安徽合肥市2025−2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

安徽合肥市2025−2026学年高二下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．集合且的元素的个数为（

）A．5 B．4 C．3 D．22．在等差数列中，，，则（

）A．20 B．21 C．22 D．233．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在的展开式中，的系数为（

）A．15 B．18 C．20 D．305．已知，若函数的值域为，则a的值最小为（

）A．e B．2 C．1 D．6．已知是定义在R上的偶函数，且是奇函数，，则（

）A． B． C．1 D．27．已知正项等比数列满足，，记为的前项积，若对任意的，都有，则（

）A．7 B．8 C．9 D．108．已知函数，，若直线与曲线和都相切，则（

）A．0 B．1 C．2 D．e二、多选题9．已知，则（

）A． B．C． D．10．已知公差不为0的等差数列的首项，且，，成等比数列，是公比为2的等比数列，且，则下列说法正确的是（

）A．B．数列的前项和为C．对任意的，都有D．存在，使得11．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．至少有2个零点B．若，则的解集为C．，使得在上有极值点D．，在上恒有最大值三、填空题12．不等式的解集为________．13．若由所组成的无重复数字的4位数，其中偶数的个数为______.14．为对学生进行安全教育，某校要调查学生是否闯过红灯，为防止学生有所顾忌而不如实作答，设计如下调查方案：每名学生均从一个装有2个红球、4个黄球的盒子中一次性任取2个球，至少取到1个红球的学生回答问题一“你是否闯过红灯？”，未取到红球的学生回答问题二“你出生的月份是否是4的倍数？”.由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，且回答的是哪个问题其他人不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生会如实作答.已知某校1000名学生参加了该调查，且有300人回答的结果为“是”，则从该校随机选择1名学生，估计其闯过红灯的概率为________.四、解答题15．已知幂函数在上单调递增．（1）求的解析式；（2）设，试比较与的大小关系．16．为检测一款流感疫苗的效果，随机选了180人进行对比实验，给部分人接种流感疫苗，然后调查他们所有人在某个流感暴发季内是否患流感，得到如下列联表：患流感未患流感接种流感疫苗2070未接种流感疫苗6030（1）记未接种流感疫苗的人患流感的概率为，患流感的人未接种流感疫苗的概率为，求，的估计值；（2）根据小概率值的独立性检验，分析该流感疫苗能否降低流感的患病率.附：.0.010.0050.0016.6357.87910.82817．已知正项数列的前项和为，，，，且为等比数列.（1）求；（2）求的通项公式；（3）求数列的前项和.18．为了解某河流的水质情况，从该河流随机采集了16份河水样本，假设其中只有2份重金属超标（简称“超标”）.（1）从这16份水样中随机抽取2份，求其中至少有1份超标的概率；（2）为了高效检测水质，将这16份水样随机分成4组，每组4份，先将同组的4份水样各抽取一部分混合到一起进行1次检测，如果检测结果为合格，说明该组的4份水样均不超标，该组检测结束，如果检测结果为不合格，说明该组的4份水样中有超标的，此时需对该组的每份水样再进行1次检测，得到每份水样的检测结果，该组检测结束.（ⅰ）求2份超标水样分在同一组的概率；（ⅱ）设4组水样均检测结束所需的检测次数为，求的分布列与数学期望.19．已知函数，，且.（1）若直线与曲线相切，求的值；（2）讨论的单调性；（3）当时，设，且，证明：.附：当且时，.

参考答案1．【答案】A【详解】因为且，所以有5个元素.2．【答案】D【详解】设公差为，则，所以．3．【答案】D【详解】对于充分性，当时，满足，不满足，则充分性不成立，对于必要性，当时，满足，不满足，则必要性不成立，可得“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确.4．【答案】C【详解】展开式的通项为Tk+1=C6k(x2)6-k(15．【答案】C【详解】当x≤a时，因a>0，故y=x2≥0；

当x>a时，y=lnx单调递增，故y>lna.

要使f(x)的值域为[06．【答案】C【详解】f(x)为偶函数⇒f(-x)=f(x)；

f(x+1)为奇函数⇒f(-x+1)=-f(x+1).

由7．【答案】D【详解】设的公比为，由等比数列的性质可知，结合，可知，是方程的两根，解得，或，，根据题意得的前项积存在最大值，则一定是从大于1递减到小于1，于是，，则，即，所以，令，化简得，解得，因此当时，，当时，，故最大，即.8．【答案】B【详解】设在处的切线为，由，得，所以，所以在处的切线方程为，整理得；设在处的切线为，由，得，所以，所以在处的切线方程为，整理得，由题意得，令，求导得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，当时，，当时，，当时，，当时，，由，所以，，由，可得，所以，又，所以，解得，所以.9．【答案】ACD【详解】对于A，因为，则得，故A正确；对于B，若取，满足，此时，不满足，故B错误；对于C，由题意得，因为，所以，故C正确；对于D，由题意得，因为，所以，则，故D正确.10．【答案】CD【详解】对于A，设的公差为，因为，，成等比数列，所以，得，解得或（舍去），则，故A错误；对于B，由题意得等比数列的公比为2，，则，可得，所以，，得到，经检验，当时，，故B错误；对于C，由题意得，，当时，欲证，则证，即证，故证即可，令，可得，当时，恒成立，则在上单调递增，而，则恒成立，即恒成立，则得证，故C正确；对于D，方程，即，解得，故D正确.11．【答案】ABD【详解】对于A，令，即，解得三个可能的根：，或，或，若且，则零点为0，1，，若或，则零点为0，1，所以的零点个数至少是2，故A正确；对于B，当时，，对于不等式，当时，，，此时，不满足，当时，，，，满足，当时，，，，满足，综上，不等式的解集为，故B正确；对于C，，若，当时，，，，所以恒成立，在上单调递增，无极值点，故C错误；对于D，当时，有3个零点0，，1，且，易知在和上为负，在和上为正，作出其大致图象如图，可知在上有最大值，故D正确.12．【答案】【详解】由不等式可得，且，所以．13．【答案】42【详解】若所组成的无重复数字的4位数，则满足条件的4位偶数的个位只能为0或2，当个位数字为0时，千位、百位、十位需从剩余的，共4个数字中任选3个无重复排列，共有种选法，当个位数字为2时，千位不能为0且不能与个位重复，故从中任选1个排在千位，有种排法，再从剩余的3个数字中任选2个无重复数字排在百位和十位，有种排法，则本种情况共有种排法，由分类加法计数原理得共有个偶数.14．【答案】【详解】设闯过红灯概率为，事件：回答问题一，事件：回答的结果为“是”.由题可知，则，，，所以，即，解得.15．【答案】（1）（2）【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或．当时，，此时在上单调递减，不满足题意；当时，，满足在上单调递增．所以；（2），，因为，所以，即．16．【答案】（1），（2）认为该流感疫苗可以降低流感的患病率【详解】（1）由列联表可知，未接种流感疫苗的人数为90，其中患流感的人数为60，所以的估计值为.患流感的人数为80，其中未接种流感疫苗的人数为60，所以的估计值为.（2）零假设为：该流感疫苗不能降低流感的患病率.根据列联表中的数据，得.因为，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该流感疫苗可以降低流感的患病率.17．【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）依题意，得，则，，成等比数列，故，解得（舍去），则.（2）由（1）可知，是以为首项，2为公比的等比数列，则，则，即是常数列.因为，故，故，即.（3）依题意，得，则，两式相减，得，所以.18．【答案】（1）（2）（i）；（ii）分布列为812【详解】（1）设“至少有1份水样超标”为事件，则.（2）（ⅰ）方法一：记其中2份超标水样分别为A和B.当A分到某一组时，其余15份水样需要随机分配到剩余15个空位中，水样B分配到每个空位的概率相等，而A同组中还剩3个空位，所以A，B同组的概率为.方法二：设4组编号为.16份水样分成4组，所有的分配方式有种；2份超标水样分配到同一组的分配方式有种.故2份超标水样分配到同一组的概率为.（ⅱ）若2份超标水样在同一组，则该组检测结果为不合格，需要进行次检测，其余3组检测结果均为合格，每组只需进行1次检测，此时检测的总次数为.若2份超标水样在不同组，有2组检测结果为不合格（每组检测次），其余2组检测结果为合格（每组检测1次），此时检测总次数为.所以的所有可能取值为8，12.由（ⅰ）知，则.的分布列为812.19．【答案】（1）（2）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时在上单调递减，在上单调递增.（3）当时，.由（2）知在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，当且时，且，