八年级数学上册分式化简与解方程专项训练

第页八年级数学上册分式化简与解方程专项训练考试时间：90分钟满分：100分姓名：________班级：________得分：________第一部分：分式化简与求值（共40分）一、选择题（每题3分，共12分）1.下列分式中，是最简分式的是（）A.$\frac{2x}{4x^2}$B.$\frac{x^2-1}{x+1}$C.$\frac{3a^2b}{6ab^2}$D.$\frac{x^2+y^2}{x+y}$2.化简$\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}$的结果是（）A.$\frac{x+2}{x-2}$B.$\frac{x-2}{x+2}$C.$\frac{x+2}{x-2}$（$x\neq2$）D.$\frac{x-2}{x+2}$（$x\neq-2$）3.已知$a=2$，$b=-1$，则$\frac{a^2-b^2}{a^2+2ab+b^2}$的值为（）A.3B.-3C.$\frac{1}{3}$D.14.下列计算正确的是（）A.$\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}=1$B.$\frac{3}{a}-\frac{2}{a}=\frac{1}{a}$C.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{x+y}$D.$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$二、填空题（每题3分，共12分）5.化简：$\frac{6x^2y}{9xy^3}=$________。6.化简：$\frac{m^2-n^2}{m^2+2mn+n^2}=$________。7.计算：$\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x-y}=$________。8.当$x=3$时，分式$\frac{x^2-9}{x-3}$的值为________。三、计算题（每题4分，共16分）9.化简：$\frac{2a}{a^2-4}+\frac{1}{a-2}$10.化简：$\frac{x-1}{x}\div(x-\frac{1}{x})$11.先化简，再求值：$(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1})\div\frac{2}{a^2-1}$，其中$a=3$。12.已知$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$，求$\frac{3x+xy-3y}{x-xy-y}$的值。第二部分：分式方程（共60分）四、选择题（每题3分，共9分）13.下列方程中是分式方程的是（）A.$\frac{x}{2}+1=3$B.$\frac{2}{x}+3x=5$C.$x^2-2x+1=0$D.$\frac{x+1}{3}=\frac{x-2}{4}$14.解分式方程$\frac{3}{x-2}=\frac{4}{x}$时，去分母后得到的整式方程是（）A.$3x=4(x-2)$B.$3x=4x-2$C.$3x=4x-8$D.$3x=4(x-2)$15.若关于$x$的分式方程$\frac{2}{x-3}+\frac{x+m}{3-x}=1$有增根，则$m$的值为（）A.3B.-3C.1D.-1五、填空题（每题3分，共9分）16.方程$\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$的解是$x=$________。17.若分式$\frac{x^2-4}{x-2}$的值为0，则$x=$________。18.某施工队计划修一条1200米的路，实际每天比原计划多修20米，结果提前2天完成。若设原计划每天修$x$米，则可列方程为________。六、解方程（每题5分，共20分）19.$\frac{1}{x-2}=\frac{4}{x^2-4}$20.$\frac{x}{x-2}-1=\frac{4}{x^2-4}$21.$\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{6}{x^2-1}$22.$\frac{3}{2x-4}-\frac{x}{x-2}=\frac{1}{2}$七、应用题（每题11分，共22分）23.甲、乙两地相距180千米。一辆汽车从甲地开往乙地，出发1小时后，另一辆摩托车也从甲地出发，沿同一路线前往乙地。已知摩托车的速度是汽车速度的1.5倍，且两车同时到达乙地。求汽车和摩托车的速度。24.某校为美化校园，计划购买A、B两种树苗共100棵。已知A种树苗每棵30元，B种树苗每棵20元。若购买A种树苗的数量是B种树苗数量的一半，且总费用不超过2300元，则最多能购买A种树苗多少棵？根据题意，先列出分式方程（或方程组）求出A、B两种树苗的数量，再判断是否符合费用要求。参考答案与解析第一部分：分式化简与求值一、选择题1.D解析：A可约分为$\frac{1}{2x}$；B可约分为$x-1$；C可约分为$\frac{a}{2b}$；D的分子分母没有公因式，是最简分式。2.A解析：$\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}=\frac{x+2}{x-2}$，且$x\neq2$。3.A解析：$\frac{a^2-b^2}{a^2+2ab+b^2}=\frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)^2}=\frac{a-b}{a+b}$，代入得$\frac{2-(-1)}{2+(-1)}=\frac{3}{1}=3$。4.B解析：A应为$\frac{x+1}{x+1}=1$，但前提是$x+1\neq0$；C错误，应为$\frac{y+x}{xy}$；D正确，是分式乘法法则。二、填空题5.$\frac{2x}{3y^2}$解析：约去公因式$3xy$。6.$\frac{m-n}{m+n}$解析：$\frac{(m-n)(m+n)}{(m+n)^2}=\frac{m-n}{m+n}$。7.$1$解析：同分母相减，$\frac{x-y}{x-y}=1$($x\neqy$)。8.$6$解析：$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$($x\neq3$)，代入$x=3$时分式无意义，但化简后的整式$x+3$在$x=3$时值为6。本题考察对分式化简求值的理解，当$x=3$时原分式分母为0，无意义，但题目可能默认考察化简后的表达式。三、计算题9.解：原式$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}+\frac{1}{a-2}$$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}+\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$$=\frac{2a+a+2}{(a+2)(a-2)}$$=\frac{3a+2}{(a+2)(a-2)}$10.解：原式$=\frac{x-1}{x}\div\frac{x^2-1}{x}$$=\frac{x-1}{x}\times\frac{x}{x^2-1}$$=\frac{x-1}{x}\times\frac{x}{(x-1)(x+1)}$$=\frac{1}{x+1}$（$x\neq0,1,-1$）11.解：原式$=\frac{(a+1)-(a-1)}{(a-1)(a+1)}\div\frac{2}{a^2-1}$$=\frac{2}{(a-1)(a+1)}\times\frac{a^2-1}{2}$$=\frac{2}{(a-1)(a+1)}\times\frac{(a-1)(a+1)}{2}$$=1$当$a=3$时，原式$=1$。12.解：由$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$，得$\frac{y-x}{xy}=2$，即$y-x=2xy$，所以$x-y=-2xy$。$\frac{3x+xy-3y}{x-xy-y}=\frac{3(x-y)+xy}{(x-y)-xy}$将$x-y=-2xy$代入：原式$=\frac{3(-2xy)+xy}{(-2xy)-xy}=\frac{-6xy+xy}{-3xy}=\frac{-5xy}{-3xy}=\frac{5}{3}$。第二部分：分式方程四、选择题13.B解析：分母中含有未知数的方程是分式方程。14.C解析：方程两边同乘$x(x-2)$，得$3x=4(x-2)$，即$3x=4x-8$。15.D解析：方程化为$\frac{2}{x-3}-\frac{x+m}{x-3}=1$，去分母得$2-(x+m)=x-3$，整理得$2-x-m=x-3$，即$2x=5-m$，$x=\frac{5-m}{2}$。增根为使公分母$x-3=0$的根，即$x=3$。代入得$3=\frac{5-m}{2}$，解得$m=-1$。五、填空题16.$1$解析：去分母得$x+1=2x$，解得$x=1$，经检验是原方程的解。17.$-2$解析：分式值为0，则分子为0且分母不为0。$x^2-4=0$得$x=\pm2$，当$x=2$时分母为0，舍去，故$x=-2$。18.$\frac{1200}{x}-\frac{1200}{x+20}=2$解析：原计划天数$\frac{1200}{x}$，实际天数$\frac{1200}{x+20}$，提前2天即原计划天数比实际多2天。六、解方程19.解：方程两边同乘$(x+2)(x-2)$，得$x+2=4$。解得$x=2$。检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，$x=2$是增根。所以原分式方程无解。20.解：原方程化为$\frac{x}{x-2}-1=\frac{4}{(x+2)(x-2)}$。方程两边同乘$(x+2)(x-2)$，得$x(x+2)-(x+2)(x-2)=4$。整理得$x^2+2x-(x^2-4)=4$，即$2x+4=4$。解得$x=0$。检验：当$x=0$时，$(x+2)(x-2)\neq0$。所以原方程的解是$x=0$。21.解：方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得$2(x-1)+3(x+1)=6$。整理得$2x-2+3x+3=6$，即$5x+1=6$。解得$x=1$。检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，$x=1$是增根。所以原分式方程无解。22.解：原方程化为$\frac{3}{2(x-2)}-\frac{x}{x-2}=\frac{1}{2}$。方程两边同乘$2(x-2)$，得$3-2x=x-2$。整理得$-2x-x=-2-3$，即$-3x=-5$。解得$x=\frac{5}{3}$。检验：当$x=\frac{5}{3}$时，$2(x-2)\neq0$。所以原方程的解是$x=\frac{5}{3}$。七、应用题23.解：设汽车的速度为$x$千米/时，则摩托车的速度为$1.5x$千米/时。汽车从甲到乙所用时间为$\frac{180}{x}$小时。摩托车比汽车晚出发1小时，且同时到达，所以摩托车所用时间为$\frac{180}{1.5x}$小时。根据题意，汽车所用时间比摩托车多1小时：$\frac{180}{x}=\frac{180}{1.5x}+1$。解方程：两边同乘$1.5x$，得$270=180+1.5x$。解得$1.5x=90$，$x=60$。经检验，$x=60$是原方程的解且符合题意。$1.5x=1.5\times60=90$。答：汽车的速度为60千米/时，摩托车的速度为90千米/时。24.解：设购买B种树苗$x$棵，则购买A种树苗$\frac{1}{2}x$棵。根据总棵数为100，列方程：$x+\frac{1}{2}x=100$。解得$\frac{3}{2}x=100$，$x=\frac{200}{3}\approx66.67$。树苗数量需为整数，故$x$必须为偶数且能被3整除？分析方程：$x+0.5x=1.5x=100$，$x=200/3$，不是整数，说明原设“A是B的一半”与“共100棵”可能无法同时满足整数解。调整：设购买A种树苗$a$棵，B种树苗$b$棵。根据题意列方程组：$\begin{cases}a+b=100\\a=\frac{1}{2}b\end{cases}$将$a=\frac{1}{2}b$代入$a+b=100$，得$\frac{1}{2}b+b=100$，$\frac{3}{2}b=100$，$b=\frac{200}{3}$，