三角形的高中线与角平分线练习题

三角形的高中线与角平分线练习题三角形是平面几何的基本图形之一，而三角形的高、中线和角平分线则是其内部三条至关重要的特殊线段。它们不仅揭示了三角形的内在性质，更为解决几何问题提供了有力的工具。扎实掌握这三条线段的概念、性质及应用，是学好平面几何的基础。下面，我们通过一系列练习题来巩固和深化对这些知识的理解。一、核心概念梳理在开始练习之前，让我们简要回顾一下相关的核心概念，确保我们在同一个认知基础上展开：*三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形有三条高，它们所在的直线交于一点，这点称为三角形的垂心。*三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形有三条中线，它们交于一点，这点称为三角形的重心。重心将每条中线分成2:1的两段（靠近顶点的一段较长）。*三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形有三条角平分线，它们交于一点，这点称为三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。二、练习题（一）基础辨析与作图1.判断题：*（1）三角形的三条高一定都在三角形内部。（）*（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分。（）*（3）三角形的角平分线就是三角形内角的平分线。（）*（4）三角形的重心到三个顶点的距离相等。（）2.作图题：已知△ABC，请用直尺和圆规分别作出：*（1）边BC上的高AD；*（2）边AC上的中线BE；*（3）∠ABC的角平分线BF。（注：此处请在练习本上实际操作，注意作图规范。）（二）简单计算与推理3.在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知BC=8cm，求BD和DC的长度。若△ABD的面积是10cm²，求△ABC的面积。4.在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的角平分线，求∠BAD和∠CAD的度数。5.已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。*（1）求斜边AB上的高CD的长度。*（2）求斜边上的中线CE的长度。（三）综合应用与拓展6.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，也是BC边上的高吗？为什么？AD是∠BAC的角平分线吗？为什么？7.已知O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D。若AO=6cm，求OD的长度。若△ABC的面积为30cm²，求△ABD的面积。8.在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线。求∠DAE的度数。9.已知△ABC的周长为24cm，三条中线交于点G。若AG的延长线交BC于D，且AB=7cm，AC=8cm，求BD和GD与AG的数量关系。三、答案与解析思路（一）基础辨析与作图1.判断题：*（1）×（提示：钝角三角形有两条高在三角形外部）*（2）√（提示：中线分得的两个三角形等底同高）*（3）×（提示：角平分线是线段，而内角的平分线是射线）*（4）×（提示：重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，并非到三个顶点距离相等，到三个顶点距离相等的是外心）2.作图题：（此处略去图形，实际作图时需注意：高是垂线，中线要找中点，角平分线要利用尺规作角的平分线。）（二）简单计算与推理3.解：因为AD是BC边上的中线，所以BD=DC=BC/2=8cm/2=4cm。因为△ABD和△ADC等底（BD=DC）同高（均以A到BC的距离为高），所以它们的面积相等。因此△ABC的面积=2×△ABD的面积=2×10cm²=20cm²。4.解：因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD=∠BAC/2=60°/2=30°。5.解：*（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5。三角形面积S=(AC×BC)/2=(AB×CD)/2，所以CD=(AC×BC)/AB=(3×4)/5=12/5。*（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以CE=AB/2=5/2。（三）综合应用与拓展6.答：AD是BC边上的高，也是∠BAC的角平分线。理由：因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的中线、底边上的高和顶角的角平分线互相重合。所以AD既是BC边上的中线，也是BC边上的高和∠BAC的角平分线。7.解：因为O是△ABC的重心，重心将中线分为2:1的两段，即AO:OD=2:1。已知AO=6cm，所以OD=AO/2=6cm/2=3cm。因为AD是中线，所以△ABD和△ACD面积相等，各占△ABC面积的一半。因此△ABD的面积=30cm²/2=15cm²。8.解：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-60°=75°。因为AE是∠BAC的角平分线，所以∠BAE=∠CAE=75°/2=37.5°。在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠B=90°-45°=45°。所以∠DAE=∠BAD-∠BAE=45°-37.5°=7.5°。9.解：因为△ABC的周长为24cm，AB=7cm，AC=8cm，所以BC=24-AB-AC=24-7-8=9cm。因为AD是中线（重心G在AD上），所以BD=BC/2=9cm/2=4.5cm。对于重心G，AG:GD=2:1。四、总结与提升通过以上练习，我们可以看出，三角形的高、中线和角平分线各自具有独特的性质，并且在解题中常常相互关联，需要我们灵活运用。例如，“三线合一”是等腰三角形中非常重要的性质；重心的性质在涉及中线比例和面积分配问题时经常用到；而角平分线的性质则在角度计算和距离相等的证明中