北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》同步练习题（带答案）

第页北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》同步练习题（带答案）班级：__________姓名：__________学号：______得分：______【作业说明】本作业依据北师大版数学八年级上册第一章第1节「探索勾股定理」编写，共设两个课时，全部内容不超出本节的教学要求。第1课时勾股定理的探索与认识；第2课时勾股定理的验证与简单应用。说明：本章安排在「实数」之前，因此本作业中所有题目的边长都设计为整数或有限小数，不出现根号；涉及「斜边上的高」时，结果用分数表示。直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）将在第2节学习，本节不涉及。本节的核心结论直角三角形三边的名称与勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理的探索与认识一、知识梳理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b表示直角三角形的两条直角边，用c表示斜边，那么a2+b2=c2。2.名称的由来：我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦所以这个结论又叫做勾股定理，即勾2+股2=弦2。3.公式的三种变形：c2=a2+b2；a2=c2-b2；b2=c2-a2。已知任意两条边，就可以求出第三条边。4.探索的方法——在方格纸上数面积：分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，用数格子或割、补的方法算出它们的面积。在方格纸上探索直角三角形三边的关系结论：以两条直角边为边的正方形面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积。5.使用勾股定理的前提：①图形必须是直角三角形；②用之前先分清哪条边是斜边——斜边是直角所对的边，也是三条边中最长的边。【易错警示】①不是直角三角形不能用勾股定理。②弄错斜边是最常见的错误：在△ABC中，若∠B=90°，则斜边是AC，应写成AB2+BC2=AC2，而不是AB2+AC2=BC2。③三条边的单位要统一后才能代入计算。④边长一定是正数，由c2=25得c=5（负值不合题意，舍去）。二、基础训练（一）选择题（每小题4分，共20分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则AB的长是（）A.10B.12C.14D.1002.在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，AC=13，则BC的长是（）A.8B.12C.14D.183.下列说法正确的是（）A.任意三角形的三边都满足a2+b2=c2B.直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方C.直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方D.在Rt△ABC中，一定有AB2+BC2=AC24.一个直角三角形的两条直角边长分别是9和12，则这个三角形的周长是（）A.36B.30C.21D.545.分别以一个直角三角形的三条边为边向外作正方形，若两个较小正方形的面积分别是25和144则最大正方形的面积是（）A.119B.169C.13D.12（二）填空题（每小题4分，共20分）6.勾股定理：直角三角形两直角边的____________等于____________，用式子表示为____________________。7.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则c=________。8.在Rt△ABC中，∠C=90°，c=25，a=7，则b=________。9.一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm和12cm，则斜边上的高是________cm。10.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4，c=20，则a=________，b=________。（三）解答题（共60分）11.（16分）求下列直角三角形中未知边的长。(1)两条直角边分别是6和8，求斜边；(2)斜边是17，一条直角边是8，求另一条直角边；(3)斜边是41，一条直角边是9，求另一条直角边；(4)两条直角边之比是5:12，斜边是26，求这两条直角边。12.（14分）如图，方格纸中每个小方格的边长都是1，图②中直角三角形的两条直角边分别是3和2分别以它的三条边为边向外作正方形A、B、C。第12题图(1)用数格子（或割补）的方法分别求出正方形A、B、C的面积；(2)写出A、B、C三个面积之间的关系；(3)由此说出直角三角形三条边之间有怎样的关系。13.（14分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12。(1)求AB的长；(2)求△ABC的面积；(3)求AB边上的高CD。14.（16分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=15，AD=12，AC=13。第14题图(1)求BD的长；(2)求DC的长；(3)求BC的长和△ABC的面积。1探索勾股定理第2课时勾股定理的验证与简单应用一、知识梳理1.验证一：赵爽弦图（我国三国时期数学家赵爽的方法）赵爽弦图：用两种方法算同一个大正方形的面积大正方形的边长是c，中间小正方形的边长是b-a，所以c2=4×ab÷2+(b-a)2=2ab+a2-2ab+b2=a2+b2。2.验证二：伽菲尔德梯形证法用梯形面积验证勾股定理3.面积法的基本思想：用两种不同的方法去计算同一个图形的面积，再令两个结果相等，就能得到一个等式。这是本章最重要的数学思想，也叫「割补法」或「等积法」。4.求边长的两种基本类型：已知两边求第三边的两种类型5.常见的整数边直角三角形（三边都是整数，计算时很常用）：最短边另一直角边斜边最短边另一直角边斜边3458151768107242551213202129把上面任意一组数同时扩大相同的倍数，得到的三个数仍然是一个直角三角形的三边长例如3、4、5各扩大3倍得9、12、15。（这样的三个整数在下一节中叫做勾股数。）【易错警示】①面积法验证时，两种算法必须算的是同一个图形的面积。②(a+b)2与a2+b2不相等，中间还差2ab，化简时不要漏掉。③求斜边上的高时，用面积相等：两直角边的积÷2=斜边×斜边上的高÷2，所以高=两直角边的积÷斜边。④已知两条边而没有说明哪条是斜边时，要注意题目给出的直角在哪个顶点，不能随意假设。二、基础训练（一）选择题（每小题4分，共20分）1.在赵爽弦图中，大正方形的边长是（）A.aB.bC.cD.a+b2.在赵爽弦图中，若直角三角形的两条直角边分别是a、b（b>a），则中间小正方形的边长是（）A.b-aB.a+bC.cD.c-a3.用四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，由面积关系可以得到（）A.c2=4ab+(b-a)2B.c2=2ab+(b-a)2C.c2=4ab+(a+b)2D.c2=2ab+(a+b)24.伽菲尔德用梯形的面积验证勾股定理，他所用的梯形的面积等于（）A.(a+b)2÷2B.(a+b)2C.ab+c2D.ab÷2+c25.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，c=17，则这个三角形的面积是（）A.60B.68C.120D.136（二）填空题（每小题4分，共20分）6.在赵爽弦图中，大正方形的面积可以直接表示为________，也可以表示为____________________。7.用两种不同的方法计算同一个图形的面积来说明结论，这种方法叫做________法。8.一个直角三角形的两条直角边长分别是8和15，则斜边长是________，斜边上的高是________。9.在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，a:b=3:4，则a=________，b=________。10.把3、4、5各扩大到原来的6倍，得到____________________，它们________（填「能」或「不能」）作为一个直角三角形的三边长。（三）解答题（共60分）11.（16分）如图是赵爽弦图，它由4个全等的直角三角形（两条直角边分别是a、b，斜边是c）和中间一个小正方形拼成。第11题图(1)大正方形的边长是多少？它的面积怎样直接表示？(2)中间小正方形的边长是多少？(3)用「4个三角形+1个小正方形」的方法表示大正方形的面积；(4)由(1)、(3)写出等式并化简，你得到了什么结论？12.（14分）如图是伽菲尔德的「梯形证法」，点E在AB上，AE=a，EB=b，AD=b，BC=a，DE=EC=c，且∠DEC=90°。第12题图(1)用梯形面积公式表示梯形ABCD的面积；(2)用三个三角形面积的和表示梯形ABCD的面积；(3)由(1)、(2)相等，化简得到勾股定理。13.（14分）解下列各题。(1)一个直角三角形的两条直角边之比是3:4，周长是36cm，求它的斜边长；(2)一个直角三角形的斜边长是25cm，一条直角边长是15cm，求它的面积；(3)一个直角三角形的两条直角边分别是9cm和12cm，求斜边上的高。14.（16分）如图，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于点D。第14题图(1)设BD=x，用含x的式子分别表示AD2（在两个直角三角形中各写一次）；(2)列出方程并求出BD的长；(3)求AD的长和△ABC的面积。参考答案与解析第1课时勾股定理的探索与认识一、选择题1.A【解析】∠C=90°，所以AB是斜边。AB2=AC2+BC2=62+82=36+64=100，所以AB=10。选D的同学把AB2当成了AB，要注意最后一步开方。2.B【解析】∠B=90°，所以斜边是AC，不是BC。BC2=AC2-AB2=132-52=169-25=144，所以BC=12。3.C【解析】A中「任意三角形」错，必须是直角三角形；B中「任意两边」错，必须是两条直角边的平方和等于斜边的平方；D中没有指明直角是哪个角，若∠A=90°，则应是AB2+AC2=BC2。4.A【解析】斜边2=92+122=81+144=225，斜边=15。周长=9+12+15=36。5.B【解析】两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上正方形的面积所以最大正方形的面积=25+144=169。（选C的同学求成了斜边的长。）二、填空题6.平方和；斜边的平方；a2+b2=c27.5【解析】c2=32+42=25，c=5。8.24【解析】b2=c2-a2=252-72=625-49=576，b=24。9.【解析】斜边2=52+122=169，斜边=13。设斜边上的高为h，由面积相等得5×12÷2=13×h÷2所以h=5×12÷13=（cm）。10.12；16【解析】设a=3k，b=4k（k>0），则(3k)2+(4k)2=202，即25k2=400k2=16，k=4。所以a=12，b=16。（也可以直接想到3:4:5的整数组，20=5×4。）三、解答题11.（1）斜边2=62+82=100，斜边=10。（2）另一条直角边2=172-82=289-64=225，另一条直角边=15。（3）另一条直角边2=412-92=1681-81=1600，另一条直角边=40。（4）设两条直角边分别为5k、12k（k>0）则(5k)2+(12k)2=262，即169k2=676，k2=4，k=2。所以两条直角边分别是10和24。12.（1）正方形A在长为3的直角边上，A=32=9；正方形B在长为2的直角边上，B=22=4；正方形C在斜边上，用「补」的方法：把C放在一个5×5的大正方形中四个角上各有一个直角边为3、2的直角三角形所以C=52-4×(3×2÷2)=25-12=13。（2）A+B=C（因为9+4=13）。（3）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2。13.（1）AB2=AC2+BC2=52+122=169，AB=13。（2）S=AC×BC÷2=5×12÷2=30。（3）由AB×CD÷2=30，得13×CD=60所以CD=。【方法总结】直角三角形斜边上的高=两直角边的积÷斜边。14.（1）在Rt△ABD中，∠ADB=90°BD2=AB2-AD2=152-122=225-144=81，所以BD=9。（2）在Rt△ADC中，∠ADC=90°DC2=AC2-AD2=132-122=169-144=25，所以DC=5。（3）BC=BD+DC=9+5=14；S=BC×AD÷2=14×12÷2=84。【方法总结】高线AD是两个直角三角形的公共边，它把一般三角形转化成两个直角三角形。第2课时勾股定理的验证与简单应用一、选择题1.C【解析】弦图中每个直角三角形的斜边恰好是大正方形的一条边，所以大正方形的边长是c。2.A【解析】中间小正方形的边长等于两条直角边的差，即b-a。3.B【解析】4个三角形的面积和是4×ab÷2=2ab，小正方形的面积是(b-a)2所以c2=2ab+(b-a)2。A、C中把「4×ab÷2」错算成了4ab。4.A【解析】该梯形的两底分别是a、b，高是a+b面积=(a+b)×(a+b)÷2=(a+b)2÷2。选项D是三块三角形面积和的一部分，漏掉了一个ab÷2。5.A【解析】b2=c2-a2=172-82=289-64=225，b=15。面积=8×15÷2=60。二、填空题6.c2；2ab+(b-a)27.面积8.17；【解析】斜边2=82+152=64+225=289，斜边=17；斜边上的高=8×15÷17=。9.6；8【解析】设a=3k，b=4k，则25k2=100，k=2，所以a=6，b=8。10.18、24、30；能【解析】182+242=324+576=900=302，所以能作为直角三角形的三边长。三、解答题11.（1）大正方形的边长是每个直角三角形的斜边c，所以面积直接表示为c2。（2）中间小正方形的边长是b-a（设b>a）。（3）面积=4个三角形+小正方形=4×ab÷2+(b-a)2=2ab+(b-a)2。（4）由(1)、(3)得c2=2ab+(b-a)2化简右边：2ab+b2-2ab+a2=a2+b2所以a2+b2=c2，这正是勾股定理。12.（1）梯形ABCD的两底是AD=b与BC=a，高是AB=a+b所以S=(a+b)×(a+b)÷2=(a+b)2÷2。（2）梯形由Rt△ADE、Rt△BCE和Rt△DEC三块组成S=ab÷2+ab÷2+c2÷2=ab+c2÷2。（3）由(1)=(2)得(a+b)2÷2=ab+c2÷2两边同时乘2：(a+b)2=2ab+c2即a2+2ab+b2=2ab+c2所以a2+b2=c2。13.（1）设两条直角边分别为3k、4k，则斜