在[0,π]上有两个零点………………………9分

(3)…………………11分

∵x₁≠x₂时，f(x₁)=f(x₂)……13分

…………………15分

………………17分

19.解：(1)a=0时，f(x)=xlnx+x(x>0)

∴f'(x)=1nx+2,令f'(x)=1nx+2<0得·………2分

∴f(x)的单调减区间是