《线性代数》 课件全套 第1-6章 行列式 -二次型

1.1行列式的定义一、二阶与三阶行列式二、逆序数与对换三、n阶行列式定义四、内容小结引例用消元法解二元线性方程组一、二阶与三阶行列式方程组的解为由方程组的四个系数确定.

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义即主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式则二元线性方程组的解为注意

分母都为原方程组的系数行列式.例1.1解用行列式求解线性方程组

三阶行列式定义记列标行标（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.对角线法则注意

红虚线上三元素的乘积取正号，蓝虚线上三元素的乘积取负号．三阶行列式的计算说明1对角线法则只适用于二阶、三阶行列式计算．

说明2三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.

如果三元线性方程组的系数行列式

利用三阶行列式求解三元线性方程组若记或得则三元线性方程组的解为:例1.２

解用对角线法则计算行列式按对角线法则，有二、逆序数与对换引例用1、2、3、4个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数？分析：234百位4种放法十位31个位232种放法种放法1种放法1234千位3种放法444定义1.1

把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.

规定，各元素之间有一个标准次序,

个不同的自然数，规定由小到大为标准次序（或自然次序）.

在一个排列中，若数，则称这两个数组成一个逆序.定义1.2排列的逆序数一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性计算排列逆序数的方法方法1分别计算出排在前面比它大的数之和即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.分别计算出排列中每个元素前面比它大的数的个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法2例1.3求排列34152的逆序数.解在排列34152中,3排在首位,逆序数为0;4的前面没有比4大的数,故逆序数为0;5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有2个,故逆序数为2;2的前面比2大的数有3个,故逆序数为3;34152故排列34152的逆序数为

将一个排列中某两个数的位置互换，其余的数不动，就得到另一个排列，这样的变换称为对换。定义1.3对换的定义定理1.1任意排列经过一次对换后改变其奇偶性。对换的性质三、n阶行列式概念引例三阶行列式说明（1）三阶行列式共有项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列

n阶行列式的定义定义1.4设有个数，排成n行n列，记其中为自然数的一个排列，为这个排列的逆序数。说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列4、一阶行列式

不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为个元素的乘积;例1.4

证明（2）上三角行列式（1）主对角线行列式例1.4

证明（3）下三角行列式（4）副对角线行列式（2）分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有证明同理可证（3）下三角行列式（4）分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有证明

二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算

四、内容小结思考题思考题解答解设所求的二次多项式为由题意得得一个关于未知数的线性方程组,又得1.2行列式的性质及其应用一、行列式的性质二、

利用行列式的性质计算行列式三、内容小结

记例如

的转置行列式为记

为转置行列式．一.行列式的性质性质１.1

行列式与它的转置行列式相等．注：行列式的行与列具有同等地位．证明

记即由行列式定义性质1.２互换行列式的两行（列），行列式变号．证明设行列式则是由行列式对换两行得到，即当

时当

时，其中

自然排列，设排列逆序数。为排列的逆序数为则故

推论1.1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为０．

证明

把这两行互换，有，故．

规定：表示行列式的第行,

表示行列式的第

列表示交换第

列表示交换第

行性质1.３行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数

k,等于用数k

乘此行列式．证明左边=右边规定：第行乘以，记作第列乘以，记作推论1.2行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．例如规定：第行提出公因子，记作第列提出公因子，记作性质1.４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为０．证明性质1.５分行（列）相加性证明左边=右边性质1.６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．以数K乘第j行加到第i行上，记住例如证明左边=右边定义1.5

称以下三种变换为行列式的初等行（列）变换;初等行变换和初等列变换统称为初等变换.

（1)换法变换：交换两行（列）；

(2)倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数

；(3)消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数

并加到另一行（列）的对应元素上。注基于行列式的基本性质，对行列式做初等变换，有如下特征：换法变换后行列式要变号；倍法变换后行列式要变倍；消法变换后行列式不变.

例1.5计算下列行列式：．二.利用行列式的性质计算行列式．解

注1）有公因子时先提出，使计算数据减小；2）任何行列式均可通过行（列）变换化为上或者下三角形行列式；3）选择易化简的行（列）4）注意运算次序，后一次运算作用在前一次运算基础上；5）运算符号表示：不能写成

例1.6计算行列式特点：1）各列（行）元素之和相等；2）主对角线上元素相同；方法：各行相加于某一行，再提出公因子化成此行全是1。．

解

例1.7证明：记证明

对作运算，把化为下三角形行列式，对作运算，把化为下三角形行列式，于是，对的前行作运算，后列作运算，把化为下三角形行列式：例1.8计算三对角行列式三对角行列式：主对角线及与主对角线平行的上、下两条斜线上元素不全为0，其它元素都是0.．解根据此行列式的特点，从第一行开始每行逐次加到下面一行，可得上三角行列式．三、内容总结性质１行列式与它的转置行列式相等．性质２互换行列式的两行（列），行列式变号．推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为０．性质３行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数

k,

等于用数k

乘此行列式．推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为0性质５行列式可以拆分，要注意拆分原则性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．计算4阶行列式思考题思考题解答解1.3行列式按行（列）展开一、行列式按行（列）展开二、内容小结一.余子式与代数余子式定义1.6在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去以后，留下来的n-1阶行列式叫做元素的余子式记为记称元素的代数余子式。例如四阶行列式中元素a32

的余子式和代数余子式分别为行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即定理1.2或其次讨论一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除外都为０,那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，证明

先证位于第１行第１列的情形，此时根据1.1节中例1.4中当

k=1时的特殊情形的结论，有将D记的第i行依次与第i-1行，…，第2行,第1

行做i-1次相邻行交换，调到第1行，再将第j列依次与第j-1

列，…，第2

列，第1列做j-1

次相邻列交换，调到第1列;共经过i+

j-2次交换，再利用上面的结果得即最后讨论一般情况,类似地，若按列证明，可得注这个定理叫做行列式按行（列）展开法则，利用此法则结合前面行列式的性质，特别是1.2节中性质1.6可把高阶行列式进行降阶简化计算．例1.9

计算行列式解注当行列式某行(列)含0较多时，可按此行(列)展开。

证明

用数学归纳法例1.10

证明范德蒙德(Vandermonde)行列式所以n=2时(1)式成立.假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行减去前行的倍：按照第1列展开，并提出每列的公因子,就有n−1阶范德蒙德行列式注1）记住范德蒙行列式的结论；2）行列式证明问题常用数学归纳法。例1.11计算阶行列式解

把按第一列展开，得以此作递推公式，即得，代入上式，得而行列式任一行(列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于０．即证明定理1.3把行列式按第j行展开，有在上式中将D的第j行元素换成第i行的元素,即当时，上式右端行列式有两行对应元素相同，故行列式等于零，即得证毕例1.12

设,的元的余子式和代数余子式依次记作和，求分析利用及解二、内容小结行列式展开法则1.4克莱姆法则一、克莱姆法则二、克莱姆法则在齐次线性方程组中的应用三、内容小结n元线性方程组1.定义:含有n个未知数的若干个线性方程构成的方程组2.分类:齐次线性方程组：非齐次线性方程组：

bi=0,i=1,2…mbi不全为0,i=1,2…m与二、三元线性方程组类似，其解可用

n

阶行列式表示，即有如下求解线性方程组的克莱姆规则3.本章研究方程组的特点:未知数的个数=方程组中方程的个数那么，方程组（1-10）有惟一解法则如果线性方程组(1-10)的系数行列式不等于零，即一、克莱姆法则其中是用代替D中第j列元素所得到的n阶行列式，即证明用D中第

j列元素的代数余子式依次乘方程组（1-10）的n个方程，再把他们相加得利用代数余子式的性质得当时，方程组（1-10）有惟一解考虑n+1阶加边行列式,由于方程组（1-12）是由方程组（1-10）经过乘以常数和相加两种运算而得，故方程组（1-10）的解一定是方程组（1-12）的解．下面验证方程组（1-12）的解也是方程组（1-10）的解．这个行列式有两行元素相同，因而它为0.把它按第一行展开，由于第一行元素的代数余子式是因此，从而知式（1-13）是方程组（1-10）的惟一解．例1.13解线性方程组解

因为系数行列式

所以方程组有惟一解．于是得解：再求得其它四个行列式的值为：定理1.4如果非齐次线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组有惟一解。定理1.4′如果非齐次线性方程组有无解或有两个以上不同的解，则其系数行列式D=0。归纳:非齐次线性方程组有惟一解系数行列式D≠0,例1.14

设方程组满足什么条件时，方程组有惟一解，并求惟一解．，试问

解

由定理知方程组有惟一解,则系数行列式不为零，而同理所以当互不相同时，方程组有惟一解即定义:齐次线性方程组二、克莱姆法则在齐次线性方程组中的应用齐次线性方程组一定有解xi=0，称为方程组的零解；如果xi不全为0，称为方程组的非零解；定理1.5如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组没有非零解。定理1.5′如果齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0。归纳:齐次线性方程组有非零解系数行列式D=0；

例1.15设齐次线性方程组

有非零解，求的值。解

由定理可知，此方程组的系数行列式必为零．而

由得

三、主要内容1.用克莱姆法则求方程组的解

2.根据方程组的解的情况确定参数1.5

用MATLAB计算行列式一、用MATLAB计算行列式MATLAB是Matrix和Laboratory两个词的组合，意为矩阵实验室，软件主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境．它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言(如C、Fortran)的编辑模式．用MATLAB计算行列式的步骤如下：(1)打开MATLAB软件；(2)输入自己的数表，记为A；(3)输入计算行列式的命令：det(A)．例1.16

用MATLAB计算行列式【编写代码】分组查资料，了解MATLAB中计算行列式的命令，并利用MATLAB计算上述行列式的值.解

在MATLAB命令行窗口输入：,

得到结果1.6应用案例一、计算面积和体积二、原子轨道线性组合成分子轨道1.平面上三点所构成三角形的面积设xoy平面上有一个平行四边形OACB，A、B点的坐标分别为一、计算面积和体积如图所示过A作x轴的垂线，交x轴于点E；过B作平行于x轴的直线，与过C作平行于y轴的直线交于点D．显然则有若三个顶点的坐标为先将三角形的一个顶点平移到原点，则三个顶点的坐标分别为则2.空间中四点所构成三棱锥的体积若顶点坐标为大胆猜测，类比平面中三角形的面积，三棱锥的体积为经过实际验算后，事实上，的确有在原子轨道线性组合为分子轨道中，关于组合系数的线性齐次方程组称为久期方程，这类方程中未知元个数与方程个数相等"该方程组有不全为零的解的条件是由系数所构成的行列式等于零“，此行列式称为久期行列式。二、原子轨道线性组合成分子轨道例如

下面组合系数为的久期方程有不全为零的解的条件是2.1

矩阵及其运算

一、矩阵的概念二、几种特殊矩阵三、矩阵的运算四、内容小结定义2.1一、矩阵的概念在日常生活中，特别是在自然科学、经济学、管理学和工程技术领域等诸多方面都和某些数表有着密切的联系，我们从这种数表中抽象出矩阵的定义。排成一个m行n列的矩形数表由个数

叫做

m行n列矩阵，简称

mn

矩阵，元素

叫作矩阵A

的第i行第j列元素．或或矩阵还可记为矩阵通常用大写英文字母表示，如A,B,C等例如例2.1某种商品有5个产地和4个销地则该商品的一个调运方案可用矩阵表示为其中表示由产地运到销地的数量.二、几种特殊矩阵2.行矩阵：只有一行的矩阵，又称行向量1.列矩阵：只有一列的矩阵，又称列向量如矩阵如矩阵n阶方阵，记为3.零矩阵：元素都是零的矩阵，记作O.

零矩阵记注：4.方阵：行数与列数相等的矩阵。n行n列矩阵又称在方阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为副对角线．简记为对角阵：既是上三角矩阵，又是下三角矩阵的矩阵特殊的n阶方阵：如果位于主对角线上（下）方的元素全为零，则称该方阵为下(上)三角矩阵．纯量阵：单位阵：简记为主对角线上的元素全为1的数量矩阵若对角矩阵的主对角线上的元素全相等例如n阶单位阵三、矩阵的运算两个矩阵的关系1）同型矩阵：同型矩阵对应元素相等,记为A=B两个矩阵的行数、列数分别相等，称它们是同型矩阵，如：Am×n,Bm×n2）相等矩阵：1.矩阵的加（减）法定义2.2设同型矩阵，称

运算前提：只有同型矩阵才能进行加减法运算

为矩阵的和，记C=A+B1）交换律2）结合律3）负矩阵加法的运算律对于任意一个矩阵A

,都存在一个矩阵B

,使得，称矩阵B为矩阵A的负矩阵，记为．注：由此可定义矩阵的减法为2、数乘矩阵定义2.3设矩阵

称矩阵为数K与矩阵注意与数乘行列式的区别！Ａ的乘积，记作即132运算律结合律交换律分配律，求例2.2设解定义2.3

设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵，其中3、矩阵的乘法并把此乘积记作即注:两矩阵相乘的条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数求AB.例2.3设思考：BA能进行吗？解例2.4

求矩阵的乘积AB及BA.解

按乘法公式，有若方阵A,B满足AB=BA,称A,B是可交换的。注：矩阵的乘法不满足交换律，一般情况下两个非零矩阵的乘积可能等于O

矩阵。矩阵的乘法不满足消去律,即不能推出A=0或B=0且A≠0不能推出B=C纯量阵与同阶方阵可交换。注运算律：单位矩阵满足：结合律

分配律

数乘结合律

设A

是n

阶方阵，规定其中k

为正整数(k,l为正整数)一般说来方阵的幂运算运算律：A,B可交换时，例如设两组变量和，关系式定义2.5称为由变量到变量的线性变换称为线性变换的系数矩阵矩阵注线性变可用矩阵形式表示其中

4、矩阵的转置把矩阵A的行列依次互换得到的一个新矩阵，称为A的转置矩阵，记作定义2.6一般的，有矩阵的转置满足下面的运算律例2.5已知求解

因为又所以设A为n阶方阵，如果满足则称A为对称矩阵。例如注：对称矩阵与反对称矩阵对称阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。如果满足则称A为反对称矩阵。例2.6证明：任一方阵都可以表示为一个对称矩阵与反对称矩阵之和。证明设A为任意n阶方阵，构造，

显然，易证故，任一方阵都可以表示为一个对称矩阵与反对称矩阵之和。5、方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素注：方阵与行列式是两个不同的概念,定义2.7方阵是个数按一定方式排成的数表，的位置不变），叫做方阵A的行列式，记作行列式：是一个数，按规定运算出的一个数注矩阵与行列式的区别表示：数表两边加竖线矩阵：是一个数表，当m=n时为正方形数表；当m≠n时为长方形数表；表示：数表两边加括号或中括号.方阵行列式的运算性质注1）一般地，AB≠BA,但总有|AB|=|BA|

2）A=0可推出|A|=0，

但|A|=0不能推出A=02.2

逆矩阵

一、逆矩阵的概念二、矩阵可逆的充分必要条件四、内容小结三、逆矩阵的性质一.逆矩阵的定义定义2.8对于

n

阶矩阵A，如果存在一个n

阶矩阵B，使则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B

称为A的逆矩阵，记为注1）只有方阵才可能存在逆矩阵；2）并非任何方阵都存在逆矩阵逆矩阵的唯一性：逆矩阵的存在性质

如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵唯一。所以A

的逆矩阵是唯一的。证明

设

B、C

都是A

的逆矩阵，则有例2.7

判断下列矩阵是否可逆,如果可逆写,出其逆矩阵.解

矩阵A是不可逆的，矩阵B

是可逆的，且逆矩阵二、矩阵可逆的充分必要条件定义2.9称设矩阵为方阵A

的伴随矩阵。

其中

为n阶行列式|A|的元素的代数余子式。注意代数余子式的排列顺序！定理2.1对于任意n阶方阵A，总有证明

由行列式的性质及矩阵乘法的定义可直接得到

必要性：A可逆，即有A-1，使AA-1=E.故所以.定理2.2矩阵A可逆的充分必要条件是｜A｜·｜A-1

｜=1证明

充分性：由定理2.1知，对于任意的n阶方阵，因，故有所以，按逆矩阵的定义，即A可逆。且注也称A是非退化的，或非奇异的。例2.8求方阵的逆矩阵.解易知，所以矩阵A可逆.A的伴随矩阵为所以例2.9已知，解求矩阵X．其中将方程改写为易求得方程两边同时左乘得故三、逆矩阵的性质性质2.1可逆矩阵有如下主要性质因而可逆，于是若AB=E（或BA=E），则.证明由得故，性质2.2所以若矩阵A可逆，则也可逆，且.证明事实上,

因为A可逆，故有由逆矩阵的定义知性质2.3若A可逆,数,则

可逆,且证明

若A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB

亦可逆，且推广：证明因为性质2.4所以

若A可逆，则都可逆，且所以，又因为得因为所以性质2.5证明因为若A可逆,且AB=AC,则B=C.(A可逆时,满足消去律）

若A可逆，则A的伴随矩阵也可逆，且性质2.6

若A可逆，则注例2.10设A为3阶方阵，且，求解由得例2.11设方阵A满足方程,证明A及A+2E都可逆，并求它们的逆矩阵。解由变形得A（A-E）=2E,即所以A可逆，且由A2-A-2E=0,变形得A+2E=A2两边两次右乘得，所以A2-A-2E=0,四、内容小结1.逆矩阵的定义2.矩阵可逆的充要条件3.逆矩阵的计算4.逆矩阵的运算性质5.掌握用逆矩阵求解矩阵方程6.证明矩阵可逆思考题1.方阵可逆的充要条件是什么？如何求逆矩阵？2.可逆矩阵有那些性质？3.若A可逆，问矩阵方程AX=B、XA=B的解X等于什么？答求解矩阵方程在A,B可逆的前提下，有2.3矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换二、初等矩阵三、内容小结下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换:定义2.10（1）交换矩阵A的第I行(列)和第j行(列)的位置，

用表示;（2）用非零数K乘矩阵A的第i行(列)的每一个元素，用表示；（3）将矩阵A的第j行(列)的K倍加到A的第i行(列），用表示。一、矩阵的初等变换矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．

注：同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：如果矩阵A经过有限次初等变换后得到定义2.11具有上述三条性质的关系称为等价．矩阵B

，就称矩阵A与B等价，记为A～B．（1）反身性（2）对称性（3）传递性分析：用矩阵的初等行变换

若矩阵的每一行从左边开始，第一个非零元素下方的元素全为零，则称这样的矩阵为行阶梯形矩阵；若矩阵的每一行从左边开始，第一个非零元素为1，并且其所在列的其它元素全为零，则称这样的矩阵为行最简形矩阵．定义2.12例如都是行阶梯形矩阵，其中第三个矩阵是行最简形矩阵.证明如果,则它已经是阶梯形矩阵，若，如果从左边开始，第一个有非零元素的列是第，那么施行互换两行的变换可以使这个非零元素变到第一行，不妨设．另外，对于每个，在施行行变换，就可以使第一行中元素下边的每个元素变为零．再对余下的所有行重复上述过程，直到化为行阶梯形为止．最后，对于行阶梯形矩阵如果再施行第二种、第三种初等行变换即可化为行最简形矩阵．定理2.3任何一个矩阵A经过有限次初等行变换可化为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵.解

对矩阵A依次进行一系列初等行变换可得的通解为例2.12将矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：于是矩阵A的行阶梯形矩阵和行最简形矩阵分别为的矩阵等价，它称为矩阵A的标准形.行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．定理2.4任何一个矩阵A都与形式为证明

由定理2.3可知，任何一个矩阵A经过有限次的初等行变换化为行最简形矩阵，最后再对行最简形矩阵施行有限次初等列变换，即可把矩阵A化为标准形。例如矩阵F称为矩阵B的标准形二、初等矩阵为了便于使用初等变换处理矩阵问题，我们引入初等矩阵的概念，它在诸多有关矩阵的理论和证明中起着不可替代的作用．．因为初等变换有三种，所以对应着有以下三种初等矩阵矩阵称为初等矩阵.定义2.13由单位矩阵Ｅ经过一次初等变换得到的1）交换单位矩阵E的第i行(列)和第j行(列)所得到的初等矩阵记为2)用非零数乘单位矩阵E的第i行(列)所得到的初等矩阵记为3）将单位矩阵E的第j行的K倍加到第i行所得到的初等矩阵记为初等矩阵的性质：初等变换对应着初等矩阵，而初等变换都是可逆的，因此，三种初等矩阵也都是可逆的，易验证它们的逆矩阵还是同类型初等矩阵，且分别为定理2.51）对矩阵Am×n

施行一次初等行变换，相当于在A

的左边乘以相应的m

阶初等矩阵；

2）对矩阵Am×n

施行一次初等列变换，相当于在A

的右边乘以相应的n

阶初等矩阵；

也就是说，左(右)乘A等于互换A的第i行(列)和第j(列)；左(右)乘A等于非零数K乘A的第i行(列)；左(右)乘A等于A的第j行(列)的K倍加到第i行(列)上．证明

我们仅对第三种初等行变换的情形加以证明，其它情形同样可以证明．设矩阵由上述等式可以看出，矩阵A的左边乘以等于把矩阵A的第j行的K倍加到A的第i行．则定理2.6方阵A可逆存在有限个初等矩阵Q1,Q2,...，Qm,使A=Q1Q2...Qm

.证明

由定理2.4，矩阵A与其标准形B等价，即矩阵A经过若干次初等行变换或列变换得到B，于是由定理2.5可知,存在初等矩阵Q1,Q2,...，Qm

,使由于A=Q1,Q2,...，Qm方阵A可逆。必要性：，且Q1,Q2,...，Qm从而有由于A可逆，则B可逆，B又是标准形，所以B=E充分性都可逆，则是初等矩阵，推论2.1设A与B是m×n矩阵，则：及存在n阶可逆初等矩阵存在m阶可逆矩阵P及存在n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B

证明因为矩阵A与B等价，所以存在m阶初等矩阵P1,P2,...，Pl

,Q1,Q2,...，Qs,使得令则P,Q可逆且PAQ=B

．推论2.2可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换初等矩阵的乘积化为单位矩阵.

证明设矩阵A可逆，由定理2.6可知，矩阵A可表示为一些于是,而矩阵还是初等矩阵因为在矩阵A的左边乘以初等矩阵就相当于对A做初等行变换，从而由等式可知，矩阵A经过m次初等行变换化为单位矩阵．例2.13用初等变换求矩阵A的逆矩阵分析用初等行变换求逆矩阵若AX=E,则

X=A-1所以，解例2.14求矩阵X，使得AX=B，其中分析用初等行变换求解矩阵方程：若AX=B,则

X=A-1B解于是三、内容总结、初等矩阵4初等变换与初等矩阵之关系5初等变换求逆矩阵的方法1矩阵的初等变换3将一个矩阵化成行阶梯阵，

化成行最简形矩阵及标准型2矩阵等价性质6用初等变换求解矩阵方程2.4矩阵的秩一、矩阵秩的概念二、用初等矩阵求矩阵的秩三、矩阵的秩的性质四、内容小结一、矩阵的秩的概念k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式.定义2.14矩阵的秩是矩阵理论中一个非常重要的概念，在下一章要讨论清楚线性方程组及其求解问题时，就有必要先弄清楚方程组的系数矩阵或增广矩阵的秩．当然矩阵秩的重要性远不止于此．首先介绍矩阵子式的概念．在矩阵A中任取k行与k列，位于这些行和列交叉处的个元素,按照原来的次序构成的注2）A的每个元素都是A的一阶子式3）方阵的n阶子式是方阵的行列式4）A的前k行k列元素构成的行列式称A的k阶主子式1)矩阵A共有个K阶子式定义2.15设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，（如果存在）全等于0，且所有r+1阶子式那末称r为矩阵A的秩，记作R(A)=r

.2)若所有r+1阶子式全等于0，那末所有r+2、r+3…阶子式均为0。1）r

阶子式称为矩阵A的最高阶非零子式；3)规定：零矩阵的秩R(O)=06）若n阶方阵A的行列式|A|≠0，即A可逆，则R(A)=n，此时称A为满秩矩阵，当|A|=0，则R(A)<n

，称A为降秩矩阵4)若A中有一个不为0的s阶子式，则若A中所有的t阶子式都是0，则5)注思考：若R(A)=r，问A中有没有等于0的r-1

阶子式？

有没有等于0的r

阶子式？有没有不等于0的r+1

阶子式？例2.15

根据定义求矩阵的秩解

观察得，A的2阶子式A的所有3阶子式都是0，因此R(A)=2规律：行阶梯形矩阵的秩=非零行的行数问题：若，是否一定有？R(B)=3三个非零行注

观察得二、用初等矩阵求矩阵的秩定理2.7若矩阵A等价于矩阵B，则证明我们只需证明矩阵A经过一次初等变换化为B，则有R(A)=R(B)成立即可.设R(A)=r

，则矩阵A中存在一个r阶子式，设矩阵A经过一次初等变换化为B，先证明，分别对三种初等变换加以证明(详见书中证明）．因为矩阵的初等变换是可逆的，所以矩阵B也可以经过一次初等变换化为A，于是又有，从而R(A)=R(B)．例2.16求矩阵A的秩，其中解对矩阵A进行一系列初等行变换化为阶梯形矩阵所以R(A)=3.三、矩阵的秩的性质性质2.7如果矩阵P、Q

可逆,则性质2.8性质2.9特别，有证明由于A的子式一定是(A,B)的子式，根据矩阵秩的定义，同理，因此设对于A,B分别进行列变换可分别得到t、s个非零列，将同样的变换作用于(A,B)，可得与(A,B)等价的矩阵最多有t+s个非零列，故(A,B)的非零子式阶数不超过t+s，所以有综上，性质2.10若，性质2.12性质2.11进而有证明对矩阵(A+B,B)进行初等列变换可得到(A,B)，所以故，特别，有则例2.17设n阶方阵A满足，证明证明由性质2.10知又因为所以n阶方阵A满足，所以故由矩阵秩的性质2.12例2.18设A为n阶方阵，证明证明(1)若则A可逆，由得可逆，所以，若则，故由矩阵秩的性质2.12，由知又A至少有一个非零的n-1阶子式，故若则A的n-1阶子式都是0，所以，于是，(2)由两边取行列式，当A可逆时，所以当A不可逆时，不可逆，则所以(3)由当A可逆时，当A不可逆时，由本题（1）的结论，所以的n-1阶子式都是0，也可逆，故由逆矩阵运算性质2.6，由本题（2）于是，若于是，若四、内容小结2矩阵的秩？初等变换求矩阵的秩5求矩阵的秩与最高阶非零子式3满秩矩阵与单位矩阵之关系1矩阵的k阶子式4了解矩阵的秩的性质求矩阵的秩及寻找最高阶非零子式的方法1.根据定义求，观察法2.初等行变换法为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩。步骤：1)A～行阶梯形矩阵2)行阶梯形矩阵非零行的行数为矩阵的秩3)最高阶非零子式存在于行阶梯形矩阵非零行的第一个非零元所在的列中。2.5分块矩阵一、分块矩阵的概念二、分块矩阵的运算三、分块对角矩阵四、内容小结

对于行数和列数较高的矩阵A

，运算时常采用分块法

，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。

一、分块矩阵的概念对于给定的矩阵A，用一些贯穿于矩阵A的横线和纵线把矩阵A分割成若干个小的矩形块，位于每一个小矩形块中的元素按照原来的位置组成一个小矩阵，称这些小矩阵为矩阵A的子矩阵块，简称子块．矩阵A看成是以这些子块为元素的矩阵，称A为分块矩阵．定义2.16可记为其中例2.19将45矩阵分块解注常用的特殊分块法（1）按列分块（2）按行分块（3）分块对角阵其中都是方阵,那么称A为分块对角阵.可记为：1.加减运算：为数，则前提：A与B是同型矩阵,且分块形式相同。2.数乘运算：二、分块矩阵的运算设A为

矩阵，B为

矩阵，A、B分块成其中的列数分别等于的行数，那么其中3.乘法运算即A的列的分法与B的行的分法一致。则4.转置运算其中是n阶方阵并简记为当n阶方阵A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子快，其它子块均为零矩阵，即则称矩阵A为三、分块对角矩阵分块对角矩阵（也称准对角矩阵）分块对角矩阵的运算性质（4）若则例2.20设求解

设于是由分块矩阵的性质即得四、内容小结1.分块矩阵定义2.分块矩阵的运算3.分块对角阵的运算性质2.6用MATLAB进行矩阵运算一、矩阵的常用代数运算二、矩阵的初等变换在MATLAB中矩阵的基本代数运算命令如下一、矩阵的常用代数运算运算命令运算含义A＋BA、B对应元素相加A－BA、B对应元素相减A.*BA、B对应元素相乘（注意维数相同）k*A数k乘以矩阵AA*BA和B矩阵按矩阵乘法运算进行相乘（注意维数匹配）A^m矩阵A的m次方A'矩阵A的转置inv(A)非奇异矩阵A的逆（如果A为奇异矩阵或接近奇异矩阵，则会给出警告信息，并输出计算结果为“inf”）Det(A)矩阵A的行列式例2.21设计算【编写代码】

解

在Matlab命令行窗口中输入了解过MATLAB中矩阵加减法、数乘、乘法、转置和求幂运算的命令，并利用MATLAB进行计算得到结果：例2.22判断矩阵是否可逆，如可逆，【编写代码】

解

在Matlab命令行窗口中输入了解过MATLAB中求矩阵逆的命令，求其逆矩阵.并利用MATLAB进行计算得到结果：如果使用分数来表示数值，则增加命令行：得到结果：利用矩阵的初等行变换化成行最简形时求解线性方程组的必要步骤.在MATLAB中将矩阵化成行最简形的命令是rref（）;求矩阵的秩用rank（）.二、矩阵的初等变换例2.23

将矩阵化成行最简形，并求其秩.【编写代码】

解

在Matlab命令行窗口中输入了解MATLAB中化行阶梯形和行最简形的命令并利用MATLAB进行计算得到结果：2.7应用案例一、像素灰度矩阵二、图形变换和矩阵乘法三、密码问题四、陶瓷坯料配方设计图片的存储是基于矩阵的.而灰度矩阵运算对应的是图像的一种处理方式.

在数字图像中,黑白图像的像素点的亮度是用0-255的二进制数表示的,称为灰度.灰度矩阵就是各个像素点亮度的二进制存储矩阵.下图由8×8=64个像素组成。每个像素的值在0到255的范围内。值0表示黑色像素，255表示白色像素。一、像素灰度矩阵如图所示图2.1

注我们所熟悉的二维码也可以看作一个矩阵，其中白色部分对应元素1，黑色部分对应元素0

,角落的小黑框就是矩阵的行数和列数，用来限定该二维码的边界。其灰度图像可以由具有8行8列的矩阵表示，其中每个单元格包含相应的像素值。图像是由像素构成，每个像素可以看作一个点，描述点的位置信息可以用(x,y)，描述这个点的颜色信息可以用z。二、图形变换和矩阵乘法图2.2把这个图像的像素点信息完全描述出来，其中第i个列向量就是第i个点的像素，从而A就表示此图片。假设描述图2.2的图像需要n个像素点，每个像素点需要描述三个属性，那么可以用一个3行n列的矩阵数乘矩阵kA对应的图像就是把原图像放大k倍，并且颜色信息值也变为原来的k倍。令

，PA为新图像，则的取值控制图像在横向的延伸，的取值控制图。令

，PA为新图像，则的取值控制图像的旋转状态。

例如时，PA为图2.3，横向延伸为原来的1.5倍.图2.3

例如时，PA为图2.4，原图像逆时针旋转30度.图2.4甲方向乙方发送指令，双方做了以下两个约定.(1)26个英文字母与数字之间有以下的对应关系:三、密码问题表2.126个英文字母与数字之间的对应关系(2)将指令中从左至右每3个字母分成一组，排成一列，将这些列构成矩阵.若要发出指令ACTION，根据约定，此信息的取一个三阶方阵（密钥）：进行加密，发送密文:编码是1，3，20，收到密文信息C后，再通过约定的方式解密.如何解密？

6，15，14.可以写成一个矩阵（明文）：这是逆矩阵的应用问题，明文.通过化学分析可知某种陶瓷原料和坯料主要由

这三种化学组成表示，在配方时只选择含量最多的这三种化学元素来进行计算.将要配的坯料称为目标坯料，含量比表示为；原料种类选三种，含量比表为；各原料的含量比表示为.四、陶瓷坯料配方设计已知原料各种元素含量矩阵为SiO2

、Al2O3

、Fe2O3

目标坯料中3种元素中各种元素的含量构成的列向量求各种原料的含量比？这相当于解矩阵方程AX=D，可有.

四、内容小结矩阵的定义3.矩阵的运算：矩阵的加法、减法;数与矩阵相乘;矩阵与矩阵相乘;矩阵的转置;方阵的行列式以上各运算的运算律2.特殊矩阵：方阵、对角矩阵、单位矩阵、行矩阵、列矩阵、零矩阵、同型矩阵4.对称矩阵反对称矩阵3.1向量与向量组及线性表示一、n维向量二、向量组及其线性表示三、内容小结

n个数组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为这个向量的第i个分量．一、n维向量定义3.1

向量写法列向量行向量向量表示：

希腊字母α、β、γ等注n维行向量与n维列向量看作不同的向量.运算：行向量看作行矩阵，列向量看作列矩阵符合矩阵的运算规则与运算律特殊向量1）O向量:所有分量都是0的向量，记为2）单位坐标向量:可以进行加法和数乘运算，二.向量组及其线性表示若干个同维数的列向量(或行向量)所组成的集合称为向量组，记为A。例如构成单位坐标向量组例如向量组称为A的列向量组向量组称为A的行向量组定义3.2给定向量组,称为向量组A的一个线性组合，表达式称为这个线性组合的组合系数。对于任何一组实数注全体n维向量的集合称为n维向量空间，用表示例如则向量由向量组线性表示对于向量，若存在一组数使得则称向量可以由向量组线性表示（或线性表出）。向量可以由向量组线性表示例3.1设问可由线性表示吗？如果可以，写出表达式.解设有使得即方程组的解为所以能由向量组线性表示，且也就是有非齐次线性方程组设两个向量组若向量组B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示.与若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价.

等价向量组的性质：反身性：对称性：传递性：A与A自身等价若A与B等价,则B与A等价若A与B等价,B与C等价，则A与C等价定义3.3向量组线性表示充要条件是矩阵方程能由向量组有解。定理3.1向量组等价的充要条件是矩阵方程和与向量组有解。推论3.1分析：若令矩阵使则存在从而向量组线性表示，能由向量组矩阵则说明：若有向量和向量组则线性方程组可表示为向量运算形式因此，讨论向量是否由向量组线性表示的问题，转化为讨论线性方程组是否有解的问题。

3.2

向量组的线性相关性一、线性相关与线性无关二、线性相关与线性表示之间的联系三、线性相关性的判定四、内容小结给定向量组A：

,如果存在不全为零的数k1,k2,…,kl,使定义3.4例如向量组和有：说明这两个向量组线性相关。

一、线性相关与线性无关则称向量组A是线性相关的。否则称向量组线性无关。给定向量组A：

,如果存在不全为零的数k1,k2,…,kl,使定义3.4例如向量组和有：说明这两个向量组线性相关。

一、线性相关与线性无关则称向量组A是线性相关的。否则称向量组线性无关。注：n维单位坐标向量组是线性无关的向量组。线性无关注：判断向量组的线性相关性可以按照下列步骤：第一步，设存在一组数使得构成齐次线性方程组；第二步，判断方程组有没有非零解；第三步，如果方程组有非零解，则向量组线性相关；否则，向量组线性无关.例3.2判别下列向量组的线性相关性解(1)设有使即由克莱姆法则知方程组有非零解，故向量组线性相关。(2)设有使即方程组系数行列式由克莱姆法则知方程组只有零解，故向量组线性无关。方程组系数行列式例3.3设向量组线性无关，令试证也线性无关。证明设有一组数，即整理得使得由于线性无关，按照线性无关的定义，应有方程组的系数行列式为由克莱姆法则知，方程组只有唯一零解，由线性无关的定义可知线性无关。二、线性相关与线性表示之间的联系定理3.2个向量线性相关的充要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示．证明必要性设线性相关，所以存在不全为零的数不妨设可由使得即则有，线性表示。充分性不妨设可由线性相关，所以存在一组数即使得中有非零元，所以因为线性表示。定理3.3设向量组线性无关，线性相关，则能由线性表示，且表示法是唯一的。证明因为使得线性相关，所以存在不全为零的数可以断定反之，如果则且不全为零，从而矛盾。线性相关，产生所以由于设则能由线性表示。则由于线性无关，所以从而表示法唯一。则能由线性表示时三、线性相关性的判定(1)一个向量线性相关的充要条件是这个向量为零向量．分量对应下面给出几种特殊情况时线性相关性的结论(2)两个向量线性相关的充分必要条件是这两个向量的

（3)例3.2中向量个数与向量维数相等,可以用克莱姆法则进行判成比例．定,如果向量个数与向量维数不相等，可以用矩阵的秩进行判定.定理3.4若m个向量线性相关的充要条件．证明线性相关．记矩阵必要性

设m个n维向量

是矩阵的秩。，且有由定理3.2可知，至少有一个向量可由其余向量线性表示，不妨设列后都加到第m列上，有对A作初等列变换，用分别乘以A的第从而充分性证明略．推论3.2任意n个n维向量线性相关的充要条件是矩阵的行列式等于零．证明不妨设向量组必有所以向量组线性相关．推论3.3当m>n时，m个n维向量一定线性相关.(4)任何一个包含零向量的向量组必线性相关．推论3.5若线性相关，则证明由于不全为零，按照线性相关的定义，得使得从而线性相关．也线性相关；若线性无关，则它的任何一个非空部分组必线性无关.(5)向量组及其部分组线性相关性的关系.设线性相关，按照定义，存在不全为零的数定理3.6即向量组B中的向量是由向量组A中的向量添加一个分量产生的．如果向量组A线性无关，则向量组B也线性无关；如果向量组B线性相关，则向量组A也线性相关.两个向量组之间的线性相关性也有关系.设有两个向量组(6)如果一个向量组是由另一个向量组添加分量产生的，那么这.证明使得即设向量组B线性相关，按照定义，存在不全为零的数即向量组A也线性相关．的解一定是前n个方程组成的方程组的解．所以方程组（1）例3.5讨论下列各向量组的的线性相关性：（1）解(1)由于的对应分量成比例，所以它们线性相关；关,再增加一个向量，由定理3.5知线性相关；(3)由于单位坐标向量组(2)由于的对应分量成比例，所以线性相线性无关，由定理3.6，知线性无关.

四、内容小结1.线性相关与线性无关的定义2.判定向量组的线性相关性的方法3.证明向量组的线性相关与线性无关用定义判别的一般步骤a)设有使构成齐次线性方程组；b)判断方程组有无非零解；c)若方程组有非零解，则向量组线性相关

若方程组只有零解，则向量组线性无关.2、矩阵秩的判别法线性相关R(A)<l线性无关R(A)=l两向量的分量对应成比例线性相关向量组中至少有一个零向量线性相关当向量个数和维数相同

，构成方阵A，若|A|=0线性相关3、特殊情况线性相关性的简单判别法两向量的分量对应不成比例线性无关若|A|≠0线性无关利用向量组部分或全部向量的相关性判别部分相关全部相关全部无关部分无关若向量组B是由向量组A中的每个向量添加一个或几个分量构成组A线性无关组B线性无关组B线性相关组A线性相关

3.3

极大线性无关组和秩一、极大线性无关组和向量组的秩二、矩阵的行秩与列秩三、内容小结(1)向量组线性无关；一、极大线性无关组和向量组的秩

满足定义3.5给定向量组A,若存在A的一个部分组(2)向量组A可以由向量组线性表示;则称向量组是向量组A的一个极大线性无关组简称极大无关组，极大无关组中所含的向量个数称为向量组的秩，向量组的秩可以记为或利用定义不难得到以下结论：（1)只含零向量的向量组没有极大无关组，规定它的秩为0；（2）向量组的极大无关组与向量组自身等价；（3）线性无关向量组的极大无关组就是它本身，它的秩就等于它包含的向量的个数.我们寻找极大无关组的意义在于：研究线性方程组时，将每个方程的未知量系数和常数项构成一个向量，则各个方程就对应一个向量组.寻找到极大无关组后，极大无关组所对应的方程就是方程组里有效的方程，其它的方程就是多余的方程，由有效方程所构成的方程组与原方程组同解，这是用初等行变换法求解线性方程组的理论依据.二、矩阵的行秩与列秩设有矩阵

A的n个列向量向量构成行向量组，行向量组的秩称为矩阵A的行秩.构成列向量组;列向量组的秩称为矩阵A的列秩；

A的m个行设矩阵A的列向量组证明定理3.7矩阵的秩等于它的行秩也等于它的列秩．,按照矩阵秩的定义，有一个不为零的r阶子式设所在的r列构成向量组:若显然是的一个部分组.记则由定理3.4知，线性无关.再考虑由r+1个列向量组成的向量组：如果与中的某个向量相同，则显然可由线性表示；如果不是取自中的向量，记，按照矩阵秩的定义,A的任何r+1阶子式都是零，因此，而线性无关，故即A的列向量组都可由它的一个部分组由定理3.4知，线性相关，可由线性表示；则线性表示；故为A的列向量组的极大无关组，A的列秩为r同理，A的行秩也为r。即矩阵的秩=行秩=列秩.

定理3.7的证明过程，给出了一种较简单的求向量组的秩和寻找极大无关组的方法：将所给的向量组按照列向量组构成矩阵，由于矩阵的秩可以通过初等行变换求得，所以对矩阵施行初等行变换，化为行阶梯形，则非零行的行数就是矩阵的秩也是向量组的秩；由非零行的首个非零元所在的列对应的向量构成的向量组，就是所找的极大线性无关组.如果把矩阵化为行最简形，还可将其它向量表示成极大无关组的线性组合.的秩和一个极大线性无关组，并将其他向量用极大线性无关组线性表示出来。解首先将向量组按照列向量组构成矩阵，并对矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，例3.7求向量组由于行阶梯形矩阵的非零行的行数为3，所以，向量组的秩是3.行阶梯形矩阵非零行的首个非零元分别位于1，2，4列，因此是向量组的极大线性无关组.若要寻找5个向量之间的线性关系，需要将行阶梯形矩阵继续化为行最简形矩阵，若将行最简形矩阵设为B,它的列向量组记为直接观察这几个向量之间的关系，有因此,之间线性关系是一致的.2.向量组的极大无关组唯一吗？秩唯一吗？1.向量组的秩和极大无关组是如何定义的？3.如果一个向量组线性无关，则它的秩是多少？极大无关组是谁？4.矩阵的秩与它的行