考研数学二期中试卷全套-2015（含答案详解）

考研数学二期中试卷全套_2015（含答案详解）一、单项选择题（总共10题，每题2分，共20分）1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）A.存在唯一的ξ∈(a,b)，使得f'（ξ）=0B.存在至少一个ξ∈(a,b)，使得f'（ξ）=0C.存在多个ξ∈(a,b)，使得f'（ξ）=0D.对任意ξ∈(a,b)，f'（ξ）≠0参考答案：B解析：根据罗尔定理，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且满足f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'（ξ）=0。选项A错误在于“唯一”，选项C错误在于“多个”，选项D与题设矛盾，故正确答案为B。2.若级数∑_{n=1}^∞a_{n}x^{n}的收敛半径为R=3，则级数∑_{n=1}^∞a_{n}(x-2)^{n}的收敛域为（）A.(-3,3)B.[1,5]C.(-1,5)D.[1,5]∪{5}参考答案：C解析：由原级数的收敛半径R=3可知，∑_{n=1}^∞a_{n}x^{n}在|x|<3时收敛。对于级数∑_{n=1}^∞a_{n}(x-2)^{n}，设y=x-2，则级数变为∑_{n=1}^∞a_{n}y^{n}，其收敛半径仍为3，即|y|<3，解得|x-2|<3，即-3<x-2<3，故-1<x<5。由于x=1和x=5时需单独检验：当x=1时，级数为∑_{n=1}^∞a_{n}(-1)^{n}，若收敛则包含x=1；当x=5时，级数为∑_{n=1}^∞a_{n}3^{n}，若发散则不包含x=5。综合可得收敛域为(-1,5)，选项C正确。3.设函数f(x)在点x_{0}处可导，且f'（x_{0}）=2，则当x→x_{0}时，f(x)的线性主部为（）A.f(x_{0})B.2(x-x_{0})C.f(x_{0})+2(x-x_{0})D.2f(x_{0})参考答案：C解析：函数f(x)在点x_{0}处的线性主部定义为f(x)在x_{0}附近用一次多项式逼近的误差项，即f(x)≈f(x_{0})+f'（x_{0}）(x-x_{0})，其中线性主部为f'（x_{0}）(x-x_{0})。因此，线性主部为f(x_{0})+2(x-x_{0})，选项C正确。4.设向量组α_{1}=(1,0,1)^{T}，α_{2}=(0,1,1)^{T}，α_{3}=(1,1,0)^{T}，则该向量组的秩为（）A.1B.2C.3D.4参考答案：C解析：将向量组写成矩阵形式：A=⎡⎢⎣100⎤⎥⎦⎡⎢⎣011⎤⎥⎦⎡⎢⎣101⎤⎥⎦对矩阵进行行变换：R_{3}→R_{3}-R_{1}⇒⎡⎢⎣100⎤⎥⎦⎡⎢⎣011⎤⎥⎦⎡⎢⎣001⎤⎥⎦R_{2}→R_{2}-R_{3}⇒⎡⎢⎣100⎤⎥⎦⎡⎢⎣010⎤⎥⎦⎡⎢⎣001⎤⎥⎦矩阵的秩为3，故向量组的秩为3，选项C正确。5.设事件A与B互斥，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，则P(A∪B∪C)（其中C与A、B独立，P(C)=0.5)）等于（）A.0.9B.0.8C.0.75D.0.95参考答案：B解析：由于A与B互斥，故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.3=0.9。事件C与A、B独立，故P(A∪B∪C)=P((A∪B)∪C)=P(A∪B)+P(C)-P((A∪B)∩C)=P(A∪B)+P(C)-P(A∪B)P(C)=0.9+0.5-0.9×0.5=0.8，选项B正确。6.设函数y=ln(x+√{x^{2}+1})，则y'等于（）A.1/(x+√{x^{2}+1})B.1/(√{x^{2}+1})C.1/(x^{2}+1)D.x/(x+√{x^{2}+1})参考答案：A解析：令u=x+√{x^{2}+1}，则y=ln(u)，y'=1/u•u'=1/(x+√{x^{2}+1})•[1+1/(2√{x^{2}+1})•2x]=1/(x+√{x^{2}+1})•[1+x/(√{x^{2}+1})]=1/(x+√{x^{2}+1})，选项A正确。7.微分方程y''-4y'+4y=0的通解为（）A.y=(C_{1}+C_{2}x)e^{2x}B.y=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}C.y=C_{1}e^{-2x}+C_{2}xD.y=e^{2x}(C_{1}sinx+C_{2}cosx)参考答案：A解析：特征方程为r^{2}-4r+4=0，解得r=2（重根），故通解为y=(C_{1}+C_{2}x)e^{2x}，选项A正确。8.设函数f(x)在[0,1]上连续，且∫_{0}^{1}f(x)dx=1，则∫_{0}^{1}f(x)sinπxdx等于（）A.0B.1C.-1D.π参考答案：A解析：由于f(x)在[0,1]上连续，且sinπ