2026秋高三数学复习 圆锥曲线：椭圆的离心率问题、弦长问题、焦半径与焦点弦问题、中点弦问题(原卷版)

圆锥曲线：椭圆的离心率问题、弦长问题、焦半径与焦点弦问题、中点弦问题

专项训练

考点目录

椭圆的离心率问题椭圆的弦长问题

椭圆的焦半径与焦点弦问题椭圆的中点弦问题

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考点一椭圆的离心率问题

x2y2

1．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆+=1，其焦点F与上顶点A和左顶点B构成面积为

9b2

33的三角形，且ÐBAF=60o，则椭圆的离心率为（）

1212

A．B．C．D．

3322

x2y2

2．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若椭圆C:+=1m>0的焦距为22，则C的离心率为（）

m2

2336

A．B．C．D．

2233

22

325-26··xy

．（高三上浙江开学考试）已知椭圆C:+=1a>0,b>0的左、右两个焦点为F1，F2，若椭圆上存

a2b2

uuuruuuura2

在两点P、Q关于原点对称，且满足PF×PF=，ÐPFQ=120o，则椭圆C的离心率（）

1222

3211

A．B．C．D．

2223

22

425-26··xy

．（高三上湖北武汉阶段练习）设椭圆E：+=1a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，椭圆E上点P

a2b2

F1A2

满足PF1^PF2，直线PF1和直线PF2分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若=，则椭圆E的离心率

F2B3

为（）

351017

A．B．C．D．

2345

x2y2

5．（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线y=kxk¹0与椭圆C:+=1a>b>0交于A,B两点，椭圆的左、

a2b2

右焦点分别为F1、F2，四边形AF1BF2为矩形，若F2A=2F2B，则椭圆C的离心率是（）

3155

A．B．C．D．

2239

x2y2

6．（25-26高三上·山西大同·开学考试）已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P为C上

a2b2

一点，ÐF1PF2的平分线交x轴于点A，若PF1=3AF1，则C的离心率为（）

1123

A．B．C．D．

3234

2222

725-26···xyxy

．（高三上河北开学考试多选）已知F1,F2是椭圆C:+=1a>0与双曲线C:-=1b>0的公

1a222b22

共焦点，点P是两曲线的一个交点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）

A．a>bB．e1e2<1

11

C．VPF1F2是直角三角形D．2+2是个定值

e1e2

22

825-26···xy

．（高三上江西阶段练习多选）已知椭圆C:+=1a>b>0的左､右焦点分别为F1,F2，上顶点为

a2b2

A，直线AF2与C的另一个交点为B，下列结论正确的是（）

33

A．若AF2=2BF2，则C的离心率为B．若BF1=3BF2，则C的离心率为

33

65

C．若AB=BF1，则C的离心率为D．若AF1^BF1，则C的离心率为

35

9．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）直线8x+12y=16经过椭圆m2x2+n2y2=1的两个顶点，则该椭圆的离心率

为.

2bx2y2

10．（2025·江苏南通·模拟预测）若直线y=与椭圆C:+=1a>b>0交于A，B两点，AB=2b，则C的

3a2b2

离心率为.

x2

11．（24-25高二上·新疆哈密·阶段练习）已知点P在圆x2+y2-6y+8=0上，点Q在椭圆+y2=1(a>1)上，且

a2

PQ的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为.

x2y2

12．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点为F，P，Q为C上关于原

a2b2

b2

点对称的两点，PF^QF，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为-，则C的离心率为.

3a2

x2y2

13．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）椭圆+=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一

a2b2

点，直线PF1的斜率为2，ÐF12=90PF°，则椭圆的离心率为．

x2y2

14．（24-25高二下·广西梧州·阶段练习）已知O为坐标原点，椭圆C：+=1（a>b>0）的右顶点为A，以

a2b2

OA为直径的圆与椭圆C的三个公共点分别为A，M，N，若以O，M，A，N为顶点的四边形是正方形，则椭

圆C的离心率为.

考点二椭圆的弦长问题教辅资源，关注公众号★全科AA+

y2

1．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆C:+x2=1的一个焦点是F，过原点的直线与C相交于点A，B，

9

210

△ABF的面积是，则|AB|=（）

5

35651852185

A．B．C．D．

5555

x2

2．（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆C：+y2=1截得的弦长大于．．l：y=x+1被C截得的弦长的是

2

（）

A．y=-xB．y=-x-1C．y=x-1D．y=x+2

x2

3．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆+y2=1的右焦点F作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两

2

点，则|AB|=（）

822022132

A．B．C．D．

7777

x2y2

4．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知直线y=2x与椭圆C:+=1a>b>0交于A，B两点，点F是椭

a2b2

uuuruuuruuuruuur

圆C的左焦点，若FA+FB=4，FA+FB=22，则AB=．

x2y2

5．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆C:+=1的左右焦点分别为F1、F2，过F1作直线交椭圆C于A、B两

43

点，其中点B在x轴下方，△ABF2内切圆交边AB于点N，则线段AN的长度取值范围为.

x2y2

6．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C的方程为+=1a>b>0，点F为C的一个焦点，点A,B为C的两个

a2b2

顶点，若FA=3，FB=2，则AB的可能值中的最大值为．

x2y2x2y2

7．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知椭圆M：+=1a>b>0与椭圆+=1的焦点相同，且M的

a2b242

长轴长是短轴长的3倍．

(1)求M的方程；

1

(2)若过点1,0且斜率为的直线l与M交于A,B两点，求AB．

2

22

825-26··xy

．（高三上黑龙江绥化开学考试）已知椭圆C:+=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，M是椭

a2b2

3

圆C上一点，且△MF1F2的周长是4+23，椭圆C的离心率为.

2

(1)求椭圆C的方程；

uuuruuur3

(2)已知O为坐标原点，过点P4,0的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且OA×OB=，求AB.

5

x2y22

9．（24-25高三下·云南昭通·期中）已知椭圆C:+=1a>b>0的离心率为，短轴长为22．

a2b22

(1)求C的方程；

过点0,-2的直线与交于，两点，为坐标原点，P0,2，若S，求AB．

(2)lCABOVOAB+SVPAB=32

x2y2

10．（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆C:+=1a>b>0上任意一点P到C的两个焦点

a2b2

F1-22,0,F222,0的距离之和为43.

(1)求C的方程；

1

(2)已知直线l:y=x+m与C相交于A，B两点，若AB=5，求m的值.

3

x2y2

11．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知曲线C:-=1(b¹0)．

4b

(1)若b=4，求曲线C的离心率；

1

(2)若曲线C的左，右顶点为A1,A2，P是C上第一象限上动点，k×k=-．

PA1PA22

（ⅰ）若tanÐA1PA2=-3，求点P的坐标；

（ⅱ）设直线A1P与定直线l:x=6的交点为M，直线MA2与曲线C的另一个交点为Q，求|PQ|的最小值．

x2y2æ3ö

12．（2025·山西·模拟预测）已知椭圆C：+=1a>b>0的右焦点为F1,0，且过点Pç-1,÷.

a2b2è2ø

(1)求C的方程；

(2)设Q为C上一动点，当PQ+QF取得最大值时，求直线QF被C截得的弦长.

x2y2æ7ö

13．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知椭圆+=1a>b>0过点0,2，1,.

22ç÷

abè2ø

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知斜率为2的直线l交椭圆于A，B两点（点A，B不重合），且l交直线y=x+4于点M，探究MA×MB是否

有最小值.

x2y2

14．（2025·陕西汉中·一模）已知F1，F2是椭圆C:+=1（a>b>0）的左，右焦点，焦距为2，离心率

a2b2

1

e=，过左焦点F的直线交椭圆C于A,B两点.

21

(1)求椭圆C的方程；

11

(2)求证+为定值.

AF1BF1

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x2y2

1．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆E:+=1(0<b<5)的左右焦点分别为F1,F2，点Mx0,y0是椭

5b2

△,

圆E上第一象限的一点，MF1F2的内心为Nx1y1，若x0=5x1，则椭圆E的方程为（）

x2x2y2

A．+y2=1B．+=1

552

x2y2x2y2

C．+=1D．+=1

5354

x2y2

2．（2024·四川南充·二模）已知椭圆C:+=1的左右焦点分别为F1,F2．过点F1倾斜角为q的直线l与椭圆C相

43

交于A，B两点（A在x轴的上方），则下列说法中正确的有（）个．

3

AF=

12+cosq

114

①+=

AF1BF13

②9sin2q

若点M与点B关于x轴对称，则VAMF的面积为

17-cos2q

③π12p

当q=时，△ABF内切圆的面积为

3225

④A．1B．2C．3D．4

x2y2

3．（24-25高二上·安徽合肥·期中·多选）已知椭圆E:+=1a>b>0的左､右焦点分别为

a2b2

F1,F2，左､右顶点分别为A,B,BF1=2AF1,P是椭圆E上异于A,B的一个动点，则下列说法正确的有（）

1

A．椭圆E的离心率为

3

4

B．若PF^FF，则cosÐPFF=

112215

C．直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值

uuuruuur

D．符合条件PF1×PF2=0的点P有且仅有2个

x2y2

4．（2024·四川·一模·多选）已知椭圆E:+=1的左顶点为A，左、右焦点分别为F1,F2，过点F1的直线与椭圆

43

相交于P,Q两点，则（）

A．F1F2=1B．PQ£4

△

C．当F2,P,Q不共线时，F2PQ的周长为8D．设点P到直线x=-4的距离为d，则d=2PF1

x2y22

5．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆+=1(a>b>0)，左、右焦点分别为F1,F2，离心率为，过F2作

a2b22

直线l交椭圆于A，B两点（A在x轴上方），满足AF2=3F2B，设点A关于x轴的对称点为A¢，若VA¢BF1的外接

52

圆半径R³，则b的最小值为.

4

x2y2

6．（24-25高三上·上海·阶段练习）设椭圆G:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F、F，直线l经过点F，且

a2b2122

22

724-25··xy

．（高二上浙江杭州期末）已知椭圆C:+=1a>b>0，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，P是

a2b2

椭圆C上任意一点．若VPF1F2的周长为6，且PF1的最小值为1．

(1)求C的方程；

(2)设点M4,0，过F2的直线l与椭圆C交于A、B两点，记直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，求k1k2的取值范

围．

22

xy1

8．（24-25高三上·广东·期中）已知椭圆C:+=1a>b>0的离心率为，左焦点为F，点A-2,0在C

a2b22

上．过F且斜率为kk¹0的直线l交C于M、N两点（M在N的上方）．

(1)求C的方程；

MF

(2)若k=1，求；

NF

uuuuruuur

(3)若PM=2MA，直线PN交x轴于点T，求AT的取值范围．

x2y2

9．（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C：+=1过定点P2,1，过点P的两条动直线交椭圆于

a2a2-2

Ax1,y1,Bx2,y2，直线PA,PB的倾斜角互补，F为椭圆C的右焦点.

MF

(1)设M是椭圆C的动点，过点M作直线x=22的垂线MN,N为垂足，求.

MN

2

(2)在△ABF中，记ÐFBA=a,ÐFAB=b，若直线AB的斜率为，求sina-sinb的最大值.

2

10．（24-25高三上·安徽六安·期末）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相

垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，a2+b2为半径的圆（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴

x2y2

长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆E:+=1a>b>0的蒙日圆的面积为5π，短轴长为2，作直线l与椭

a2b2

圆E交于M、N两点，与椭圆E的蒙日圆交于H、G两点．

(1)已知P4,0，直线l斜率为1，若直线PM、PN的斜率满足kPM+kPN=0，求直线l的方程；

(2)若椭圆E的左右焦点分别为F1、F2，直线l过坐标原点．求证：MH×MG=MF1×MF2．

考点四椭圆的中点弦问题

x2y2

1．（24-25高二下·山西·开学考试）已知椭圆C:+=1a>b>0的焦距为4，直线x-y+3=0与椭圆相交于

a2b2

A，B两点，若点Q-2,1是线段AB的中点，则椭圆C的短轴长为（）

A．2B．4C．6D．8

x2y2

2．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线C:+=1，直线l与曲线C交于A,B两点，且点P(1,1)是线段

94

AB的中点，则直线l的斜率为（）

4499

A．B．-C．D．-

9944

x2y2

3．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆+=1，过点P1,1的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段AB

93

的中点，则直线AB的方程为（）

A．x+3y-4=0B．3x+y-4=0C．x-3y+2=0D．3x-y-2=0

x2y2

4．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点F-1,0为椭圆+=1a>b>0的左焦点，点P为椭圆的下顶

a2b2

1

点，平行于FP的直线l交椭圆于A,B两点，且AB的中点为(1,)，则该椭圆的方程为（）

2

x2y2x2x2y2x2y2

A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=1

6525443

x2y2

5．（2025·山西·一模·多选）已知椭圆C:+=1，左，右焦点分别为F1，F2，点P是C上的动点，点

164

M(3,1)，则下列结论正确的是（）

3

A．椭圆C的离心率为B．PF1+|PM|的最大值为10

2

3

C．PF1+|PM|的最小值为5D．被点M平分的弦所在直线的斜率为-

4

x2

6．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习·多选）已知椭圆+y2=1的左右焦点为F，F，直线l交椭圆于P,Q两点，

912

则（）

A．PF1的取值范围为2,4

2

B．若直线l经过点F，则PQ的最小值是

13

C．椭圆上存在四个点P，使得VPF1F2为直角三角形

æ1ö

D．若线段PQ中点为ç1,÷，则直线l的方程为x+3y-2=0

è3ø

x2y2

7．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆+=1的一条弦AB的中点为M-2,1，则直线AB的斜截式方程

204

为．

8．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的

x2y2

面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆+=（1a>b>0）的右焦点为F6,0，

a2b2

æ6ö

过F作直线l交椭圆于A，B两点，若弦AB中点坐标为ç,-1÷，则该椭圆的面积为.

è3ø

x2y2

9．（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）已知直线l与椭圆C:+=1交于A，B两点，若M(1,1)为线段AB的中

96

点，则直线l的斜率为.