赵树嫄微积分第四版第八章多元函数微积分

第七节二重积分特点：平顶.曲顶柱体体积=？特点：曲顶.1、背景：曲顶柱体的体积(一)二重积分的基本概念柱体体积=底面积

╳高步骤如下：S:z=f(x,y)任意分割曲顶柱体的底，分割x0z

yD

i并取典型小区域，近似以平代曲S:z=f(x,y)x0z

yD

i步骤如下：任意分割曲顶柱体的底，分割并取典型小区域，近似以平代曲求和S:z=f(x,y)x0z

yD

i步骤如下：任意分割曲顶柱体的底，分割并取典型小区域，近似以平代曲求和S:z=f(x,y)x0z

yD

i步骤如下：分割近似求和极限x0z

yV.步骤如下：分割近似求和极限曲顶柱体的体积2、二重积分的定义积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素即说明：（2）由定义可知

如果f(x,y)在D上可积

则积分和的极限存在

且与D的分法无关

在直角坐标系中常用平行于x轴和y轴的两组直线分割D

于是小区域的面积为

i

xi

yi(i

1,2,

,n)

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为3、二重积分的性质下面假定f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,A为D的面积。

性质2线性性质

这里A为D的面积。性质1性质4性质3区域可加性

推论1推论2性质5估值性质证所以于是性质6(二重积分的中值定理)证由性质5知,

即得证。(二)在直角坐标系下二重积分的计算dxyoc如果积分区域为D：0xz

ycdDz=f(x,y)x=

(y)x=

(y)y0xz

ycdDz=f(x,y)x=

(y)x=

(y)y问题：Q(y)是什么图形？是曲边梯形!0xz

yx=(y)ycdDz=f(x,y)x=

(y)一般记为dxyoc——先对y后对x的二次积分如果积分区域为：——先对x

后对y的二次积分后积的投影先积的穿线dxyoc累次积分积分区域为：一般地，——先对y后对x的二次积分abxyo后积的投影先积的穿线累次积分求二重积分的步骤1.画区域D的图像2.求交点4.确定积分变量的先后,若是X型，就先y后x5.确定上下限,内层积上下限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数6.确定被积函数7.计算3.确定区域的类型X、Y将化为累次积分,其中

D

由直线围成。解法1先画出积分区域D，将D

向y

轴投影，先x后y,例1xyoxyo解法2先y后x,

将D

向x

轴投影,计算其中

D

由直线解

先画出积分区域D，先y后x,将D

向x

轴投影，例2围成。解例3先求两曲线的交点先对

y

积分，解例4解例5先x后y,两曲线的交点解例5两曲线的交点选择积分次序的原则：

若选择先y后x,(1)积分容易；

(2)尽量少分块或不分块.

麻烦。练习解练习解练习或解用极坐标，练习解三直线交点分别为练习解解练习

改变积分的次序.例6解积分区域为将D

向y

轴投影,改写为解设则例7改变下面积分的次序:设将D

向y

轴投影,例8交换积分次序,

解练习证交换积分次序，y

=

x练习解交换积分次序，

利用对称性简化二重积分的计算设积分区域D关于y

轴对称，(1)若f(x,y)关于

x是奇函数，则有(2)若f(x,y)关于

x

是偶函数，则有其中是D的右半区域。yxox-x设积分区域D关于x轴对称，(1)若f(x,y)关于

y

是奇函数，则有(2)若f(x,y)关于

y

是偶函数，则有其中是D的上半区域。yxo注意：不仅要考虑区域的对称性，还要考虑函数的奇偶性。利用对称性简化二重积分的计算例9计算二重积分解oxy区域D分别对称于x轴和y轴，(三)在极坐标系下二重积分的计算1.极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫做极点；xO引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。2.极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点P，xOPr用r表示线段OP的长度，用

表示从Ox到OP

的角度,r

称为点P的极径，

称为点P的极角，有序数对(

r

,

)就称为点P的极坐标。注意：r表示点P到极点O的距离；

的方向：从Ox

(极轴)为始边，OP

为终边。

3.极坐标系与直角坐标系的转换xOPr

把直角坐标系的原点作为极点;x轴的正半轴作为极轴;取相同的单位长度直角坐标与极坐标的转换关系为：

xy4.曲线的极坐标方程用来表示曲线上点的极坐标r、

两个变数之间关系的方程称为曲线的极坐标方程.直角坐标方程化为极坐标方程的方法：xyoxyo例10

将下列直角坐标方程化为极坐标方程：xyooo例11解它表示圆心为(0,1)，半径为1的圆.

方程两边同乘以r，得4.在极坐标系下计算二重积分在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：

1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时,D的边界用极坐标表示较为简单；

2)被积函数具有等形式时,用极坐标积分较为容易.

xyoxyo所以面积元素为

计算极坐标系下二重积分

也要将它化为二次积分

在极坐标系下二重积分的计算

直角坐标的二重积分与极坐标的二重积分的变换公式为(1)极点O在区域D外部

D可表示为

D

{(r,

)|

,r1(

)

r

r2(

)}

于是在极坐标系下二重积分的计算

直角坐标的二重积分与极坐标的二重积分的变换公式为(1)极点O在区域D外部

D可表示为

D

{(r,

)|

,r1(

)

r

r2(

)}

于是3

在极坐标系下二重积分的计算

直角坐标的二重积分与极坐标的二重积分的变换公式为(2)极点O在区域D的边界上

D可表示为

D

{(r,

)|

,0

r

r(

)}

于是解例12在极坐标系下,xyo解练习xyo用极坐标做比较方便，解例13在极坐标系下,xyoxyo解例14xy2例15解xyo例16解直接做麻烦,化为极坐标,例17解习题课习题课例1解例2解例3解解目标函数约束条件例4令例5解例6解先去掉绝对值符号，如图xyy