2026秋人教A版高一（必修一） 周测练5　三角函数

周测练(五)三角函数(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为()A．－32 B．C．－12 D．2．扇形的圆心角为0.5弧度，周长为15，则它的面积为()A．5 B．6C．8 D．93．已知点P(4，－3)是角α终边上一点，则cos(π+α)A．3 B．－3C．4 D．－44．要得到函数y＝sin3x−π3的图象，只要把函数yA．向左平移π3B．向右平移π3C．向左平移π9D．向右平移π95．已知tanα，tanβ为方程x2＋6x－2＝0的两个实数根，则cos(α−A．－12 B．C．16 D．6．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin3xA．3 B．4C．6 D．87．(2026·全国Ⅱ卷)已知α为第二象限角，3sin2αcosα＝8sinαcos2α，则1+sinαA．34 B．C．12 D．8．已知函数f(x)＝sin3ωx+π3(A．－32 B．－C．0 D．3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法中正确的是()A．sinx+5π2B．若α是第二象限角，则α2C．若α＝－10rad，则角α所在象限是第二象限D．若sinα＋cosα＝15，0<α<π，则sinα－cosα＝±10．对于函数f(x)＝sin2x和g(x)＝sin2x−A．f(x)与g(x)有相同的零点B．f(x)与g(x)有相同的最大值C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴11．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|，以下说法正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)在区间0，πC．f(x)＝1在[－π，π]上有四个根D．f(x)的最大值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若sinx＝3−2m2，x∈−π613．已知函数f(x)＝sinωx+π3(ω>0)在−π314．若3sinα－sinβ＝10，α＋β＝π2，则sinα＝________，cos2β＝四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，x∈R，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)＝fx+π6＋fx−π6，求函数16．(本小题满分15分)设函数f(x)＝sinωx−π6＋sinωx−π2，其中0<ω<3，已知函数(1)求函数f(x)解析式；(2)若α∈π4，π，β∈π，3π2，且fα+π6＝155，(ⅰ)求sin2α的值；(ⅱ)求α＋β值．17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝23sin(π－x)cosx＋2cos2x．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若x∈−π3，π6，求函数(3)若函数g(x)＝f(x)－1在−π6，m上有且仅有两个零点18．(本小题满分17分)已知下列是两个等式：①sin60°·sin30°＝sin245°－sin215°；②sin5·sin1＝sin23－sin22；(1)请写出一个更具有一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例；(2)请证明你的结论．19．(本小题满分17分)(教材P255复习参考题5T23改编)已知正方形ABCD的边长为1，点P，Q分别在边AB，AD上，设∠DCQ＝α，∠BCP＝β．(1)若AP＝DQ，求tan(α＋β)的最大值；(2)若△APQ的周长为2，求∠PCQ的大小．周测练(五)1．D[sin45°cos15°＋cos225°sin15°＝sin45°cos15°＋cos(180°＋45°)sin15°＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12．故选2．D[设半径为r，则周长15＝2r＋0.5r，解得r＝6，扇形面积为12×0.5r2＝12×0.5×36＝9，3．C[∵点P(4，－3)是角α终边上一点，∴sinα＝－35，cosα＝4∴cos(π+α)cosπ2+故选C．]4．D[由题意知y＝sin3x－π3＝sin3x－π9，所以只需把y＝sin3x的图象向右平移π9个单位长度就可以得到y＝sin3x－π3的图象，故选D．]5．C[因为tanα，tanβ是方程x2＋6x－2＝0的两根，由根与系数的关系知，tanα＋tanβ＝－6，tanαtanβ＝－2，所以cos(α−β)sin(α+β)故选C．]6．C[因为函数y＝sinx的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin3x−π6的最小正周期为所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin3x－π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点．故选C．]7．C[法一(三角变换法)：由题可得6sinαcos2α＝8sinα(cos2α－sin2α)，结合α为第二象限角知sinα>0，cosα<0，得4sin2α＝cos2α．因为sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝55，cosα＝－255，所以1+sinα2−cosα＝1+5法二(弦化切)：因为α为第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，tanα<0，sin2α≠0，结合3sin2αcosα＝8sinαcos2α，知cos2α≠0，于是得3tan2α＝8tanα，利用二倍角公式知3×2tanα1−tan2α＝8tanα，得tanα＝－12，则sinα＝55，cosα＝－255，8．A[f(x)＝sin3(ωx+π3)＝sin(3ωx＋π)＝－sin3ωx，由T＝2π3ω＝即f(x)＝－sin2x，当x∈－π12，π6时，2x∈－π6，π3，sin2x∈−12，32，所以，当x＝π6时，f(x)min＝－sin9．AC[对于A，由诱导公式sin(x＋2kπ)＝sinx，及sinx+π2＝cos可得sinx+5π2＝sinx+π2+2π＝sinx+π对于B，因为α是第二象限角，所以π2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，则有π4＋kπ<α2<π2＋kπ，所以α2为第一或第三象限角，故B错误对于C，因为α＝－10rad∈−7π2，−3π，所以角α所在象限是第二象限，故对于D，因为sinα＋cosα＝15，平方后可得(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝125⇒2sinαcosα＝－2425，又0<所以sinα>0，cosα<0，则有sinα－cosα>0，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－−2425＝4925⇒sinα－cosα＝75．故D10．BC[A选项，令f(x)＝sin2x＝0，解得x＝kπ2，k∈Z，即为f(x)令g(x)＝sin2x−π4＝0，解得x＝kπ2＋π8，k∈Z，显然f(x)，g(x)的零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为2π2＝π，C选项正确D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的图象的对称轴满足2x＝kπ＋π2，k∈Z，即x＝kπ2＋π4，g(x)的图象的对称轴满足2x－π4＝kπ＋π2，k∈Z，即x＝kπ2＋3π8显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误．故选BC．]11．ACD[对于A，因为f(x)＝sin|x|＋|sinx|的定义域为R，且f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈N)时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx；当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈N)时，f(x)＝sinx－sinx＝0；又f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，则可得f(x)图象如图所示：由图象可知f(x)在0，π2上单调递增，故B对于C，f(x)与y＝1在[－π，π]上有四个交点，即f(x)＝1在[－π，π]上有四个根，故C正确；对于D，f(x)＝sin|x|＋|sinx|≤2，由图象可知f(x)max＝2，故D正确．故选ACD．]12．12，2[当x＝－πy＝sinx取得最小值－12，当x＝π2y＝sinx取得最大值1．所以当x∈−π6，5π6时，－12≤即－12≤3−2m2解得12≤m≤2．即m的取值范围是113．0，12[令－π2＋2kπ≤ωx＋π3≤π2＋2kπ，k∈解得－5π6ω＋2kπω≤x≤π6ω所以f(x)的单调递增区间为－5π6ω＋2kπω，π6ω＋2因为f(x)在－π3，π3上单调递增，所以−5π6ω≤−π3，π3≤14．3101045[因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α，所以3sinα－sinβ＝3sinα－所以3sinα－cosα＝10，又sin2α＋cos2α＝1，则sinα=31010，cosα=−1010，cos2β＝2cos215．解：(1)根据题意知A＋B＝3，B－A＝－1，∴A＝2，B＝1，12T＝5π12－−π12＝π2，∴T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x将点−π12，−1代入得到2sin－π6＋φ＋1＝－又|φ|<π，∴φ＝－π3∴f(x)＝2sin2x−(2)∵g(x)＝fx+π6＋fx−π6＝2sin2x＋1＋2sin2x−2π3＋1＝sin2x－3cos∵x∈0，π2，2x－π3∴g(x)＝2sin2x−π3＋2∈[2即函数g(x)在区间0，π2上的值域为[2－316．解：(1)由题意得f(x)＝32sinωx－12cosωx－cosωx＝32sinωx－3＝3＝3sinωx−根据点π6，0在f(x)图象上，可得fπ6＝3sinω化简得ωπ6－π3＝kπ，k∈Z，即ω＝6k＋2，k结合0<ω<3，可得ω＝2，所以f(x)＝3sin2x(2)(ⅰ)由题意得fα+π6＝3＝3sin2α＝155化简得sin2α＝55(ⅱ)根据α∈π4，π，可得2α∈π2，2π，结合sin2α＝55>0，可得所以α∈π4cos2α＝－1−sin22由β∈π，3π2，可得β－α∈根据sin(β－α)＝1010>0，可知β－α∈π所以cos(β－α)＝－1−sin2(根据α∈π4，π2，β∈π，3π2，可得α＋β＝(β－α)所以cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝22，所以α＋β＝7π17．解：(1)f(x)＝23sin(π－x)cosx＋2cos2x＝23sinxcosx＋2×1+cos2＝3sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x+π所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝(2)因为x∈−π3，π6，所以2x所以sin2x+π6∈[－所以f(x)＝2sin2x+π6＋1∈[－故函数f(x)的值域为[－1，3]．(3)令g(x)＝f(x)－1＝0，则f(x)＝1，所以2sin2x+π6＋即sin2x+π原问题等价于sin2x+π6＝0由x∈−π得2x＋π6∈−所以π≤2m＋π6<2π，解得5π12≤m<故m的取值范围为5π1218．解：(1)由题意可得出具有一般性的关于三角的等式为sinαsinβ＝sin2α+β2－sin(2)证明：因为sin2α+β2sin2α−β2故sin2α+β2－sin2α−＝12[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝12×2sinαsinβ＝sinαsin即sinαsinβ＝sin2α+β2－sin19．解：(1)设AP＝DQ＝λ(0<λ