福建省莆田市2027届高三开学质量诊断试卷数学+答案

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟。2.设全集U-{x∈Zx(x-8)<0},集合A={1,3,5,73,则C,A=A.{2,4,6}B.{0,2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{0,2,4,6,8A.y=x+1B.y=2xC.y=3x-15.若函数的图象关于直线对称，则@的最小值为A.4B.4-log₂57.我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至暑长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸.意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立秋”时日影长度为雨水惊蛰清明谷雨小满芒种小署大署处署白露寒露小雪大雪冬至小寒大寒A.分B.分C.D.分8.有6个相同的球，其中3个黄球，3个白球，依次从中无放回地随机抽取，每次取1个球，直到取出2个黄球时停止取球.记X为停止取球时所取出的球的个数，则X的数学期望为A.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量a=(2,4),b=(1,t),则下列说法正确的是C.若t=2,则a//bD.若t=0,则a在b上的投影向量为2b10.在棱长为2的正方体ABCD-AB₁C₁D₁中A.直线AC₁与BC是异面直线B.平面AB₁C//平面A₁C₁DC.直线A₁C₁到平面AB₁C的距离为D.四面体D₁-AB₁C的外接球的体积为11.已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,准线为I;x=-1,过F作两条互相垂直的直线，l₂,直线与C交于A,B两点，直线l₂与CC.若弦AB的中点到I的距离为,则l的斜率为√3数学试题第2页(共4页)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.13.直线I:x-y-2=0被圆M:x²+y²-4x-6y+4=0所截得的弦长为·14.定义：已知a,a₂,…,a10是10个互不相等的实数的一个排列，且满足max{a₁₋1,a₁}>a(i=2,3,…9),则该排列的所有可能结果有_个.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2sinAcosB=sinC.(1)证明：A=B;(2)若b=2,a+c=2+√2,求△ABC16.(15分)近年来AI生成的艺术品备受关注，某艺术机构为了解购买AI生成的艺术品的意愿与性别的关系，随机调查了100名顾客，得到如下列联表：愿意不愿意合计女性男性合计(1)根据小概率值α=0.1的独立性检验，分析购买AI艺术品的意愿是否与性别有关；(2)从这100名顾客中随机抽取两名，已知其中至少有一名为女性，求这两名顾客都愿意购买AI艺术品的概率.数学试题第3页(共4页)17.(15分)已知和B(2,0)为椭圆C:1(a>b>0)上两点.(2)过点D(1,0)作直线1与C相交于P,Q两点，与y轴交于点E(点E在椭圆内部),O为坐标原点，若△ODP的面积与△OEQ的面积相等，求直线I的方程.18.(17分)(2)若平面A'DE1平面BCDE,求A'在平面BCDE内的射影的轨迹的长度；(3)当点E与B重合时，记二面角A'-DE-C的大小为θ,若,求直线BC与平面A'DE所成角的正弦值的取值范围.19.(17分)己知函数f(x)=1n(1+x)-/α,(2)证明：数学试题第4页(共4页)4.只给整数分数.单项选择题和单空填空题不给中间分.一、选择题：每小题5分，满分40分.题号12345678答案BADCCBCD二、选择题：每小题6分，满分18分.(本题为多项选择题，每小题中，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分)题号9答案三、填空题：每小题5分，满分15分.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.素养；体现基础性和综合性.满分13分.法一：所以sin(A-B)=06分又A-B∈(一π,π),所以A-B=0,即A=B7分因为a+c=2+√2,所以c=√29分所以△ABC的面……13分整理得，a²+c²-b²=c²,即a²=b²5分所以a=b6分所以△ABC是以C为顶点的等腰三角形9分因为a+c=2+√2,所以c=√210分过C作CD⊥AB于D,则所以△ABC的面积……………13分力，应用意识等；考查统计与概率思想，转化与化归思想等；考查逻辑推理，数学运算，数学抽象，数学建模等核心素养；体现基础性、综合性.满分15分.解：(1)零假设H₀:购买AI艺术品的意愿与性别无关联2分数学参考解答第2页(共11页)数学参考解答第3页(共11页)根据小概率值α=0.100的独立性检验，没有充分证据推断H₀不成立，因此可以认为H₀成立6分即认为购买AI艺术品的意愿与性别无关联7分17.本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查逻辑推理能力，运算求解能力等；考查转化与化归思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查逻辑推理，数学运算，直观想象等核心素养；体现基础性和综合性.满分15分.解：(1)依题意得，……2分 法一：设直线l:x=my+1(m≠0),P(x₁,y₁),Q(x设原点O到I的距离为d,……所以直线1的方程为x-√2y-1=0或x+√2y-1=0.联立得(m²+2)y²+2my-3=0,所以DE与PQ的中点重合，又因为PQ的中,DE的中点养；体现基础性、综合性和创新性.满分17分.作AH⊥DE于H,连接A'H,由翻折性质知，A'H⊥DE.………(1)连接AA'.又∵A'Ac平面A'AH,法一：∵平面A'DE⊥平面BCDE,平面A'DE∩平面BCDE=DE,∵平面A'DE⊥平面BCDE,平面A'∴A'H⊥平面BCDE, 法一：D(0,0,0),B(1,√3,0),C(0,√3,0).设平面A'DE的法向量为n=(x,y,z),数学参考解答第8页(共11页)令x=√3,则y=-1,代入解得直线BC的方向向量CB=(1,0,0),设直线BC与平面A'DE所成角为φ,作AG⊥平面A'DE于点G,连接GH,GD.在△AGH中，设直线BC与平面A'DE所成角为φ,又BC//AD,所!....15分解：(1)当k=1时，f(