湖南炎德英才名校联考2027届高三上学期开学考试数学+答案

高三数学一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A.—1B.1C.√23.已知集合A={e,2},B={log₂2,0°},则A∩B=A.{1}A.-16.已知抛物线y=x²上两点A(a,a²),B(b,b²)处的切线互相垂直，则ab=比h:r的值为A.1:1A.499.已知函数,则A.f(x)的最小正周期为110.已知a=log₂3,b=log₃4,c=log45,则A.abc=log₂5B.a<1.5C.a>b>cD11.已知正四面体ABCD的棱长为2,点P在棱AB上(不含端点),过点P且平行于AC和BDA.截面四边形面积的最大值为1B.三棱锥P-BCD的体积的最大值C.三棱锥P-BCD的外接球半径的最小值D.异面直线PC与AD所成角的余弦值的取值范围12.已知随机变量X服从正态分布N(1,4),若P(|X|≤1)=0.3413,则P(1≤X≤3)13.双曲的焦点坐标为·过程或演算步骤.(2)已知AD平分∠BAC且交BC于点D,AD=1,求BC的最小值.16.(★)(15分)ABCD,AD⊥PB,O是AD的中点.A(2)若AB=4,求点O到平面PBC的距离.17.(15分)过得10分，未通过得0分，已知该选手三个环节全部参加.记X为该选手的总得分.(2)求随机变量X的分布列；(3)学校规定：总分达到20分及以上可获一等奖学金500元，总分10分可获二等奖学金20018.(17分)(1)求椭圆C的标准方程；(3)设直线l与椭圆C交于M,N两点，坐标原点O到直线l的距离为,求△OMN面积的最大值.19.(17分)已知函数f(x)=xe²—a(x+1nx),其中a∈R.(1)讨论函数f(x)的零点个数；高三数学一参考答案123456789BCACDABC同理B={1,0},故A∩B={1},故选A. 代入h的表达式,因此h:,故选B.2xy]—(x²+2xy+y²)=[f(x)-x²]+[f(y)-y²]=g(x)+g(y).即g(x)满足g(x+y)=g(x)+g(y).②又由f(1)=1,得g(1)=f(1)-1²=0.由②令y=1得g(x+1)=g(x)+g(1)=g(x),说明g(x)以1为周期；则g(10)=g(1)=0,即f(10)=10²,同理f(9)=9²,…,f(1)=1²,∴f(10)一f(9)+f(8)—…—f(1)=10²—9²+8²-…-1²[f(4)—f(3)]+[f(2)—f(1)]=5f(1)+2(9+7+5+3+1)=55.故选C.,k∈Z,解得,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z,D正确；故选BD.比较a,b与1.5的大小：31.5=3√3=√27>4,故log₃4<1.5,因此a>1.5>b.比较b,c与1.25的大小：31.25=3=4243,而4⁴=256>243,故4>31.25,即log₃4>1.25;41.25=48=41024,而5⁴=625<1024,故41.25>5,即log₄5<1.25,因此b>1.25>c.故选AC.所以截面四边形PQSR是平行四边形.因此截面面积S=(2—x)x≤1,当x=1时取到最大值1,故A正确；对于B,三棱锥P-BCD与四面体A-BCD同底，高之比,在0<x<2上单调递减，对于C:设△BCD的外心为O,令,则P到底面BCD的距离为h(1—t),P在底面上的投影到O的距离为tr.外接球球心在过0且垂直于底面BCD的直线上.设球心到O的距离为k,则外接球半径R满足R²=r²+k²,由到P的距离等于到B,C,D的距离，即(h(1—t)一k)²+t²r²=R²=r²+k²,代入数可得3t²—4t+1=√6k(1—t),对于D:取坐标A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,√3,0),设P(x,0,0),其中0<x<2.所以故选ACD.即P(|X|≤1)=P(-1≤X≤1)=P(此时a²=m+7,b²=—(m+3),则c²=a²+b²=m+7—(m+3)=4,所以该双曲线的焦点为(0,±2).所以2m·n-1=0,所以不妨设m=OA=(1,0),c=OC=(x,y),设OD=λm+(1—λ)n=λOA+(1—λ)OB,则D在直线AB上，又直线AB的方程为又O到直线AB的距离所,……………5分由基本不等式可得b+c≥2√bc,即√3bc≥2√bc,,………………11分当且仅当b=c时取等号.,当且仅当b=c时取等号.……12分,∴BC的最小值为………………………13分16.【解析】(1)连接PO,因为△PAD是等边三角形，O是AD的中点，所以AD⊥PO1分又因为AD⊥PB,PO,PBC平面POB,PO∩PB=P,所以AD⊥平面POB.3分因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以OB⊥平面PAD6分(2)法一：在菱形ABCD中，AD//BC,由(1)得AD⊥平面POB,所以BC⊥平面POB.7分在平面POB内，作OHLPB于H.因为BC⊥平面POB,OHC平面POB,所以OH⊥BC.9分又因为OHLPB,PB,BCC平面PBC,PB∩BC=B,所以OH的长度为点O到平面PBC的距离12分在Rt△AOB中，因为AB=4,AO=2,∠AOB=90°,所以OB=2√3,同理PO=2√313分在Rt△POB中，因为OB=OP=2√3,所以PB边上的高OH=√6.即点O到平面PBC的距离为√615分法二：因为OB⊥平面PAD,OPC平面PAD,所以OBLOP.由(1)得OP,OB,AD两两垂直，故以OA,OB,OP分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz8分则P(o,0,2√3),B(0,2√3,0),C(-4,2√3,0)9分PB=(0,2√3,-2√3),BC=(-4,0,0),OP=(0,0,2√3)设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),所以n=(0,1,1)是平面PBC的一个法向量13分所以点O到平面PBC的距离…………………15分数学参考答案(27Y)-5,通过第1,2个，未通过第3个………………2分通过第1,3个，未通过第2个………………3分通过第2,3个，未通过第1………………4分因此，恰好通过两个环节的总概率为………………5分仅通过第1个仅通过第2个所以………………………8分③当X=20时，恰好通过两个环节，由(1)可知……………9分X0P…………………11分当X=30或X=20时(总分≥20),获得一等奖学金500元；当X=0时，获得0元.…………………13分所以Y的分布列为：Y0P又c²=a²—b²,所以………………2分故椭圆C的标准方程……………4分……………7分由椭圆方程知………………………8分k,为定值.……………10分(3)设直线l:y=kx+m,判别式△=36k²m²-4(1+3k²)(3m²—6)=24—12m²+72k²,设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),,…13分此时当直线l斜率不存在时，由O到直线l的距离为可知,由对称性取此时综上可得，△OMN面积的最大值为√3.………………………17分19.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),将函数变形得f(x)=em+x—a(x+Inx),…·1分令t(x)=x+lnx,由于,故t(x)在(0,+∞)上单调递增，其值域为R.…2分于