福建省福州市2027届高三上学期开学适应性练习数学试卷（含答案）

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。只有一项是符合题目要求的。A.87B.88C.892.已知集合A={2¹,log₂4},,则A∩B=3.已知向量e,e₂不共线，且(xe₁+e₂)/(e-2e₂),则x=4.已知双曲线的一条渐近线过点(2,1),则C的离心率为5.如图，某广场摆放了石凳供大家休息，每张石凳是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的几何体，数学上称之为阿基米德多面体，设被截正方体的棱长是40cm,则每张石凳的表面积为B.1600(3+2√3)cm²6.已知等差数列{a}的首项为1,公差为2.将{aₙ}各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表：a则这个三角形数表第10行所有数的和为A.729B.980C.10007.已知f(x)=cos(ax+4)(φeN,0≤φ<2π)的图象关于原点对称，且f(x)在区间上单调递减，则8.已知函数；的最小值为1,则a=项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1,-1),则A.z=1+iB.|z|=√2C.z²=2-2i10.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD,则B.棱AD上存在点M,使得AD⊥平面PMBC.异面直线AD与PB所成角的余弦值为D.二面角P-BC-A的大小为60°11.已知◎C:(x-a)²+(y-b)²=1被x,y轴截得的弦长分别为d,d₂,则下列说法正确的是A.a可以取任意实数C.若圆心C在00:x²+y²=1上，则d₁+d₂的最大值为2√2D.若圆心C在直线y=x+1上，则d₁+d₂的最大值为2√313.已知抛物线y²=2px(p>0)与x²=2qv(q>0)的公共点为A,B.若两条抛物线的焦点到直线y=x的距离相等，且两焦点之间的距离为2√2,则P+q=_,|AB|=.14.已知数列{aₙ}的通项公式为a=11n-23.若{a}中存在三项构成公比为q的等比数列，则正整数q的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)(1)求证：AB//平面AEC₁;(2)若AB⊥AC,且AB=AC=AA=1,求直线AB到平面AEC的距离16.(15分)已知椭圆T)的左、右顶点分别为4,A₂,两焦点分别为F(0,-c),F₂(0,c),(2)已知,点P在厂上，若△MA₂P是以A₂P为底边的等腰三角形，求点P的坐标.17.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知18.(17分)足球点球大战的规则如下：裁判员通过抽签决定先罚点球的球队，之后双方交替罚球.前五轮中，每队各派5名队员依次罚点球：若领先方的进球数与落后方的进球数的差值，超过落后方剩余罚点球的次数，则领先方提前获胜；否则，完成五轮时，进球数多的球队获胜.若完成五轮时双方进球数相同，则从第六轮开始进入“SuddenDeath”阶段，即双方继续各派新队员罚点球，直到某一轮中一方罚进而另一方罚失时决出胜负.某次高中足球联赛的淘汰赛中，甲、乙两队在常规时间和加时赛后以0:0战平，比赛进入点球大战.假设每名队员是否罚进相互独立.已知甲队前五轮5名队员罚进点球的概率依次为;乙队前五轮每名队员罚进点球的概率均为.甲队先罚.(1)求乙队在前两轮中恰好罚进一个点球的概率；(2)前三轮罚点球后，比分达到3:3.(i)求第五轮时甲队罚进点球就提前获胜的概率；(ji)已知两队未进入第六轮“SuddenDeath”阶段，且甲队获胜。用X表示比赛中甲队罚进点球的个数，求X的分布列和数学期望.19.(17分)已知函数f(x)的定义域为R,a为非零实数，若对任意x∈R都有f(ax)=af(x),为a-拓展函数.(1)已知狄利克雷函数1若函数f(x)=x·D(x),x∈R,f(x)是否为2-拓展函数；(ii)若f(-1)=-1,f(数学参考答案多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0性、综合性.满分13分.【解法一】(1)如图所示，连接A₁C交AC₁于F点，连接EF,由三棱柱的特征可知侧面ACC₁A是平行四边形，又E是BC中点，则EF/A₁B.3分因为EFc平面AEC₁,A₁Ba平面AEC₁,所以AB//平面AEC₁.5分(2)由(1)知A₁B//平面AEC₁,所以直线AB到平面AEC₁的距离就是B到平面AEC₁的距离，设为h6分第2页共11页(2)由(1)知A₁B//平面AEC₁,………7分…11分…10分第3页共11页所以,解得【解法三】(1)同解法一；取y=-1,则x=1,z=核心素养，体现基础性、综合性.满分15分.【解法一】(1)由已知得，A₁(-1,0),……3分……3分第4页共11页(2)设P(x₀,y%),因为A₂(1,0),所以A₂P中点为.…………7分…联立①、②,消去y0，化简得x0(x0−1)=0(x01).·····································13分33（2）设点P(x0,y0)，由题意P不与A2(1,0)重合，故y00，2因为P(x0,y0)在椭圆上，所以4x+3y=4.①···········································7分所以y0=，x0=.所以P,.·················································1249124922展开整理，得3m2=4m4．.·········································222由P在椭圆上，可设Pcos,sin.·····································MP2=MAMP2 2222492辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．满分154c4sinC82222所以S△ABC=1bcsinA=1(2RsinB)(2RsinC)sinA=2R2sinBsinCsinA=3，222所以2R82=2解得，·············································π3π由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，····························································12分222223△ABC22232所以S=1bcsinA=3，所以1bcsinπ=3，解得bc=△ABC22232sinAsinBaa32a4c4c2a由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，····························································12分222223所以S△ABC=1bcsinA=3，所以1bcsinπ=3，解得bc=6，···················9分222322233又因为S△ABC=1bcsinA=12(bsinA)(csinA)=1(asin22332sinBsinC=a23=3，······ 由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA·······························································12分2222分.【解析】设事件Ai，Bi（i=1,2,3,4,5）分别为队、、队、第i队、罚进点球，则（2i）由题意可知，在3:3后队、在第五轮时罚进点球就提前获胜，即第4轮队、罚进队、罚失，第5轮队、罚进.········· 记所求事件为N，因为A4,B4,A5相互独立，P(A4(B4（ii）X的可能取值为4,5.································································W=F4WF5W，F4W,F5W互斥，且A4,A4,B4,B4,A5,A5,B5,B5,相互独立，P(A4B4A5B5)PPAPP99P(N)所以P(W)=P(F4W)+P(F5W则X的分列、为X45P 19.【考查意图】本小题主要考查函数单调性与奇偶性、函数与方程、导数与不等式等基所以D(2x)=D(x)；当x为无理数时，则2x也为无理数，故D(x)=0，D(2x)=0，所以D(2x)=D(x)；···························································所以f(x)是2−拓展函数.·······················································第