2025-2026学年青山区第二教联体八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年青山区第二教联体八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．2cm，3cm，6cm C．12cm，5cm，6cm D．8cm，6cm，4cm3．椅子是一种日常生活家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形稳定性”的是（）A． B． C． D．4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．50° B．58° C．60° D．72°5．等腰三角形的两边分别为5和10，则它的周长是（）A．20 B．15 C．25 D．20或256．如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM＝BN；再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；过点D作DE∥BC交BA于点E．若∠BDE＝30°，则∠AED的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°7．在如图的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm8．如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路CD和EF的距离也必须相等．发射塔应该修建在（）A．∠AOB、∠COF两角的角平分线的交点 B．∠COF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点 C．∠DOF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点 D．∠DOF、∠COF两角的角平分线分别与线段AB的垂线平分线的交点9．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．6410．如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是．12．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是．13．如图，点B、F、C、E四点共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为．15．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1，则AD的长为．16．如图，点A、B在坐标轴上，∠ABO的平分线过点D（2，﹣2）与x轴交于点C．下列结论：①AD平分△OAB的外角；②∠BDA＝45°；③BD＝AB+OC；④OA﹣OB+AB＝4．其中正确的结论有．（填序号）三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝124°，AD⊥AB，交BC于点D，DE是∠ADC的角平分线，求∠ADE，∠DEA的度数．18．（8分）如图，BD＝BC，∠DBE＝∠CBE，求证：AB平分∠DAC．19．（8分）小红在公园里荡秋千．如图，小红从秋千的起始位置A处开始，此时秋千绳OA与地面垂直且A点距离地面0.5m，她两脚在地面上用力一蹬，秋千到达距地面高0.9m的B处，随后借助惯性到达另一侧的C处．已知B、C两点到OA所在直线的水平距离BD、CE分别为1.2m、1.6m．∠BOC＝90°，BD⊥OA于点D，CE⊥OA于点E．求秋千绳OA的长度．20．（8分）如图，在△ABC，△AEF为等腰三角形，AB＝AC，AE＝AF，且∠EAB＝∠FAC，BF与CE相交于点D，连接AD．（1）求证：CE＝BF；（2）求证：AD垂直平分BC．21．（8分）如图，在7×7的正方形网格中，点A、B、C都在格点上，D是AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，并且每张图中画线不能超过8条．（1）在图1中，画△ABC中线AE；在AB上画点D，使得∠BCD＝45°；（2）在图2中，画△ABC高AM，再在AC上画一点N，连DN，MN，使∠DNA＝∠MNC．22．（10分）（1）【问题背景】我们把面积相等但不全等的两个三角形称为“偏等积三角形”．如图1，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝9．点E是AB边上一点，点F是BC边上一点．①当AE＝时，△AEC和△EBC是偏等积三角形；②若△ABF和△AFC是偏等积三角形，求AF的值．（2）【问题探究】如图，在四边形ABCD中，E是BC边上一点，F是BA延长线上一点．AC＝AF，AD＝2AE，且∠BAD+∠EAC＝180°，∠BFD+∠BAC＝180°．试找出图中的偏等积三角形，并证明你的结论．（3）【问题拓展】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．△APD和△BPD为偏等积三角形，且面积均为1，P为AC上一动点，当PD+PB取最小值时，求S△BPC＝．23．（10分）完成下列各题：（1）问题的提出：如图1，在△ABC中，AB＝AC，请你运用所学的全等知识，证明：∠B＝∠C．（2）知识的运用：如图2，已知△ABC是等边三角形，若D是BC边的中点，点P在射线AC上，若△PAD为轴对称图形，则∠APD的度数为．（3）拓展延伸：如图3，已知△ABC是等边三角形，若D在BC边上，∠ADG＝60°，DG与∠ACB的外角平分线交于点G．GH⊥AC于点H，求AH、AC、CD之间的关系．

2025-2026学年青山区第二教联体八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ADCBCCCDCD一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：A．2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．2cm，3cm，6cm C．12cm，5cm，6cm D．8cm，6cm，4cm【解答】解：根据三角形的三边关系，知：A、1+2＝3＜4，不能组成三角形；B、2+3＝5＜6，不能组成三角形；C、5+6＝11＜12，不能组成三角形；D、4+6＝10＞8，能够组成三角形．故选：D．3．椅子是一种日常生活家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形稳定性”的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是利用了“三角形稳定性”，不符合题意；B、不是利用了“三角形稳定性”，不符合题意；C、利用了“三角形稳定性”，符合题意；D、不是利用了“三角形稳定性”，不符合题意；故选：C．4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．50° B．58° C．60° D．72°【解答】解：∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a，∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°，故选：B．5．等腰三角形的两边分别为5和10，则它的周长是（）A．20 B．15 C．25 D．20或25【解答】解：①若5是底边长，10是腰长，则5，10，10能组成三角形，则它的周长是：5+10+10＝25；②若10是底边长，5是腰长，∵5+5＝10，∴5，5，10不能组成三角形，舍去；∴它的周长是25．故选：C．6．如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM＝BN；再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；过点D作DE∥BC交BA于点E．若∠BDE＝30°，则∠AED的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【解答】解：由作图过程可知，射线BD为∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠CBD．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC，∠CBD＝∠BDE＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠AED＝60°．故选：C．7．在如图的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【解答】解：由折叠的性质得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC，∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm），∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝5+2＝7（cm），故选：C．8．如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路CD和EF的距离也必须相等．发射塔应该修建在（）A．∠AOB、∠COF两角的角平分线的交点 B．∠COF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点 C．∠DOF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点 D．∠DOF、∠COF两角的角平分线分别与线段AB的垂线平分线的交点【解答】解：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，要到两条高速公路EF和CD的距离相等需要建在∠DOF和∠COF的平分线上，∴发射塔应该修建在∠DOF和∠COF的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处．故选：D．9．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．64【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：A6B6＝32B1A2＝32．故选：C．10．如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，∴AE＝BE，ED＝EC，∴点E在CD的垂直平分线上，∵AD＝AC，∴点A在CD的垂直平分线上，∴AE垂直平分CD，①正确；∵∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，∴∠AEC＝∠BED，在△ACE和△BDE中，AE=BE∠AEC=∠BED∴△ACE≌△BDE（SAS），∴∠ACE＝∠BDE，AC＝BD，∵∠DNE＝∠CNM，如图所示：∴由三角形内角和定理得：∠CMB＝∠DEC＝90°，∴AC⊥BD，∵AD＝AB，∴AC平分∠BAD，②正确；∵AC＝BD，AD＝AC＝AB，∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形，③正确；∴∠BAD＝∠ABD＝60°，∠DAC＝∠BAC＝30°，∵AD＝AC＝AB，∴∠ACD＝∠ADC＝∠ACB＝∠ABC=12（180°﹣30°）＝∴∠BCD＝2×75°＝150°，④正确；正确的个数有4个，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2）．【解答】解：根据轴对称的性质，得点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2）．12．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是同位角相等，两直线平行．【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．故答案为：同位角相等，两直线平行．13．如图，点B、F、C、E四点共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件AB＝DE（答案不唯一），使得△ABC≌△DEF．【解答】解：添加一个条件：AB＝DE，理由：∵BF＝EC，∴BF+CF＝CE+CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB=DF∠B=∠E∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为60°或120°．【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是60°；当高在三角形外部时，顶角是120°．故答案为：60°或120°．15．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1，则AD的长为7．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠ACD＝60°；又∵AE＝CD，在△ABE和△CAD中，AB=CA∠BAE=∠ACD∴△ABE≌△CAD（SAS），∴BE＝AD，∠CAD＝∠ABE，∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB＝90°，则∠PBQ＝90°﹣60°＝30°，∵PQ＝3，在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝6，又∵PE＝1，∴AD＝BE＝BP+PE＝7，故答案为：7．16．如图，点A、B在坐标轴上，∠ABO的平分线过点D（2，﹣2）与x轴交于点C．下列结论：①AD平分△OAB的外角；②∠BDA＝45°；③BD＝AB+OC；④OA﹣OB+AB＝4．其中正确的结论有①②④．（填序号）【解答】解：过点D作DE⊥y轴于点E，作DH⊥x轴于点H，作DF⊥BA的延长线于点F，∴∠DEB＝∠AHD＝∠AFD＝90°，∵D（2，﹣2），∴DE＝DH＝2，∵BD平分∠ABO，∴DE＝DF＝2，∴DH＝DF，在Rt△AHD与Rt△AFD中，DH=DFAD=AD∴Rt△AHD≌Rt△AFD（HL），∴∠HAD＝∠FAD，∴AD平分∠OAF，即AD平分△OAB的外角，故①正确；∵Rt△AHD≌Rt△AFD，∴∠ADH＝∠ADF，∵DH⊥x轴，∴DH∥BE，∴∠CDH＝∠CBO，∵BD平分∠ABO，∴∠CBO＝∠FBD，∵∠AFD＝90°，∴△BFD为直角三角形，∴∠FBD+∠BDF＝90°，∵∠BDF＝∠CDH+∠ADH+∠ADF，∴∠CBO+∠CDH+∠ADH+∠ADF＝2∠CDH+2∠ADH＝90°，∴∠BDA＝∠CDH+∠ADH＝45°，故②正确；无法得出③的结论，故错误；设AF＝x，则AH＝x，∵DE＝2，DH＝2，∴OH＝2，OE＝2，在Rt△BED与Rt△BFD中，DE=DFBD=BD∴Rt△AHD≌Rt△AFD（HL），∴BE＝BF，∵BF＝AB+AF＝AB+x，BE＝OB+OE＝OB+2，即AB+x＝OB+2，∵OA＝AH+OH＝2+x，∴x＝OA﹣2，∴AB+x＝AB+OA﹣2＝OB+2，∴AB+OA﹣OB＝2+2＝4，故④正确；故答案为：①②④．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝124°，AD⊥AB，交BC于点D，DE是∠ADC的角平分线，求∠ADE，∠DEA的度数．【解答】解：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∵∠B＝30°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝120°，∵DE是∠ADC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE=12∠ADC＝∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣30°﹣124°＝26°，∴∠DEA＝∠C+∠CDE＝26°+60°＝86°．18．（8分）如图，BD＝BC，∠DBE＝∠CBE，求证：AB平分∠DAC．【解答】证明：∵∠DBE＝∠CBE，∴∠ABD＝∠ABC，在△ABD与△ABC中，BD=BC∠ABD=∠ABC∴△ABD≌△ABC（SAS），∴∠DAB＝∠CAB，即AB平分∠DAC．19．（8分）小红在公园里荡秋千．如图，小红从秋千的起始位置A处开始，此时秋千绳OA与地面垂直且A点距离地面0.5m，她两脚在地面上用力一蹬，秋千到达距地面高0.9m的B处，随后借助惯性到达另一侧的C处．已知B、C两点到OA所在直线的水平距离BD、CE分别为1.2m、1.6m．∠BOC＝90°，BD⊥OA于点D，CE⊥OA于点E．求秋千绳OA的长度．【解答】解：由题意得OC＝BO，∵CE⊥OA于点E，BD⊥OA于点D，∴∠CEO＝∠ODB＝90°，∴∠OCE+∠COE＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠BOD+∠COE＝90°，∴∠OCE＝∠BOD，在△CEO和△ODB中，∠CEO=∴△CEO≌△ODB（AAS），∴BD＝OE＝1.2m，∵CE＝1.6m，∴OC＝OA=CE220．（8分）如图，在△ABC，△AEF为等腰三角形，AB＝AC，AE＝AF，且∠EAB＝∠FAC，BF与CE相交于点D，连接AD．（1）求证：CE＝BF；（2）求证：AD垂直平分BC．【解答】证明：（1）∵∠EAB＝∠FAC，∴∠EAB+∠BAC＝∠FAC+∠BAC，即∠EAC＝∠FAB，在△EAC与△FAB中，AE=AF∠EAC=∠FAB∴△EAC≌△FAB（SAS），∴CE＝BF；（2）∵△EAC≌△FAB，∴∠AEC＝∠AFB，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠AEC﹣∠AEF＝∠AFB﹣∠AFE，即∠DEF＝∠DFE，∴ED＝DF，在△AED与△AFD中，AE=AFAD=AD∴△AED≌△AFD（SSS），∴∠EAD＝∠FAD，∴∠EAD﹣∠EAB＝∠FAD﹣∠FAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，由等腰三角形的三线合一可知，AD垂直平分BC．21．（8分）如图，在7×7的正方形网格中，点A、B、C都在格点上，D是AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，并且每张图中画线不能超过8条．（1）在图1中，画△ABC中线AE；在AB上画点D，使得∠BCD＝45°；（2）在图2中，画△ABC高AM，再在AC上画一点N，连DN，MN，使∠DNA＝∠MNC．【解答】解：（1）如图1，取BC的中点E，连接AE，过点B作BF⊥BC且BF＝BC，连接CF，交AB于点D，则AE和点D即为所求．（2）如图2，AM即为所求．取点M关于AC的对称点M'，连接DM'交AC于点N，此时∠DNA＝∠M'NC＝∠MNC，则点N即为所求．22．（10分）（1）【问题背景】我们把面积相等但不全等的两个三角形称为“偏等积三角形”．如图1，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝9．点E是AB边上一点，点F是BC边上一点．①当AE＝3时，△AEC和△EBC是偏等积三角形；②若△ABF和△AFC是偏等积三角形，求AF的值．（2）【问题探究】如图，在四边形ABCD中，E是BC边上一点，F是BA延长线上一点．AC＝AF，AD＝2AE，且∠BAD+∠EAC＝180°，∠BFD+∠BAC＝180°．试找出图中的偏等积三角形，并证明你的结论．（3）【问题拓展】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．△APD和△BPD为偏等积三角形，且面积均为1，P为AC上一动点，当PD+PB取最小值时，求S△BPC＝1．【解答】解：（1）①∵△AEC和△EBC是偏等积三角形，∴AE＝EB=12故答案为：3；②如图1，作AG⊥BC，交CB的延长线于点G，设BG＝x，AG＝y，∵△ABF和△AFC是偏等积三角形，∴BF＝CF＝2，在Rt△ABG好和Rt△ACG中，由勾股定理得，x2∴x=29∴AF=A（2）如图2，△ABC和△ADF，△ABE和△ACE是偏等积三角形，理由如下：取AD的中点G，连接FG，∴AG＝DG=12∵AD＝2AE，∴AG＝DG＝AE，∵∠BAD+∠EAC＝180°，∠FAG+∠BAD＝180°，∴∠FAG＝∠EAC，∵AC＝AF，∴△AFG≌△ACE（SAS），∴∠AGF＝∠AEC，FG＝CE，∠AFG＝∠ACE，∴180°﹣∠AFG＝180°﹣∠AEC，∴∠DGF＝∠AEB，∵∠BFD+∠BAC＝180°，∠CAF+∠BAC＝180°，∴∠BFD＝∠CAF，∴∠AFG+∠DFG＝∠ABE+∠ACE，∴∠DFG＝∠ABE，∴△ABE≌△DFG（AAS），∴BE＝FG，∴BE＝CE，∴S△ABC＝S△ADF，S△ABE＝S△ACE，△ABC和△ADF不全等，△ABE和△ACE不全等，∴△ABC和△ADF，△ABE和△ACE是偏等积三角形；（3）如图3，延长BC至E，使CE＝BC，连接DE，交AC于P，此时PD+PB最小，∵