2026秋人教A版高一（必修一） 周测练2　一元二次函数、方程和不等式

周测练(二)

一元二次函数、方程和不等式(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{0，1，2，3，5，6，7}，B＝{x|x2－5x－6<0}，则A∩B＝()A．{0，1，2，3，5} B．{1，2，3，5，6}C．{0，2，3，5，6} D．{1，2，3，5}2．已知x∈R，m＝2x(x＋2)，n＝(x－1)(x＋3)，则()A．m<n B．m>nC．m≤n D．m≥n3．已知x<y<0<z，则()A．xy<y2<yz B．xz<yz<z2C．xy<yz<y2 D．z2<yz<xz4．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，则不等式cx2＋bx＋a>0的解集为()A．x−1<x<1C．x−12<5．不等式x2＋ax＋4<0的解集不为空集，则a的取值范围是()A．{a|－4≤a≤0} B．{a|－4<a<4}C．{a|a≤－4，或a≥4} D．{a|a<－4，或a>4}6．设12<x<2，则12xA．81 B．27C．9 D．37．若两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，且不等式x＋y4<m2－m有解，则实数mA．－1<m<2 B．m<－2或m>1C．－2<m<1 D．m<－1或m>28．设计用96m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是()A．82m3 B．32m3C．42m3 D．64m3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知2<x<3，2<y<3，则()A．6<2x＋y<9 B．2<2x－y<3C．－1<x－y<1 D．4<xy<910．下列结论错误的是()A．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为RB．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0C．若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则a≤－1D．不等式1x>1的解集为x11．若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．当a<－1时，不等式(a－x)(x＋1)>0的解集为________．13．(教材P49习题2.2T7改编)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则顾客购得的黄金________10g(填“大于”“小于”或“等于”)14．(2026·上海高考)已知a2＋4b2＝1，则ab的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)(1)已知a>1，证明a＋2>31−(2)已知实数a>0，b>0，求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)．16．(本小题满分15分)已知函数y＝(m＋1)x2－mx＋1．(1)当m＝5时，求不等式y>0的解集；(2)若不等式y>0的解集为R，求实数m的取值范围．17．(本小题满分15分)已知关于x的二次函数y＝ax2－bx＋1(a≠0)．(1)若y<0的解集为x|x<−12，或x>1，(2)若实数a，b满足b＝a＋1，求关于x的不等式y<0的解集．18．(本小题满分17分)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响．据以上预报估计，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长(精确到0.1h)?19．(本小题满分17分)已知实数a，b，c满足a>b>c．(1)求证：1a−b＋1b(2)将上述不等式加以推广，把1c−a的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得1a−b＋1b−c＋pc−a(3)继续推广，自然数m，n，p满足什么条件时，不等式ma−b＋nb−c＋pc周测练(二)1．A[已知集合A＝{0，1，2，3，5，6，7}，B＝{x|x2－5x－6<0}＝{x|－1<x<6}，则A∩B＝{0，1，2，3，5}．故选A．]2．B[根据题意，m＝2x(x＋2)，n＝(x－1)·(x＋3)，而x∈R，则有m－n＝2x2＋4x－(x2＋2x－3)＝x2＋2x＋3，又由x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，故m>n．故选B．]3．B[由x<y<z，y<0，根据不等式性质得xy>y2>yz，故A，C错误；因为x<y<z，z>0，根据不等式性质得xz<yz<z2，故B正确，D错误．故选B．]4．D[若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，则a<0，且－2，1为方程ax2＋bx＋c＝0的根，则−2+1=−故b＝a，c＝－2a，故不等式cx2＋bx＋a>0即为－2ax2＋ax＋a>0，故2x2－x－1>0，则x<－12或x>1故所求解集为x|故选D．]5．D[不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，所以Δ＝a2－16>0，所以a<－4或a>4．所以a的取值范围是{a|a<－4，或a>4}．故选D．]6．B[因为12<x<2，所以2x－1>0，2－x>0由基本不等式可得，12x−1＋322−x＝12x−1＋644−2x＝13·12x−1＋644−2x[(2x－1)＋(4－2x)]＝1365＋4−2x2x−1＋64(2x当且仅当4－2x＝8(2x－1)，即x＝23时等号成立故选B．]7．D[因为正实数x，y满足4x＋y＝2xy，所以4y＋1x＝所以x＋y4＝124y＝2，当且仅当4xy＝y4x且4y即x=1，y因为不等式x＋y4<m2－m有解所以只需x+y4min<m2－m，即m2－所以m<－1或m>2．故选D．]8．D[设长方体车厢(无盖)的长为am，高为bm，a>0，b>0，由题得2a＋2ab＋2×2b＝96，即96－2ab＝2a＋4b，所以96－2ab＝2a＋4b≥22a·4b＝4即ab＋22·ab－48≤0，当且仅当a＝2b时等号成立，由a>0，b>0，ab＋22·ab－48≤0，得0<ab≤42，即0<ab≤32，因为车厢的容积为2abm3且2ab≤64，当且仅当a＝8，b＝4时等号成立，所以车厢的最大容积是64m3．故选D．]9．ACD[∵2<x<3，2<y<3，∴4<xy<9．∴4<2x<6，6<2x＋y<9，∴－3<－y<－2，－1<x－y<1，1<2x－y<4．故选ACD．]10．ABD[对于A，当a<0时，ax2＋bx＋c>0的解集为⌀，故A错误．对于B，当a＝b＝0且c≤0时也恒成立，故B错误．对于C，当a＝0时，不等式为x－1≤0，此时解集不是R，舍去；当a≠0时，要使解集为R，需a解得a≤－14，故C正确对于D，不等式可化为1−xx>0，即x即x(x－1)<0，解得0<x<1，故D错误．故选ABD．]11．BC[对于A，B，由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤(x即1≥(x＋y)2－3(x+∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；对于C，D，由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤x2∴x2＋y2≤2，故C正确，D错误．故选BC．]12．{x|a<x<－1}[依题意，a<－1，且函数y＝(a－x)(x＋1)的图象开口向下，两个零点为a和－1，所以不等式的解集为{x|a<x<－1}．]13．大于[由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a，右臂长为b，则a≠b，再设先称得的黄金为xg，后称得的黄金为yg，则bx＝5a，ay＝5b，∴x＝5ab，y＝∴x＋y＝5ab＋5ba＝5ab+ba当且仅当ab＝ba，即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋因此，顾客购得的黄金大于10g．]14．14[当a，b异号时，ab为负值；当a，b中有0时，ab为0；当a，b同号时，a2＋4b2＝1即a2＋(2b)2＝1，由基本不等式得a2＋(2b)2≥2×a×2b＝4ab，当且仅当a＝2b时等号成立，所以ab≤14．综上，ab的最大值为15．证明：(1)(a＋2)－31−a＝(a由于a2＋a＋1＝a+122＋3∴当a>1时，a－1>0，a2+a+1a−1>0，(2)∵a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋3b2≥2b(a＋b)．16．解：(1)当m＝5时，得y＝6x2－5x＋1，由y>0，得6x2－5x＋1>0，即(3x－1)·(2x－1)>0，解得x<13或x>1故不等式y>0的解集为xx<13，或x>1(2)由题意得，(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为R，当m＝－1时，不等式可化为x＋1>0，解得x>－1，即(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为{x|x>－1}，不符合题意，舍去；当m≠－1时，y＝(m＋1)x2－mx＋1的图象开口向上，且与x轴没有交点时，(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为R，所以m解得m即2－22<m<2＋22，综上，得2－22<m<2＋22．故实数m的取值范围为{m|2－22<m<2＋22}．17．解：(1)因为y<0的解集为x|所以－12与1是方程ax2－bx＋1＝0的两个实数根由根与系数的关系得−12+1=ba，−1(2)因为b＝a＋1，所以不等式y<0化为ax2－(a＋1)x＋1<0，因式分解为(ax－1)(x－1)<0(a≠0)，当a<0时，1a<0，解得x>1或x<1a，不等式的解集为当0<a<1时，1a>1，解得1<x<1a，不等式的解集为当a>1时，0<1a<1，解得1a<x<1，不等式的解集为当a＝1时，化为(x－1)2<0，则解集为⌀．综上所述，当a>1时，不等式的解集为x1a<x<1；当a＝1时，不等式的解集为⌀；当0<a<1时，不等式的解集为x|1<当a<0时，不等式的解集为x|18．解：如图所示：设风暴中心最初在A处，经th后到达B处，向x轴作垂线，垂足为C，若在点B处受到风暴的影响，则OB＝450，OC＝600cos45°＝3002，AC＝600sin45°＝3002，AB＝20t，因为OC2＋BC2＝OB2，所以(3002)2＋(3002－20t)2＝4502，即4t2－1202t＋1575＝0，由求根公式得t＝15(22−1)2≈13.7或t又15(22+1)2－15(2所以从现在起大约13.7h后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为15h．19．解：(1)证明：因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，a－c>0，所以1a−b＋1b−c(a－c)＝1a−b＋1b−c[(a－＝2＋a−bb−c＋b−ca当且仅当a−bb−c＝b−ca−b，即a－b＝b－c所以1a−b＋1b−所以1a−b＋1(2)1a−b＋1b−c＋