2026年江苏省苏教版高二数学第7章三角函数练习题

2026年江苏省苏教版高二数学第7章三角函数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，已知角A=45°，角B=60°，边BC=6，则边AC的长度为（）A.3√2B.3√3C.2√6D.4√2解析：由正弦定理可得：AC/sinB=BC/sinA，即AC/√3/2=6/√2，解得AC=3√2。故选A。2.函数y=2sin(3x+π/4)的图像关于y轴对称，则x的取值集合为（）A.{x|x=kπ+π/12,k∈Z}B.{x|x=kπ-π/12,k∈Z}C.{x|x=kπ/3+π/4,k∈Z}D.{x|x=kπ/3-π/4,k∈Z}解析：由3x+π/4=kπ+π/2，解得x=kπ/3+π/12。故选A。3.函数y=cos^2x-sin^2x的最小正周期为（）A.πB.2πC.4πD.8π解析：y=cos2x，周期T=2π/|ω|=2π/2=π。故选A。4.已知点P(a,b)在直线y=√3x上，且sin(α+β)=1，其中α=arctan(a/b)，β=arctan(b/a)，则a与b的关系为（）A.a=bB.a=-bC.a^2+b^2=1D.a^2-b^2=0解析：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(a/b)(b/a)+(b/a)(a/b)=2ab/a^2+b^2=1，即a^2+b^2=2ab，化简得(a-b)^2=0，故a=b。故选A。5.函数y=sin(x+π/6)cos(x-π/6)的最小值为（）A.-1/2B.0C.1/2D.1解析：y=(sinxcosπ/6+cosxsinπ/6)(sinxcos(-π/6)+cosxsin(-π/6))=(√3/2sinx+1/2cosx)(√3/2sinx-1/2cosx)=3/4sin^2x-1/4cos^2x=1/2sin^2x-1/4=1/2(1-cos2x)-1/4=1/4-1/2cos2x，当cos2x=1时，y最小为-1/2。故选A。6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，若f(π/4)=0且f(π/2)=1，则φ的值为（）A.π/4B.3π/4C.π/2D.5π/4解析：由f(π/4)=sin(ωπ/4+φ)=0，得ωπ/4+φ=kπ；由f(π/2)=sin(ωπ/2+φ)=1，得ωπ/2+φ=2kπ+π/2，两式相减得ωπ/4=2kπ/2，即ω=8k，取k=1得ω=8，代入得φ=π/2-2kπ=π/2。故选C。7.函数y=sin(x-π/3)+cos(x+π/6)的最大值为（）A.√3B.√2C.1D.2解析：y=sinxcos(-π/3)-cosxsin(-π/3)+cosxcosπ/6-sinxsinπ/6=√3/2sinx+1/2cosx+√3/2cosx-1/2sinx=√3sinx+√3cosx=√6sin(x+π/4)，最大值为√6。故选A。8.已知函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx，若f(α)=1，则α的可能取值为（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4解析：f(x)=1/2(1-cos2x)+sin2x=1/2+1/2sin2x-1/2cos2x=1/2+√2/2sin(2x-π/4)，由f(α)=1，得1/2+√2/2sin(2α-π/4)=1，即sin(2α-π/4)=√2/2，解得2α-π/4=π/4+2kπ或2α-π/4=3π/4+2kπ，即α=π/4+kπ或α=π/2+kπ，取k=0得α=π/4。故选A。9.函数y=sin(x+π/6)cos(x-π/3)的图像关于点(π/2,0)对称，则x的取值集合为（）A.{x|x=kπ+π/3,k∈Z}B.{x|x=kπ-π/6,k∈Z}C.{x|x=kπ+π/6,k∈Z}D.{x|x=kπ+π/2,k∈Z}解析：由sin(x+π/6)cos(x-π/3)=sin(π/2)，得x+π/6=kπ+π/2或x-π/3=kπ+π/2，解得x=kπ+π/3或x=kπ+5π/6。故选A。10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像向左平移π/4个单位后与y=cosx的图像重合，则ω的值为（）A.1B.2C.-1D.-2解析：f(x+π/4)=sin[ω(x+π/4)+φ]=cosx，即sin(ωx+πω/4+φ)=cosx，得ωx+πω/4+φ=kπ+π/2，对比cosx=sin(x+π/2)，得ω=-1，φ=kπ-π/4。故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y=sin(2x-π/3)的图像向右平移π/6个单位后，其解析式为__________。解：y=sin[2(x-π/6)-π/3]=sin(2x-π/3-π/3)=sin(2x-2π/3)。参考答案：sin(2x-2π/3)2.若sinα+cosα=√2，则sinαcosα的值为__________。解：由(sinα+cosα)^2=2，得1+2sinαcosα=2，解得sinαcosα=1/2。参考答案：1/23.函数y=2sin(3x+π/4)的图像关于y轴对称，则x的取值集合为__________。解：由3x+π/4=kπ+π/2，解得x=kπ/3+π/12。参考答案：{x|x=kπ/3+π/12,k∈Z}4.函数y=sin^2x-cos^2x的最小正周期为__________。解：y=-cos2x，周期T=2π/|ω|=2π/2=π。参考答案：π5.已知点P(a,b)在直线y=√3x上，且sin(α+β)=1，其中α=arctan(a/b)，β=arctan(b/a)，则a与b的关系为__________。解：sin(α+β)=2ab/a^2+b^2=1，即a^2+b^2=2ab，化简得(a-b)^2=0，故a=b。参考答案：a=b6.函数y=sin(x+π/6)cos(x-π/6)的最小值为__________。解：y=1/4-1/2cos2x，当cos2x=1时，y最小为-1/2。参考答案：-1/27.函数f(x)=sin(ωx+φ)，若f(π/4)=0且f(π/2)=1，则φ的值为__________。解：由ωπ/4+φ=kπ，ωπ/2+φ=2kπ+π/2，解得ω=8，φ=π/2。参考答案：π/28.函数y=sin(x-π/3)+cos(x+π/6)的最大值为__________。解：y=√6sin(x+π/4)，最大值为√6。参考答案：√69.函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx，若f(α)=1，则α的可能取值为__________。解：由1/2sin2x-1/4=1，得sin(2α-π/4)=√2/2，解得α=π/4。参考答案：π/410.函数y=sin(x+π/6)cos(x-π/3)的图像关于点(π/2,0)对称，则x的取值集合为__________。解：由sin(x+π/6)cos(x-π/3)=0，得x+π/6=kπ或x-π/3=kπ，解得x=kπ+π/6或x=kπ+5π/6。参考答案：{x|x=kπ+π/6,k∈Z}三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y=sin(2x+π/3)的图像与y=cos(2x-π/6)的图像完全重合。解：y=cos(2x-π/6)=sin(2x-π/6+π/2)=sin(2x+π/3)，故正确。参考答案：正确2.若sinα=1/2且cosα=√3/2，则α=π/3。解：α=π/3或α=2π/3，故错误。参考答案：错误3.函数y=sin^2x+cos^2x的最小正周期为2π。解：y=1，周期为0，故错误。参考答案：错误4.函数y=sin(ωx+φ)的图像向左平移π/4个单位后与y=cosx的图像重合，则ω=1。解：ω=-1，故错误。参考答案：错误5.函数y=sin(x+π/6)cos(x-π/6)的最小值为-1/2。解：y=1/4-1/2cos2x，最小值为-1/2，故正确。参考答案：正确6.函数y=sin(2x-π/3)的图像向右平移π/6个单位后，其解析式为sin(2x-π/2)。解：y=sin(2x-π/2)，故正确。参考答案：正确7.函数y=sin^2x-cos^2x的最小正周期为π。解：y=-cos2x，周期为π，故正确。参考答案：正确8.函数f(x)=sin(ωx+φ)，若f(π/4)=0且f(π/2)=1，则φ=π/2。解：φ=π/2，故正确。参考答案：正确9.函数y=sin(x-π/3)+cos(x+π/6)的最大值为√2。解：y=√6sin(x+π/4)，最大值为√6，故错误。参考答案：错误10.函数y=sin(x+π/6)cos(x-π/3)的图像关于点(π/2,0)对称，则x的取值集合为{x|x=kπ+π/6,k∈Z}。解：x=kπ+π/6或x=kπ+5π/6，故错误。参考答案：错误四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，若f(π/4)=0且f(π/2)=1，求ω和φ的值。解：由f(π/4)=sin(ωπ/4+φ)=0，得ωπ/4+φ=kπ；由f(π/2)=sin(ωπ/2+φ)=1，得ωπ/2+φ=2kπ+π/2，两式相减得ωπ/4=2kπ/2，即ω=8k，取k=1得ω=8，代入得φ=π/2-2kπ=π/2。参考答案：ω=8，φ=π/22.函数y=sin(2x-π/3)的图像向右平移π/6个单位后，求其解析式。解：y=sin[2(x-π/6)-π/3]=sin(2x-π/3-π/3)=sin(2x-2π/3)。参考答案：sin(2x-2π/3)3.函数y=sin(x-π/3)+cos(x+π/6)的最大值为多少？解：y=√6sin(x+π/4)，最大值为√6。参考答案：√64.函数y=sin(x+π/6)cos(x-π/3)的图像关于点(π/2,0)对称，求x的取值集合。解：由sin(x+π/6)cos(x-π/3)=0，得x+π/6=kπ或x-π/3=kπ，解得x=kπ+π/6或x=kπ+5π/6。参考答案：{x|x=kπ+π/6,k∈Z}5.函数y=sin^2x-cos^2x的最小正周期为多少？解：y=-cos2x，周期为π。参考答案：π6.已知点P(a,b)在直线y=√3x上，且sin(α+β)=1，其中α=arctan(a/b)，β=arctan(b/a)，求a与b的关系。解：sin(α+β)=2ab/a^2+b^2=1，即a^2+b^2=2ab，化简得(a-b)^2=0，故a=b。参考答案：a=b7.函数f(x)=sin(ωx+φ)，若f(π/4)=0且f(π/2)=1，求φ的值。解：由ωπ/4+φ=kπ，ωπ/2+φ=2kπ+π/2，解得ω=8，φ=π/2。参考答案：π/28.函数y=sin(x-π/3)+cos(x+π/6)的图像关于y轴对称，求x的取值集合。解：由sin(x-π/3)+cos(x+π/6)=0，得sinxcosπ/3-cosxsinπ/3+cosxcosπ/6-sinxsinπ/6=0，化简得sinx(1/2-1/2)+cosx(√3/2-1/2)=0，即√3/2cosx-1/2sinx=0，得tanx=√3，解得x=kπ+π/3。参考答案：{x|x=kπ+π/3,k∈Z}五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，若f(π/4)=0且f(π/2)=1，求ω和φ的值，并写出函数的解析式。解：由f(π/4)=sin(ωπ/4+φ)=0，得ωπ/4+φ=kπ；由f(π/2)=sin(ωπ/2+φ)=1，得ωπ/2+φ=2kπ+π/2，两式相减得ωπ/4=2kπ/2，即ω=8k，取k=1得ω=8，代入得φ=π/2-2kπ=π/2。解析：ω=8，φ=π/2，函数解析式为f(x)=sin(8x+π/2)=cos8x。参考答案：ω=8，φ=π/2，f(x)=cos8x2.函数y=sin(2x-π/3)的图像向右平移π/6个单位后，求其解析式，并求其最小正周期。解：y=sin[2(x-π/6)-π/3]=sin(2x-π/3-π/3)=sin(2x-2π/3)，周期T=2π/|ω|=2π/2=π。解析：解析式为sin(2x-2π/3)，周期为π。参考答案：sin(2x-2π/3)，周期为π3.函数y=sin(x-π/3)+cos(x+π/6)的最大值为多少？并求其最小正周期。解：y=√6sin(x+π/4)，最大值为√6，周期T=2π/|ω|=2π/1=2π。解析：最大值为√6，周期为2π。参考答案：√6，周期为2π4.函数y=sin(x+π/6)cos(x-π/3)的图像关于点(π/2,0)对称，求x的取值集合，并求其最小正周期。解：由sin(x+π/6)cos(x-π/3)=0，得x+π/6=kπ或x-π/3=kπ，解得x=kπ+π/6或x=kπ+5π/6，周期T=2π/|ω|=2π/1=2π。解析：取值集合为{x|x=kπ+π/6,k∈Z}，周期为2π。参考答案：{x|x=kπ+π/6,k∈Z}，周期为2π5.函数y=sin^2x-cos^2x的最小正周期为多少？并求其最大值和最小值。解：y=-cos2x，周期为π，最大值为1，最小值为-1。解析：周期为π，最大值为1，最小值为-1。参考答案：π，最大值为1，最小值为-16.已知点P(a,b)在直线y=√3x上，且sin(α+β)=1，其中α=arctan(a/b)，β=arctan(b/a)，求a与b的关系，并求sinα和cosβ的值。解：sin(α+β)=2ab/a^2+b^2=1，即a^2+b^2=2ab，化简得(a-b)^2=0，故a=b，sinα=a/√(a^2+b^2)=a/√(2a^2)=1/√2，cosβ=b/√(a^2+b^2)=b/√(2b^2)=1/√2。解析：a=b，sinα=1/√2，cosβ=1/√2。参考答案：a=b，sinα=1/√2，cosβ=1/√27.函数f(x)=sin(ωx+φ)，若f(π/4)=0且f(π/2)=1，求ω和φ的值，并写出函数的解析式，并求其最小正周期。解：由f(π/4)=sin(ωπ/4+φ)=0，得ωπ/4+φ=kπ；由f(π/2)=sin(ωπ/2+φ)=1，得ωπ/2+φ=2kπ+π/2，两式相减得ωπ/4=2kπ/2，即ω=8k，取k=1得ω=8，代入得φ=π/2-2kπ=π/2。解析：ω=8，φ=π/2，函数解析式为f(x)=sin(8x+π/2)=cos8x，周期T=2π/|ω|=2π/8=π/4。参考答案：ω=8，φ=π/2，f(x)=cos8x，周期为π/48.函数y=sin(x-π/3)+cos(x+π/6)的图像关于y轴对称，求其解析式，并求其最小正周期。解：由sin(x-π/3)+cos(x+π/6)=0，得sinxcosπ/3-cosxsinπ/3+c