培优题：比和比例应用题

培优题：比和比例应用题一、比和比例的核心概念与解题思想比，即两个数相除的关系，它表示的是数量间的倍数关系。比例，则是表示两个比相等的式子，其核心在于“对应”与“不变”。在解决应用题时，我们首先要明确题目中涉及的量以及它们之间的比或比例关系。关键在于抓住“不变量”或“等量关系”，这往往是解题的突破口。例如，在按比例分配问题中，总量是不变的；在正反比例问题中，相对应的两个量的比值或乘积是不变的。深刻理解这些不变的量，就能将复杂的问题转化为我们熟悉的比例模型。二、典型应用题类型与解题策略（一）按比例分配问题按比例分配是比例应用题中最基础也最常见的类型。这类问题的特点是已知总量以及各部分量的比，求各部分量分别是多少。解题关键：1.确定总份数：将比的各项相加，得到总份数。2.求出每份的数量：用总量除以总份数。3.求出各部分的数量：用每份的数量分别乘以各部分对应的份数。例题：一块合金重若干千克，其中铜与锌的质量比是2:3。如果再加入一定量的锌后，铜与锌的质量比变为1:2，此时合金重45千克。求原合金中铜和锌各多少千克？分析与解答：此题中，铜的质量在整个过程中是不变的（不变量）。我们可以抓住“铜的质量”这个关键点。加入锌后合金重45千克，此时铜与锌的比是1:2，那么铜占此时合金总量的1/(1+2)=1/3。所以，铜的质量为：45×(1/3)=15千克。这15千克铜也是原合金中铜的质量。原合金中铜与锌的比是2:3，铜占2份，对应15千克，那么1份的质量是15÷2=7.5千克。因此，原合金中锌的质量为：7.5×3=22.5千克。答：原合金中铜有15千克，锌有22.5千克。（二）比例的基本性质应用比例的基本性质是：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。利用这一性质，可以解决许多与比例相关的问题，如根据两个比求连比，或已知比例中的三项求第四项。解题关键：1.根据题意列出正确的比例式。2.灵活运用比例的基本性质进行计算或转化。例题：已知甲、乙两数的比是3:4，乙、丙两数的比是5:6，求甲、乙、丙三数的连比。分析与解答：题目中给出了甲与乙的比，乙与丙的比，要得到甲、乙、丙的连比，关键在于使两个比中“乙”所代表的份数相同。甲:乙=3:4，乙:丙=5:6。4和5的最小公倍数是20。我们将两个比中乙的份数都化为20。甲:乙=3:4=(3×5):(4×5)=15:20；乙:丙=5:6=(5×4):(6×4)=20:24。因此，甲:乙:丙=15:20:24。答：甲、乙、丙三数的连比是15:20:24。（三）分数与比的转化在很多应用题中，条件并非直接以比的形式给出，而是以分数形式出现。这时，将分数转化为比，或者将比转化为分数，往往能使数量关系更加清晰。解题关键：1.理解分数的意义，明确谁是单位“1”。2.将分数关系转化为份数关系，即比。例题：某工厂有职工若干人，其中男职工人数是女职工人数的3/5。已知女职工比男职工多40人，这个工厂共有职工多少人？分析与解答：男职工人数是女职工人数的3/5，我们可以将女职工人数看作5份，男职工人数就是3份。那么，女职工比男职工多5-3=2份。已知女职工比男职工多40人，所以2份对应40人，1份就是40÷2=20人。工厂总人数为5+3=8份，所以总人数为20×8=160人。答：这个工厂共有职工160人。（四）行程问题或工程问题中的比例应用行程问题中的速度、时间、路程，工程问题中的工作效率、工作时间、工作总量，在一定条件下都能形成比例关系。例如，当路程一定时，速度与时间成反比例；当速度一定时，路程与时间成正比例。解题关键：1.判断题中相关联的量成正比例还是反比例关系。2.根据比例关系列出方程或算式。例题：一辆汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行60千米，5小时到达。实际每小时多行15千米，实际提前几小时到达？分析与解答：甲地到乙地的路程是不变的。路程=速度×时间，当路程一定时，速度与时间成反比例。原计划速度:实际速度=60:(60+15)=60:75=4:5。所以，原计划时间:实际时间=5:4（反比例关系，速度比的反比是时间比）。原计划时间是5小时，对应5份，那么1份是1小时，实际时间是4份，即4小时。因此，提前的时间为5-4=1小时。答：实际提前1小时到达。三、综合运用与思维拓展有些复杂的比例应用题，并非单一类型，而是多种关系交织在一起。这时需要我们仔细分析题意，拨开迷雾，逐步分解，找到隐藏的不变量或等量关系。例题：甲、乙两个仓库原有粮食的质量比是4:3，从甲仓库运走48吨后，甲、乙两个仓库粮食的质量比变为2:3。甲、乙两个仓库原来各有粮食多少吨？分析与解答：在此题中，乙仓库的粮食质量是不变的。我们把乙仓库的粮食质量看作单位“1”或固定的份数。原甲:乙=4:3，即原甲是乙的4/3。运走48吨后，甲:乙=2:3，即现甲是乙的2/3。甲仓库运走的48吨，对应的分率就是乙仓库的(4/3-2/3)=2/3。所以，乙仓库原有粮食：48÷(2/3)=72吨。那么，甲仓库原有粮食：72×(4/3)=96吨。答：甲仓库原来有粮食96吨，乙仓库原来有粮食72吨。四、解题思路总结与建议解决比和比例应用题，首要的是仔细审题，理解题意，找出题目中的关键信息和数量关系。其次，要善于寻找“不变量”，这是解决很多复杂比例问题的“金钥匙”。再次，要灵活运用转化思想，比如将分数转化为比，或将比转化为分数，将复杂问题简单化。此外，画线段图也是一个非常直观有效的辅助方法，它能帮助我们清晰地看到各部分量之间的关系。在练习过程中，要注重一题多解和多题一解，培养自己的发散思维和归纳能力。比如，同一道题，既可以用算术方法，也可以用方程（比例式）来解。同时，要注意单位的统一性，以及结果的合理性检验。总之，比和比