湖南省湘潭市2027届高三上学期第一次模拟考试数学试卷（含答案）

2027届湘潭市高三第一次模拟考试

数学

本试卷共4页，19个小题。满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在

答题卡上“条码粘贴区”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案

信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。涂写在本试卷上无效。

3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效。

4.保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.样本数据6,8,4,5,12的第一四分位数为

A.5B.6C.8D.9

2.已知向量a=(m,2),b=(1,m-1),若a⊥b,则实数m的值为

B.2C.-1D.

3.点A(1,2)在抛物线C:y²=2px(p>0)上，则焦点到准线的距离为

A.1B.C.2D.3

4.已知函数f(x)=x³+4sinx-3,若f(a)=-6,则f(-a)=

A.0B.-6C.6D.4

5.已知展开式中x³项的系数为-160,则m=

A.2B.-2C.4D.-4

6.已知正实数a,b满足ab-a-2b=0,则a+b的最小值为

A.5B.6C.√2+3D.2√2+3

7.某同学类比双曲线的定义研究平面上到点F₁(-1,0),F₂(1,0)距离的倒数之差的绝

对值等于1的点的轨迹，设点P是该轨迹上一点，则|PF₁|的最大值为

A.√3+1B.2-√3C.√3+2D.√3-1

8.若实数集A中存在最大元素M和最小元素m,则定义集合A的“极差”△(A)=M-m.

下列说法正确的是

A.已知,则△(A)=3

B.已知A={x|a≤x≤a+2,a≥0},B={yly=√x,x∈A},则存在实数a使得△(B)>△(A)

C.若,则△(A)=1

D.已知S。是等比数列{a}的前n项和，A={y|y=Sₙ,n∈N,则不存在等比数列

{a,3,使得△(A)<1

2027届湘潭市高三第一次模拟考试(数学)第1页(共4页)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

的部分图象如图所示，则下

列说法正确的是

A.w=2

B.直线x=π是函数f(x)图象的一条对称轴

C.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数

y=3cos2x的图象

D.若函数f(x)在(0,m)上恰有3个零点，则实数m的取值

范围

10.已知圆C:(x-e")²+(y-a)²=2(a∈R),则下列说法正确的有

A.圆心C在曲线y=lnx(x>0)上

B.存在两个不同的实数a,使圆C过点(1,1)

C.存在四个不同的实数a,使圆C与直线x-y-3=0相切

D.存在两个不同的实数a,满足直线x-3y=0平分圆C的面积

11.某种昆虫存在特殊世代交替繁殖规律：受精卵发育为雌虫，兼具父本和母本；未受精

卵细胞发育为雄虫，雄虫仅有母本、无父本.下图是该类昆虫雄性的家系图，假定：

其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推.记P,表示

一只该类雄性昆虫上溯第n代祖辈数量，例如P₁=1,P₂=2,那么下列结论中正确的是

雄性昆虫的家系

●表示雄性○表示雌性

A.P₇=21

B.P₂+P₄+P₆+……+P₂ₙ=P2+1-1

C.记满足S,>227的最小n=11

D.P²+P²+P³+……+P²=P·P₄+-1

2027届湘潭市高三第一次模拟考试(数学)第2页(共4页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数则z=·

13.函的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+y=0平行，则该切线方程

为_

14.四个半径为1的小球两两相切地堆放在水平桌面上，用一个半球容器(容器壁厚度不

计)完全罩住这四个小球，则这个容器最小的半径为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,

(1)求角B;

(2)若△ABC为锐角三角形，b=√10,c=3√2,求△ABC的面积.

16.(15分)如图在四棱锥A—BCDE中，AE=EB=4,AE⊥EB,AC=2√7,CD//BE,DE=

CD=BC=2.

(1)证明：平面ABE1平面BCDE;

(2)求平面ADE与平面ABC的夹角的正弦值.

2027届湘潭市高三第一次模拟考试(数学)第3页(共4页)

17.(15分)已知椭圆E:(a>1),,过右焦点垂直于x轴的直线被E所截线段长为1.

(1)求椭圆E的离心率；

(2)过直线x=4上一点P(4,t)作椭圆E的两条切线l₁,l₂,切点分别为A,B两点.

(i)证明直线AB过定点；

(ii)求△OAB面积的最大值.

18.(17分)在一个不透明箱子内装有n(n≥2,n∈N*)个大小相同，质地均匀的小球，

其中有k(0<k≤n,k∈N°)个小球做了标记，现从该箱子中不放回地随机取球，直至

所有的标记球取完为止.记X为取球次数，q(i,h)表示在标记了k个球的情况下，

第i个小球是标记球的概率，p(i,h)表示i是最后一个标记球的概率.

(1)k=1,n=3,求p(2,1);

(2)求q(i,2)和p(i,2);

(3)求q(i,h),p(i,k),E(X).

19.(17分)已知f(x)=x²-πx+asinx,a∈R.

(1)求证：f(x)图象关于直线对称；

(2)当x∈(0,π)时，f(x)存在最大值，求实数a的取值范围；

(3)当Vx∈R时，f(x)≥0恒成立，求a的值.

2027届湘潭市高三第一次模拟考试(数学)第4页(共4页)

2027届湘潭市高三第一次模拟考试数学

本试卷共4页，19个小题。满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条码粘贴

区”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。涂写在本试卷上无效。

3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效。

4.保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.样本数据6,8,4,5,12的第一四分位数为

A.5B.6C.8D.9

答案：A

2.已知向量a=(m,2),b=(1,m-1),若a⊥b,则实数m的值为

A.B.2C.-1D.

答案：D

3.点A(1,2)在抛物线C:y²=2pr(p>0)上，则焦点到准线的距离为

A.1B.C.2D.3

答案：C

4.已知函数f(x)=r³+4sinz-3,若f(a)=-6,则f(-a)=

A.0B.-6C.6D.4

答案：A

5.已知展开式中x³项的系数为-160,则m=

A.2B.-2C.4D.-4

答案：B

6.已知正实数a,b满足ab-a-2b=0,则a+b的最小值为

A.5B.6C.√2+3D.2√2+3

答案：D

7.某同学类比双曲线的定义研究平面上到点F(-1,0),F₂(1,0)距离的倒数之差的绝对值等于1的点的

轨迹，设点P是该轨迹上一点，则|PF|的最大值为

A.√3+1B.2-√3C.√3+2D.√3-1

答案：C.解析：设|PR=n,|PE|=r.n>0,n₂>0,由题意

·5·

,故n≤2+r₂,当n=2+r₂时有,即(n₂+1)²=3

此时r₂=√3-1,r₁=2+r₂=√3+1,∴|PR|的最大值为√3+1.

8.若实数集A中存在最大元素M和最小元素m,则定义集合A的“极差”△(A)=M-m.下列说法正确

的是

A.已知,则△(A)=3

B.已知A={xla≤x≤a+2,a≥0},B={yly=√,x∈A},则存在实数a使得△(B)>△(A)

,则△(A)=1

D.已知S₄是等比数列{a.}的前n项和，A={yly=Sn∈N*},则不存在等比数列{a},使得△(A)

<1

答案：C解析：对于A项，A={-1,-2,1,2},△(A)=4,错误；对于B项，△(A)=a+2-a=2,△(B)=

在(0,+∞)上单调递减，

,错误；对于C项，当a=2,b=1时最小为

在[1,2]上单调递增，·

,正确；对于D项，取,公比

即1此时△(A)<1,故存在等比{a,}使得△(A)<1,错误.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9.已知函的部分图象如图所示，则下列说法正确的

是

A.@=2

B.直线x=π是函数f(x)图象的一条对称轴

C.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数y=3cos2x

的图象

D.若函数f(x)在(0,m)上恰有3个零点，则实数m的取值范围是

答案：AC

10.已知圆C:(x-e²+(y-a)²=2(a∈R),则下列说法正确的有

A.圆心C在曲线y=Inr(x>0)上

B.存在两个不同的实数a,使圆C过点(1,1)

C.存在四个不同的实数a,使圆C与直线x-y-3=0相切

D.存在两个不同的实数a,满足直线x-3y=0平分圆C的面积

答案：ABD.解析：对于A:圆C:(z-e)²+(y-a)²=2的圆心为(e",a),因为a=lne,所以圆心C在

曲线y=lnz(z>0)上，故A正确；对于B:由圆C过点(1,1),所以(a-1)²+(e⁶-1)²=2,

·6·

方程(a-1)²+(e-1)°=2的解的个数等价于函数y=lnz的图象与曲线(z-1)²+(y-1)²=2的交

点个数，作函数y=Inz与圆(z-1)²+(y-1)²=2的图象可得函数y=lnz的图象与圆

(z-1)²+(y-1)²=2的交点个数为2,所以存在两个不同的a,使得圆C经过坐标原点，故B正确；对

于C:圆C与直线z-y-3=0相切等价于圆心(e°,a)到直线z-y-3=0的距高为√2,到直线

w-y-3=0的距离为√2的直线方程为z-y-1=0或z-y-5=0,即圆心(e°,a)在直线

⑧-y-1=0或z-y-5=0上，圆C与直线z-y-3=0相切的a的个数等价于直线z-y-1=0

和a-y-5=0与函数y=Inz的图象公共点的个数，而直线z-y-1=0与函数y=1nz的图象相

切，直线z-y-5=0与函数y=lnz的图象相交，所以存在三个不同的实数a,使圆C与直线

③-y-3=0相切，故C错误；对于D:圆C的面积被直线z-3y=0平分等价于，z-3y=0过圆心

(e°,a),∴3a-e⁶=0,即e⁶-3a=0,令f(z)=e⁸-3z,∴f(z)=e²-3,由f(x)>0=x>In3,

f(x)<0=z<1n3,∴f(z)在(In3,+∞o)单调递增，在(-∞o,In3)单调递减，又f(ln3)<0,

∴f(z)=e⁸-ez有两个零点，即存在两个实数a,使圆C的周长被直线3z-y=0平分，故D正确.

11.某种昆虫存在特殊世代交替繁殖规律：受精卵发育

为雌虫，兼具父本和母本：未受精卵细胞发育为雄(P₆)……0

虫，雄虫仅有母本、无父本.下图是该类昆虫雄性的(P₃)……

家系图，假定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父(P)……

母”为上溯第2代祖辈，以此类推.记P表示一只该(P)…

类雄性昆虫上溯第n代祖辈数量，例如P₁=1,P₂=(P)………

2,那么下列结论中正确的是

A.P=21

B.P₂+P+P₆+……+P=Pn+1-1

雄性昆虫的家系

C.记满足S.>227的最小n=11

表示雄性○表示雌性

D.P+P+P+……+P³=P·Pa+1-1

答案：ABD.解析：数列{P}是斐波拉契数列去掉第一项，即P+2=P+1+P,其中R=1,R=2,

R=3,P=5,R=8,R=13,R=21,所以A正确；R+P+P+……+R

=1+R+P+P+……+-1=R+R+P+R+……+R-1=R+P+P+……+-1

二…=m+1-1,所以B正确；

=Paa-2,R=34,R=55,Po=89,R=144,P₂=233,所以P₂-2=231>227,满足Sₙ>227的最

小n=10,故选项C错误；P+P+P+…+P=PP+-1,P²=1,P=P(R-R)

=PR-BR,Pe=P(P+-P-)=PP+-PPa-1,P+P+…+P

=1+BR-RR+BP-BR+…+P.·P+-PP-1=1-RR+P·Pm+1=P·Pm+-1,D正确；

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数,则z=

答案：-1-i.

13.函的图象在点(1,f(1))处的切线与直线z+y=0平行，则该切线方程为

【答案】z+y-3=0.

14.四个半径为1的小球两两相切地堆放在水平桌面上，用一个半球容器(容器壁厚度不计)完全罩住这

四个小球，则这个容器最小的半径为

答案：.解析：根据题目描述可以将上面四个小球堆叠出的正四面体画出，

正四面体的每个顶点为小球的球心，故该容器的最小半径R等于该正四面体的体

高加上两个小球的半径r.,

正四面体P-ABC的棱长为2r=2,其外接球球心为0.正△ABC中心为H.正

△A₁B₁C中心为S,易知

B₁

,即R-r>SA,则点A在以S为球心，

半径为的球内.所以半球半径最小值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且

(1)求角B:

(2)若△ABC为锐角三角形，b=√10,c=3√2,求△ABC的面积.

解析：(1)解：因为a=bcoBC+bsinC,由正弦定理得sinA=sinBcoBC+sinBsinC,………1分

由A+B+C=π,得A=π-(B+C),得

sinA=sin(B+C)=sinBcoBC+co8BeinC=sinBcosC+sinBsinC,………·3分

得coBBsinC=sinCsinB,.又sinC≠0,得cosB=sinB,∵BE(0,π),所以.……6分

(2)由(1)知,由余弦定理得………8分

→a²-6a+8=0=a=2,或者a=4.………10分

a=2时,舍去，

a=4符合，所以a=4,……13分

(说明：未判断锐角三角形扣2分)

16.(15分)如图在四棱锥A-BCDE中，AE=EB=4,AE⊥EB,AC=2√7,

CDI/BE,DE=CD=BC=2.

(1)证明：平面ABE1平面BCDE;

(2)求平面ADE与平面ABC的夹角的正弦值.

解析：(1)证明：连结EC,过C作CF⊥BE,垂足为F,DH⊥BE于H.

EH=BF=1,Rt△EFC中，CF=√3.EC=2√3.……2分

∵△AEC中，AC=2√7,(2√7)²=4²+(2√3)²,即AC⁴=AE²+EO⁴:

∴AE⊥EC,AE⊥EB.EBNCE=E,……4分

∴AE⊥平面BCDE,又因为AEC平面ABE内，

平面ABE⊥平面BCDE.……6分

(2)因为AE⊥平面BCDE,如图所示以E为原点，过E点与BE垂直的直线

为z轴，EB,EA为y,z轴建立坐标系.由(1)知E(0,0,0),B(0,4,0),

A(0,0,4),D(√3,1,0),C(√3,3,0).………8分

所以ED=(√3,1,0),A=(0,0.4),设平面EAD法向量页=(z,%,%),

,取z=1有，页=(1,=√3,0),……10分

又CB=(-√3,1,0),BA=(0,-4,4),设平面CAB法向量孔=(z₂,yZ),

由药·CB=0,π·BA=0,,取z₂=1,有=(1,√3,√3),………12分

设平面ADE与平面ABC的夹角为θ,则……14分

所以…………15分

17.(15分)已知椭圆E:,过右焦点垂直于x轴的直线被E所截线段长为1.

(1)求椭圆E的离心率：

(2)过直线x=4上一点P(4,t)作椭圆E的两条切线l,l,切点分别为A,B两点.

(i)证明直线AB过定点；

(ii)求△OAB面积的最大值.

解析：(1)此椭圆b=1,过焦点垂直于田轴的弦即通径，

长1,得a=2,c=√a²-b²=√3,故.………

(2)由(1)E:1.设A(z,y),B(z₂y₂),设切线PA的方程为y-y=k(z-z₁),

联立整理得(1+4k)x²+8k(h-kz₁)x+4(y-kz)²-4=0,

由△=[8k(y-kz)-4(1+4R)[4(y-kz)²-4]=0,得(z-4)²-2zyk+7-1=0,……6分

因为A(z,h)在椭圆C上，所以z+4y=4,则

所以过A与C相切的直线方程为

即PA的方程zz+4yy-4=0,同理PB的方程z₂x+4yy-4=0,………8分

又因为PA,PB都经过点P,所以

显然A(z₁,y),B(z₂,ya)在直线4z+4ty=4上，即直线AB方程为z+ty=1,……10分

所以直线AB过定点(1,0)…………11分

(3)联立直线AB与椭圆方程得(e+4)y²-2ty-3=0.

.………………12分

设u=t+3>3,原……14分

所以当u=3即t=0,点P(4,0),切线PA,PB关于z轴对称时，S△OAB取最大值为.……15分

18.(17分)在一个不透明箱子内装有n(n≥2,n∈N")个大小相同，质地均匀的小球，其中有

k(0<k≤n,k∈N)个小球做了标记，现从该箱子中不放回地随机取球，直至所有的标记球取完为止.

记X为取球次数，q(i,k)表示在标记了k个球的情况下，第i个小球是标记球的概率，p(i,k)表示i是最

·9·

后一个标记球的概率.

(1)k=1,n=3,求p(2,1);

(2)求q(i,2)和p(i,2):

(3)求q(i,k),p(i,k),E(X).

解析：(1)如果标记球是第1个被取出的，z=1,概率

如果是第2个，=2,概率,如果是第3个，=3,概率

在3个球中，标记球等可能出现在第1、2、3位，所以…………3分

(2)q(i,2)表示第1个球是标记球的概率，因为只标记了2个球，且标记是等可能随机选的，

所以,1=1,2,…,………………6分

只标记2个球，取到它就停止。取球次数：就停止取球，

(i≥2).……9分

(3)q(i,E)表示第i个球是标记球的概率。总共有n个球，标记了k个.

每个球被标记的概率是,因此,i=1,2,…,n.……………11分

在n个球中有k个标记球，当我们不放回取球直到取完所有标记球时，最后一个标记球的位置i是所

有标记球中最大的位置序号,……13分

当i<k时，p(i,k)=0,因为不可能有k个标记球都排在小于k的位置中.

X是取到最后一个标记球时的取球次数，也就是所有标记球中最大的位置序号.

最大位置X的分布：,m=k,k+1,…,n

期望：………………14分

………16分

所以。.…………17分

19.(17分)已知f(x)=x²-πz+asinz,a∈R.

(1)求证：f(x)图象关于直线对称：

(2)当x∈(0,π)时，f(x)存在最大值，求实数a的取值范围；

(3)当Vz∈R时，f(x)≥0恒成立，求a的值.

解析：(1)f(π-z)=(π-z)²-π(π-z)+asin(π-z)=x²-πa+asinc=f(z)

∴f(z)关于直线：对称.……….....*

(2)由(1)知f(z)关于直线对称，故仅考虑：

f(z)=2z-π+acosz,设g(z)=f(z),g(z)=2-asinz.

(i)当a≤2时，g(z)≥0恒成立：g(z)=f(z)在单调递增，

此时，∴f(z)在单调递减.

所以f(z)<f(0)=0,此时f(z)在不存在最大值……

()当a>2时，使