2026秋高三数学复习 数列新定义问题、导数新定义问题、解析几何新定义问题(解析版)

数列新定义问题、导数新定义问题、解析几何新定义问题专项训练

考点一数列新定义问题

1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）将正整数集N*中所有与21不互素的数划掉，记剩下的数由小到大排成数列

an，再按照两项，一项，两项，一项L的顺序循环分组：a1,a2,a3,a4,a5,a6,L，那么2024在第（）

组．

A．771B．769C．772D．775

【答案】A

【详解】正整数集N*中，划掉所有与21不互素的数等价于划掉3或7的倍数，

余下的数按题设要求可分组如下：

1,2，4，5,8，10，11,13，16，17,19，20；

22,23，25，26,29，31，32,34，37，38,40，41，

M

每行均有8组（共12个元素），且各组中的元素除以21后余数相异，

而2024=21´96+8，故2024在第97行，

而第97行的第一组为1+96´21,2+96´21=2017,2018，

第二组为2016+4=2020，第三组为5+2016,8+2016=2021,2024，

故2024为第97行的第3组．则2024在第96´8+3=771组．

故选：A.

p,q

2．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知an是一个公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn.若存在正整数(其中

p<q

)使得Sp+Sq=0，则称an具有性质G，称有序数对p,q是an的一组“Γ数对”，记由an的全体“Γ数对”

所组成的集合为Ωa.关于命题“若an具有性质且1,4ÎΩa，则Ωa=1,4”与命题f存在具有性质

nΓnnΓ

①②

的a及互不相同的正整数n,n,m其中n<m且n<m，使得n,mÎΩ且n,mÎΩ，下列说法正确的是

n12(121an2an

（）.

A．是真命题，是真命题B．是真命题，是假命题

C．①是假命题，②是真命题D．①是假命题，②是假命题

【答案】①A②①②

d2ædö

【详解】解析：Sn=n+ça1-÷n，

2è2ø

6d

Q1,4ÎΩ，带入S+S=0，得a+4a+6d=0，解得a=-，

an141115

dæ217ö

\Sn=çn-n÷，

2è5ø

dæ217ödæ217ö

当Sp+Sq=0，得çp-p÷+çq-q÷=0，

2è5ø2è5ø

17

化简得p2+q2-p+q=0，又p<q,p,qÎN*

5

17123

若p=1，则q2-q-=0，5q+3q-4，所以q=4或q=-（舍去），

555

2171417-289+28017+289+280

若p=2，则q-q-=0，5q2-17q-14=0，所以q=（舍去）或q=（舍

551010

去），

217617-289+12017+289+120

若p=3，则q-q-=0，5q2-17q-6=0，所以q=（舍去）或q=（舍去），

551010

若p³4，则q³5，p,qÎN*

22

217æ17ö28912217æ17ö289

因为p-p=çp-÷-³，q-q=çq-÷-³8，

5è10ø10055è10ø100

1717

所以p2+q2-p+q>0，故p2+q2-p+q=0无整数解，所以是真命题；

55

2①

设Sn=n-5n，n1=2,m=6;n2=3,m=6，所以是真命题；

故选：A.②

*

3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意nÎN，都有an+an+1=c（c为常数），称数列an为“等和”数列.

2025

a

设“等和”数列an的首项为1，直线kx-(y+k)+2=0kÎR过定点P(a1,a2)，则an=（）

n=1

A．2025B．2562C．3036D．3037

【答案】D

【详解】由直线kx-(y+k)+2=0kÎR变形得：

kx-1-y+2=0kÎR，当x=1时，y=2

所以直线过定点P(1,2)，即a1=1,a2=2，

由数列an为“等和”数列且an+an+1=c（c为常数），

所以an+an+1=a1+a2=1+2=3，

所以等和”数列an的奇数项为1，偶数项为2，

2025

所以an=a1+a2+a3+a4+L+a2023+a2024+a2025

n=1

=a1+a2+a3+a4+L+a2023+a2024+a2025

2024

=3´+1=3037，

2

故选：D.

Z

4．（2025·江西·模拟预测）若数列an满足an+1=logman(m>1且mÎ)，则称数列an为“对数m底数列”.已知正

a2+a3+L+an

*4

项数列an是“对数2底数列”且a5=1，则当n…2且nÎN时，22=（）

a2g…gan-1

A．212B．216C．232D．264

【答案】C

an+1log2an

【详解】因为正项数列an是“对数2底数列”，所以an+1=log2an，所以2=2=an，

a*

a2a3a4nN

所以2=a1,2=a2,2=a3,L,2=an-1n³2且nÎ，

a2a3ana2+a3+L+an

以上式子相乘得2×2L2=a1×a2Lan-1，所以2=a1×a2Lan-1，

a2+a3+L+ana2+a3+L+ana2+a3+L+an

22×22

所以=a1，得=a1，

a2Lan-1a2Lan-1×a2Lan-1

2a2+2a3+L+2ana2+a3+L+an

2242

即22=a1，得22=a1，因为a5=log2a4,a5=1，所以a4=2；

a2Lan-1a2Lan-1

同理，a4=log2a3，所以a3=4;a3=log2a2，所以a2=16;a2=log2a1，

a+a++a

23Ln2

1641632

所以a1=2.故22=2=2.

a2Lan-1

故选：C.

*

5．（24-25高二下·福建泉州·期末·多选）已知数列un，其前n项和为Sn，若存在常数M>0，对任意nÎN，恒

有un+1-un+un-un-1+L+u2-u1£M，则称un为B-数列.则下列说法正确的是（）

A．若un为等差数列，则un为B-数列

B．若un是以1为首项，q(|q|<1)为公比的等比数列，则un为B-数列

C．若un为B一数列，则Sn也为B-数列

D．若Sn为B一数列，则un也为B-数列

【答案】BD

【详解】对于A，若un为等差数列，设公差为d，则un+1-un+un-un-1+L+u2-u1=nd，

当n®+¥时，nd®+¥，所以不存在满足题意的正数M，故A错误；

nnn-1n-1

对于B，若un是以1为首项，q(q<1)为公比的等比数列，则un+1=q，un+1-un=q-q=1-qq，

1-qn

则u-u+u-u+L+u-u=1-q1+q+LLqn-1=1-q×，

n+1nnn-1211-q

n1-q

因q<1，则当n®+¥时，q®0，故un+1-un+un-un-1+L+u2-u1£，故B正确；

1-q

对于C，若un=1，则数列un是B-数列，此时Sn=n，

但Sn+1-Sn+Sn-Sn-1+L+S2-S1=n不是常数，即数列Sn不是B-数列，故C错误；

对于D，若数列Sn是B-数列，即存在常数M>0，

*

对任意nÎN有Sn+1-Sn+Sn-Sn-1+L+S2-S1£M，即un+1+un+L+u2£M，

则un+1-un+un-un-1+L+u2-u1£un+1+2un+L+2u2+u1

£2un+1+2un+L+2u2+u1=2M+u1，则数列un是B-数列，故D正确.

故选：BD

6．（24-25高二下·广东深圳·期末·多选）对于正整数n,j(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两

个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数jn)(以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如

j(10)=4（10与1，3，7，9均互质），则（）

A．j(20)+j(25)=28B．若p为质数，则数列jpn为等比数列

ïìnïü179

C．数列íý的前5项和等于D．$nÎN*，使得2éj3n+j4nù=j5n

n81ëû

îïj3þï

【答案】ABD

【详解】对于A选项，与20不互质的是2的倍数（10个）以及5的倍数（4个），

减去重复计数的10的倍数（2个），总共12个，j20=20-12=8；

与25不互质的只有5的倍数（5个），所以j25=25-5=20，

所以j20+j25=28，故A正确；

对于B选项，设p为质数p³2，则小于等于pn的正整数中与pn不互质的数只有p的倍数，

pn

所以互质的数的数目为pn-=pn-pn-1，

p

jpnn-1

nn-1p-1p

故jp=p-1p，所以=n-2=p为常数，

jpn-1p-1p

所以数列jpn为等比数列，故B正确；

对于C选项，根据选项B可知，j3n=2×3n-1，

ïìnïü12345179

数列íý的前5项和为++++=，故C错误；

n261854162162

îïj3þï

对于D选项，j3n=2×3n-1，j5n=4×5n-1，

4不是质数，j4n=j22n=22n-1=2×4n-1，

即判断是否存在n使得223n-14n-1=+´4×5n-1，观察得到n=3时等式成立，故D正确．

故选：ABD.

7．（24-25高二下·江西抚州·期末）斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐

波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，

¼N*

34，，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：a0=1，a1=1，an+1=an+an-1nÎ，

A=a1,a2,L,a2025.若集合B为集合A的非空子集，则集合B中所有元素之和为奇数的概率为.

22024

【答案】

22025-1

【详解】由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有675个偶数，1350个奇数，

记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，E为集合C的子集，

集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成EÈF.

21350

易知，集合E共有2675个，集合F共有C1+C3+C5+L+C1349==21349个，

13501350135013502

所以所有元素之和为奇数的集合B共有2675´21349=22024个.

22024

又集合A的非空子集共有22025-1个，所以B中所有元素之和为奇数的概率为.

22025-1

22024

故答案为：.

22025-1

824-25··N**

．（高二下广西桂林期末）对于数列annÎ，记Δan=an+1-an，对于kÎN，记

k+1kkk01k

Δan=ΔΔan=Δan+1-Δan，规定：Δan=an，Δan=Δan，称Δan为数列an的k阶差数列．若an的一

阶差数列为等比数列，a1=1，a2=4，a3=13，bn的二阶差数列为常数列，常数为4，b1=-2，b2=0，则数列

ìæ1öü

n

an×bn的通项公式为，数列íçan+÷×bn+4ný的前项和为．

îè2øþ

2

2nn-n+1n+13

【答案】an×bn=n-2n3-1×3-

22

【详解】a1=1，a2=4，a3=13，Δa1=a2-a1=3，Δa2=a3-a2=9，

Δa29

an的一阶差数列为等比数列，故公比为==3，首项为Δa1=3，

Δa13

n-1nn

故通项为Δan=3´3=3，即an+1-an=3，

n-1n-2n-1n-2n-1

所以an=an-1+3=an-2+3+3=L=a1+3L+3+3

1-3n3n-1

=1+3L+3n-2+3n-1==，

1-32

b1=-2，b2=0，故Δb1=b2-b1=2，

2

bn的二阶差数列为常数列，常数为4，故Δbn=Δbn+1-Δbn=4，

故Δbn=Δb1+4n-1=2+4n-4=4n-2，

即n+1-bbn=4n-2，

所以bn=bn-1+4n-6=bn-2+4n-10+4n-6=b1+2+L+4n-10+4n-6

n-12+4n-6

=-2+2+L+4n-10+4n-6=-2+=2n2-4n，

2

3n-1

所以a×b的通项公式为22n，

nnan×bn=2n-4n=n-2n3-1

2

nn

æ1öæ3-11ö2322n

çan+÷×bn+4n=ç+÷×2n-4n+4n=×2n=n×3，

è2øè22ø2

ìæ1öü

n

设íçan+÷×bn+4ný的前项和为Sn，

îè2øþ

22232n

则Sn=3+2´3+3´3L+n×+3，

223242n+①1

3Sn=3+2´3+3´3+L+n×3，

23②4n2n+1

式子-得-2Sn=3+3´3+5´3+7´3L+2n-13-n××3，

①②33´32+5´33+7´34L+2n-1×3nn2

所以S=--+×3n+1，

n222

③

234n

其中设Tn=3´3+5´3+7´3L+2n-1×3，

345n+1④

则3Tn=3´3+5´3+7´3L+2n1×-3，

34n⑤n+1

式子-得-2Tn=27+2´3+3+L+3-2n-1×3

④⑤27-3n+1

=27+2´-2n-1×3n+1=2-2n×3n+1，

1-3

n+1

故Tn=n-1×3，

3n-1×3n+1n2n2-n+13

将其代入得S=--+×3n+1=×3n+1-.

n22222

2

③2nn-n+1n+13

故答案为：an×bn=n-2n3-1，×3-.

22

9．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知无穷数列an，bn.若对任意的正整数n，都有an-bn£1，则称an与

bn“伴随”.

2n-1(n-1)π

(1)若a=()，b=cos，判断a与bn是否“伴随”，说明理由；

n3n3n

(2)已知数列an的前n项和为Sn，Sn满足Sn=1-an，证明：an与Sn“伴随”.

【答案】(1)不“伴随”，理由见解析；

(2)证明见解析.

【详解】（1）数列an与bn不“伴随”.

835

取n=4，|a-b|=|-(-1)|=>1，

442727

所以数列an与bn不“伴随”.

1

（2）数列a中，S=1-a，则a=S=1-a，解得a=，

nnn11112

1

a=S-S=1-a1(--a)=a-a，即a=a，

n+1n+1nn+1nnn+1n+12n

11

因此数列a是首项为1，公比为1的等比数列，a=，S=1-，

n22n2nn2n

11

则|a-S|=|1-|=1-<1，

nn2n-12n-1

所以an与Sn“伴随”.

10．（24-25高二下·江西·期末）若数列an使得函数f（x）满足

23nex

f0+fa+éfaù+éfaù+L+éfaù<，则称an为fx的进阶数列．已知函数fx=e，

1ë2ûë3ûënûe-1

1

gx=lnx+1，a=-1，b=，nÎN．

nnn+

(1)证明：an为fx的进阶数列．

(2)证明：fx>gx+1．

(3)证明：bn为gx的进阶数列．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

23n

【详解】（1）由题可知f0+fa1+ëéfa2ûù+ëéfa3ûù+L+ëéfanûù

1

1-

1111n+11e

=1+++++=e<=，

23Ln11

eeee1-1-e-1

ee

所以an为fx的进阶数列．

（2）构造函数y=ex-x-1，可得y¢=ex-1．

当xÎ0,+¥时，y¢>0，即函数y=ex-x-1在0,+¥上单调递增；

当xÎ-¥,0时，y¢<0，即函数y=ex-x-1在-¥,0上单调递减．

因此函数y=ex-x-1在x=0处取得极小值，也是最小值，

即可得y=ex-x-1³0恒成立，即ex³x+1，当且仅当x=0时，等号成立．

由ex³x+1，可得ex+1³x+2，即x+1³lnx+2，当且仅当x=-1时，等号成立．

综上，ex³x+1,x+1³lnx+2恒成立，但等号不在同一点处取得，

所以ex>lnx+2，即fx>gx+1．

（3）由（2）中结论ex>lnx+2可知ln1+x<ex-1，

1

n+1æ1ö-1

所以ln=lnç1+÷<en，

nènø

n1n

-1

æn+1öæö1-n

因此çln÷<çen÷=e．

ènøèø

23

23n34

故æöæö

g0+gb1+ëégb2ûù+ëégb3ûù+L+ëégbnûù=0+ln2+çln÷+çln÷

è2øè3ø

0-n

n+1ne1-eee

æö0-1-21-n-n，

+L+çln÷<e+e+e+L+e=-1=1-e<

ènø1-ee-1e-1

即bn为gx的进阶数列．

3

1n+1n3

11．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）在数列a中，a=，且．

n1n+1-n=1

22an+12an

(1)求an的通项公式．

na

(2)证明：i<2．

i=1i

(3)若数列bn中存在两项bp，bqp<q，使得bp=bq，则称p,q为数列bn的等项数对．证明：an的等项数

对唯一．

n2

【答案】(1)a=；

n2n

(2)证明见解析；

(3)证明见解析.

3

n+1n3113

【详解】（）因为，a=，所以=1，

1n+1-n=11

2an+12an22a1

ìn3ü

所以数列íný是首项为1，公差为1的等差数列，

î2anþ

n3n2

所以=n，得．

nan=n

2an2

na12n

S=i=++×××+

（2）设n2n，

i=1i222

112n

则S=++×××+，

2n22232n+1

11

-

11111nn+1nn+2

则S-S=+++×××+-=22-=1-，

nn23nn+11n+1n+1

2222221-22

2

n+2nan+2

N*S=i=2-<2

因为nÎ,n>0，所以nn．

2i=1i2

222

n+1n2n+1-2n2-n2+2n+1-n-1+2

（3）由（1）知，a-a=-===，

n+1n2n+12n2n+12n+12n+1

当n£2时，an+1-an>0，当n>2时，an+1-an<0，

所以a1<a2<a3>a4>a5>×××，注意到a2=a4=1，

1251361491

a=，a=>，a=>，a=<，a<an>7，

125322664271282n7

所以an的等项数对唯一，且唯一等项数对为2,4．

12．（24-25高二下·浙江·期末）若无穷正项数列an同时满足以下两个性质：存在M>0，使得

N*①

an<M,nÎ；an为单调数列，则称数列an具有性质Q．

②n

æ1ö

(1)若an=2n-1,bn=ç÷；

è2ø

（ⅰ）判断数列an,bn是否具有性质Q，并说明理由；

（ⅱ）记Sn为数列anbn的前n项和，判断数列Sn是否具有性质Q，并说明理由；

1n

(2)某同学投篮命中率为，每次投篮相互独立，设随机变量X为投篮2n次命中的次数，记cn=PX=2k-1，

4k=1

证明：数列cn具有性质Q．

【答案】(1)（ⅰ）an不具有，bn具有，理由见解析；（ⅱ）具有，理由见解析

(2)证明见解析

【详解】（1）解：（ⅰ）假设存在M>0，使得an=2n-1<M，

M+1

则有n<，因为nÎN*，所以数列a不具有性质Q；

2n

1n

因为æö，且b为单调递减数列，所以数列b具有性质Q；

bn=ç÷<1nn

è2ø

1121n

（）数列S具有性质Q，æöæö

ⅱnSn=1×+3×ç÷+L+2n-1ç÷

2è2øè2ø

23n+1

1æ1öæ1öæ1ö

Sn=1×ç÷+3×ç÷+L+2n-1ç÷

2è2øè2øè2ø

1112131n1n+1

两式作差得：æöæöæöæö

Sn=+2×ç÷+2×ç÷+L+2×ç÷-2n-1ç÷

22è2øè2øè2øè2ø

n-1

1éæ1öù

1-

êç÷ún+1nn

12êè2øúæ1ö3æ3öæ1öæ1ö

=+ëû-2n-1=-n+=3-2n+3<3，

1ç÷ç÷ç÷ç÷

21-è2ø2è2øè2øè2ø

2

所以数列Sn满足条件；

①

1n

因为æö，

anbn=2n-1ç÷>0

è2ø

所以Sn为单调递增数列，满足条件，所以数列Sn具有性质Q；

②

（2）解：因为X=0,1,L,2n,nÎN*，

记X是奇数时的概率和为cn，X是偶数时的概率和为dn，

02n12n-12n-112n0

0æ1öæ3ö1æ1öæ3ö2n-1æ1öæ3ö2næ1öæ3ö

cn+dn=C2nç÷ç÷+C2nç÷ç÷+L+C2nç÷ç÷+C2nç÷ç÷

è4øè4øè4øè4øè4øè4øè4øè4ø

2n

æ13ö

=ç+÷=1，

è44ø

02n12n-12n-112n0

0æöæö1æöæö2n-1æöæö2næöæöæöæö，

dn-cn=C2nç-÷ç÷+C2nç-÷ç÷+L+C2nç-÷ç÷+C2nç-÷ç÷=ç-+÷=ç÷

è4øè4øè4øè4øè4øè4øè4øè4øè44øè4ø

n

æ1ö

1-ç÷n

可得41，故cn随着的增大而增大，

c=èø<

n22

所以数列cn具有性质Q．

13．（24-25高二下·浙江杭州·期末）对于给定的正整数n，如果正整数d能整除n，则称d是n的因子；如果正整

数m，n共同的因子只有1，则称正整数m和n互素.已知函数fn表示正整数n的因子个数，数列an满足以下

条件：

pan=n+1

对于任意素数和正整数n，都有p；

①

对于任意的正整数m和n，若m和n互素，则amn=am×an.

②

(1)求a1，a2024的值，并写出an和fn的关系（无需证明）；

n

(2)当n是偶数时，证明：a£+1；

n2

ìanü5

(3)设数列íý的前n项和为Sn，证明：S<.

î2nþn3

【答案】(1)a1=1，a2024=16，an=fn

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【详解】（1）注意到，对于任意的正整数n，1和n总是互素的，

因此an=a1×an恒成立，即a1=1.

又2024=23´11´23，

a=a×a×a=1+3´1+1´1+1=16

故2024231123.

令n=0，则a1=0+1=1；令p=2,n=1，则a2=1+1=2；

令p=,3n=1，则a3=1+1=2；令p=,2n=2，则a4=2+1=3；

令p=,5n=1，则a5=1+1=2；令m=,2n=3，所以a6=a2a3=4，

所以an的前6项分别为1，2，2，3，2，4．

通过计算特殊的an和fn的值，可以发现：an=fn.

nn

（2）证明：设n=2kkÎN，若d<n是n的因子，则>1且ÎN

+dd+

nn

故³2，即d£=k，

d2

因此，偶数n的因子除了n外，至多有k个

n

故a=fn£k+1=+1

n2

nn

（3）考虑奇数n，设n=2k-1kÎN，若d<n是n的因子，则>1且ÎN

+dd+

nnn+1

故³2，即d£<=k，又dÎN，故d£k-1

d22+

n+1

即a=fn£k=

n2

aakk+13k+13k+1

结合（2）问结论，有：2k-1+2k£+==

22k-122k22k-122k22k4k

æa1a2öæa3a4öæa2k-1a2kö473k+153k+55

故S2k=ç+2÷+ç3+4÷+¼+ç2k-1+2k÷£+2+¼+k=-k<

è22øè22øè22ø44433×43

5

且S<S<，故原命题得证.

2k-12k3

*

14．（24-25高二下·北京石景山·期末）设an为无穷数列，如果对于任意nÎN，都有an+4+an=2an+2，则称数列

an具有性质P.

(1)判断下列两个数列是否具有性质P；（结论