江西省2027届高三上学期开学质量诊断数学试卷（含答案）

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江西省2026年新高三暑假学习质量诊断联合练习

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答

题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求。

1.已知z=-1+i,则复数的虚部为

A.-2iB.-1C.2D.

2.设a=1n0.3,b=0.3²,c=0.2³,则a,b,c的大小顺序为

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

3.已知甲、乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩X～N(μ,o;²),

乙班成绩Y～N(μ₂,σ₂²),其密度曲线如图所示，则有

A.μ₁<μ:且σ₁<0₂

B.AI>μ2且σ₁>o₂Y的密度曲线

C.P(X≤70)=P(Y≥75)X的密度曲线

D.P(X≥75)>P(Y≥75)065707580

4.已知集合A={xeZ|21=-4≤0,,则A∩(RB)=

A.{1,2,3B.{2,3C.[1,3D.(1,3)

5.已知函数f(x)=-x²+ax-1,g(x)=xlnx+1(a∈R).若2g(x)≤f(x)在(0,+∞)

上有解，则的取值范围为

A.(-∞,4)B.(4,+∞)C.(-∞,4)D.[4,+∞]

6.已知梯形ABCD中，DC1/AB,,动点E在边BC上(不含端点B,C),

AE交BD于点F,过A作AH⊥BD于点H,若AH|=4,,则CF·AH=

A.-8B.-4C.4D.

7.牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)零点时给出一个数列{x:,我

们把该数列称为牛顿数列.如果函数f(x)=ax²+bx+c(a>0)有两个零点1,2,数列

{x}为f(x)的牛顿数列.已知41=2,{a}的前7项和为S。,则

S2423+2等于

A.2025B.2026C.22023D.22026

8.由二项式定理可知用赋值法，令x=1,得到

借助赋值法，可以计算得到等于

A.2³⁹⁶+2198B.2³+21⁹9C.2³⁹⁶-2198D.2³⁹6-2199

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知抛物线C:y²=4x与圆M:(x-1)²+y²=4,设其交点为A,B,抛物线C的焦点

为F,准线为1,下列结论正确的是

A.|AB|=2B.直线AB经过焦点F

C.原点O到直线AB的距离为1D.抛物线C与圆M恰有4个公共点

10.复兴中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立105周年”党史知识竞赛.

经统计，得到前200名学生分布的饼状图和前200名中高一学生排名分布的频率条

形图(如图),则下列说法正确的是

前200名学生分布的饼状图前200名中高一学生排名分布的频率条形图

高二

30%高一

45%

高三

25%

A.成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30

B.成绩第1~100名的100人中，高一人数不超过一半

C.成绩第1~50名的50人中，高三最多有32人

D.成绩第51~100名的50人中，高二人数比高一的多

11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,c²+2b²=9,则下列说法正确

的是

A.△ABC为钝角三角形

B.2AB·CA=CB·CA

C.若M为边BC的中点，则|AM的取值范围为

D.sinA≥3sinCsinB

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.函数的部分图像如右图所

示，则其解析式是

13.已知41,a,“,a是1,2,…,n(n≥2,n∈N)满足下列性质T的一个

排列，性质T:排列a1,a2,“,a中有且仅有一个a,>a₁(i∈{1,2,…,n-1}),当n=5时，

满足性质T的数列一共有个

14.已知函数若函数y=f(x)-a有四个零点，那么实数a的取

值范围是;记四个零点从左至右为x₁,x₂,x₃,x4,那么x₁x₂(x₃+x₄)的取值

范围为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。

15.(13分)

某实验室利用基因编辑技术改良一种抗病株数易感病株数

小麦品种，使其对锈病产生抗性.实验中将

实验组3812

100株小麦分为两组：实验组50株接受基

因编辑处理，对照组50株未处理，实验后

对照组2525

统计各组抗病情况如右表：α=0.010

(1)完成列联表并依据小概率值的独立性检验，分析该小麦品种抗

锈病与接受基因编辑处理是否有关联；

(2)用接受基因编辑后小麦抗锈病株数的频率估计基因编辑后单株小麦抗锈病的

概率，从接受基因编辑的小麦中随机选取10株，记其中抗锈病的株数为,求的数

学期望与n=a+b+c+d

附其中

xα0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)-e⁻¹+2x-1≥g(x)恒成立，求正实数m的取值范围.

17.(15分)

如图，在三棱锥P-ABC中，ABIBC,AB=4,

PB=BC=PC=2√3,且平面PAB⊥平面PBC.

(1)证明：AB⊥平面PBC;

(2)求点B到平面PAC的距离；

(3)线段BP上是否存在一点E,使得二面角E-AC-BAL

的正切值为若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

18.(17分)

,四点P(1,1),P₂(0,1),中恰有

己知

三点在椭圆C₁上.

(1)求C₁的方程；

(2)过C的左焦点F作C₁的不垂直于V轴的弦AB(其中A点在X轴上方),D为

AB中点，直线0D与双曲线C₂交于M,N两点

(i)四边形AMBO能否为平行四边形，若能，求此时直线AB的方程，若不能，说

明理由；

(ii)求四边形AMBN面积的取值范围.

19.(17分)

不超过实数×的最大整数称为×的整数部分，记作[A].例如，[1.1]=1,[-1.1]=-2.

设函数f(x)=[x].

(1)已知函数g(x)=[xf(x)],集合M。={8(x)|x∈(n-1,n),neN'},设b。为集合

M中元素的个数.

(i)写出b,b₂及数列{b}的通项公式；

(ii)对任意正整数n(n≥2),等式f(af(a(b₄+1)))-f(a(bₙ+1))=b₆恒成立，求所

有满足条件的正实数α的值.

(2)求证：对给定的正整数n,当n≥2时，对于任意的实数x₁,x₂,…,x。∈[0,1],存

在y₁,y₂,…,y∈[0,1],使得VI≤isj≤n(i,jeN'),成立.

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数学试题参考答案及评分意见

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求。

题号12345678

答案CBCADADB

评分意见：选对得5分。

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案BCABCACD

评分意见：第9题全选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分；第10、11题

全选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

12.(评分意见：写对得5分)

13.26(评分意见：写对得5分)

14.a>4(4e⁴+4e⁴,+)

(评分意见：写对第1空得2分，写对第2空得3分，共计5分)

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。

15.(13分)解：

(1)由题得如下2×2列联表：

抗病株数易感病株数合计

实验组381250

对照组252550

合计6337100

(2分)

数学试题参考答案及评分意见第1页(共8页)

零假设H₀:小麦抗锈病与接受基因编辑处理无关联.

由列联表的数据，得(6分)

依据小概率值α=0.010的独立性检验，我们推断H₀不成立，可以认为该小麦抗锈病与接

受基因编辑处理有关联.(7分)

(2)由题意，估计经过基因编辑处理的单株小麦抗锈病的概率为(8分)

由题知X~B(10,0.76),

故其分布列为P(X=k)=C₁o(0.76)*(0.24)⁻ᵗ(k=0,1,2,,10),(9分)

所以E(X)=10×0.76=7.6,D(X)=10×0.76×(1-0.76)=1.824(13分)

16.(15分)解：

(1)由题意得，f'(x)=e⁻¹-1.f(1)=1,f'(1)=0,(2分)

∴函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=1;(4分)

(2)∵f(x)-e⁻¹+2x-1≥g(x),

∴代入得x≥mlnx,(6分)

∵x>0,m>0,(8分)

1,令h'(x)=0解得x=e,(10分)

∴可得函数h(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，(12分)

∴函数h(x)的最大值为,解得0<m≤e.(14分)

∴综上，m的取值范围为(0,e).(15分)

数学试题参考答案及评分意见第2页(共8页)

17.(15分)

(1)证明：

取PB的中点D,连接CD;

因为PB=BC=PC,D为PB的中点，

故CD⊥PB;(1分)

因为平面PAB⊥平面PBC,且交于PB,

故CD1平面PAB;(2分)

因为ABc平面PAB,故CD⊥AB;

又因为AB⊥BC,且CDoBC=C,CD,BCc平面PBC,

故AB⊥平面PBC;(3分)

(2)解：

取BC的中点O,AC的中点F,连接OF,PO;

因为0,F为BC,AC的中点，故OFIIAB;

由(1)可知，AB⊥平面PBC,故OF⊥平面PBC;

故OF⊥BC,OF⊥PO;

又因为△PBC为等边三角形，故PO⊥BC;

故以O为原点，OF,OC,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系；(5分)

因为AB=4,PB=BC=PC=2√3,

故,OP=3,OC=OB=√3;

故B(0,-√3,0),A(4,-J3,0),c(0,√3,0),P(0,0,3),

BA=(4,0,0),AC=(-4,2√3,0),PC=(0,√3,-3);(6分)

设n=(x,y,=)为平面PAC的法向量，则

令y=2√3,则n=(3,2√3,2);(7分)

则点B到平面PAC的距离为(8分)

数学试题参考答案及评分意见第3页(共8页)

(3)解：

设存在点E,使得PE=λPB=z(0,-√3,-3)=(0,-√32,-32),λ∈[0,1];

则AE=AP+PE=(-4,√3,3)+(0,-√32,-32)(-4,√3-√3λ,3-3):(9分)

设n=(x₁,y,z)为平面EAC的法向量；

n₂=(0,0,1)为平面ABC的法向量；

则

令v₁=2√3(1-2),则7=(3(1-2),2√3(1-2),2(1+2);(12分)

设二面角E-AC-B为θ,

则故

因为

整理化简可得：

即(1+λ)²=25×(1-λ)²,化简得：1+λ=5×(1-2),解得：(14分)

故,则

综上，存在一点E,使得二面角E-AC-B的正切值为(15分)

18.(17分)解：

(1)因为关于y轴对称，所以必在C₁上，

所以P₁(1,1)不在C₁上，所以P(0,1)在C₁上，则b²=1,所以a²=3,(1分)

数学试题参考答案及评分意见第4页(共8页)

因此C₁的方程(2分)

(2)(i)由题意知R(-√2,0),假设四边形AMBO为平行

四边形，设直线AB的方程为x=ty-√2,

设A(x,y₁),B(x₂,y₂),M(x₃,y₃),

将直线方程x=ty-√2代入椭圆方程，化简整理得(t²+3)y²-2√2ty-1=0,(4分)

所以△=8t²+4(t²+3)=12t²+12>0,

所以中点坐标D为(6分)

若四边形AMBO为平行四边形，则AB与MO互相平分，所以D为MO中点，

则所以点M的坐标为(7分)

代入化简整理得24-8t²=(t²+3)²,,即t⁴+14t²-15=0,

解得t²=1或t²=-15(舍),(8分)

所以t=±1,因此，存在四边形AMBO为平行四边形，

此时直线AB的方程为x=±y=√2;(9分)

(ii)由点D的坐标为,所以直线OD的方程为,代入双曲线方程

化简整理得(3-t²)x²=9,则所以(10分)

又点M,N关于原点对称，则

数学试题参考答案及评分意见第5页(共8页)

因为点M(x,y₃)到直线AB的距离，

点N(-x,-v₃)到直线AB的距离，(12分)

因为[(t²+3)x+3√2][(t+3)x-3√2]=(t²+3)²x²-18,

代入,化简得,(13分)

因为0≤t²<3,所以9.,因此(14分)

由弦长公式可得|AB|=√t²+1√(V+v₂)-4v₁V₂=√t²+1

所以四边形AMBN面积,代入

(16分)

化简整理得,因为0≤t²<3,

所以S∈(2,+∞).(17分)

19.(17分)解：

(1)(i)当x∈(0,1)时，有f(x)=0,故g(x)=0,所以M₁={0},b₁=1.

当x∈(n-1,n),n≥2时，有f(x)=n-1,故8(x)=[(n-1)x].(2分)

又因为(n-1)x∈[(n-1)²,n(n-1),所以,从而

bn=n-1,特别地，b₂=1.

因此，b₁=1,b₂=1,bₙ=n-1(n≥2).(4分)

数学试题参考答案及评分意见第6页(共8页)

(ii)由(i)知，当n≥2时，有bₙ+1=n,bₙ=n-1,于是题设等式化为[a[am]]-[am]=n-1.

令cn=[an],则[acn]-cn=n-1,即n-1+cn≤ac,<n+c,从而n-1≤(a-1)cₙ<n

(4分)

又因为Cn≤an,所以n-1≤(a-1)cn≤a(a-1)n,古

另一方面，cn>an-1,于是(a-1)cn>(a-1)(an-1)=a(a-1)n-(a-1).

由n-1≤(a-1)cn<n可得a(a-1)n-(a-1