2026秋高三数学复习 数列：数列不等式问题、数列新定义问题、数列实际应用问题(原卷版)

数列：数列不等式问题、数列新定义问题、数列实际应用问题专项训练

考点一数列不等式问题

*

1．（24-25高二下·黑龙江绥化·期中）在正项等比数列an中，a3a4a5=512，a7=64，若当xÎN时，

2an-8n-t³0恒成立，则实数t的取值范围为（）

A．-¥,16B．-¥,-16C．-¥,-20D．-¥,20

*

2．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知等比数列an的前n项和为Sn,a1+a3=5,S4=15，若对于任意nÎN，不等式

a2+64

n>m2+6m恒成立，则m的取值范围为（）

an

A．-8,2B．-2,8C．-10,6D．-6,10

3．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若a7=2，a9,a5,a13成等比数列，则

满足Sn>0的n的最大值为（）

A．8B．9C．13D．14

51*

4．（2025·海南·模拟预测）数列a满足a=,a=2a-，对于任意的nÎN,l2an-1<2an-2恒成立，则实

n12n+1n2

数l的取值范围是（）

æ3öæ3ö

A．ç-¥,÷B．-¥,1C．ç,+¥÷D．1,+¥

è4øè4ø

5．（24-25高二下·广东江门·期末）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an-2n，设bn=n-llog2an+2，

lÎR，若数列bn是递增数列，则实数l的取值范围是（）

A．-¥,3B．-¥,4C．3,+¥D．4,+¥

624-25··nn+1

．（高二下辽宁鞍山期末）已知单调递增数列an的通项公式为an=3+l-2，则实数l的取值范围为

（）

æ31öæ11ö

A．ç-,÷B．ç-,÷

è42øè22ø

æ33öæ13ö

C．ç-,÷D．ç-,÷

è44øè24ø

7．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习·多选）已知数列an的前n项和为Sn，满足

c=an

a1=2,a3=8,an+1+an-1=2ann³2，数列bn满足b1=2,bn+1=2bn，记nbn，数列cn的前项和为Tn，则下列

说法正确的是（）

3n2+n

A．S=B．T=3×2n+1-7

n2n

C．若Tn£2025，则n的最大值为8D．满足2Sn³bn的最大n值为8

824-25···n+1N*n

．（高二下江苏南京期中多选）数列an满足an+an+1=-1nÎ，且a1=-3，数列an的前项和

为Sn．从an的前2n项中任取两项，它们之和是奇数的概率为Pn，数列Pn的前n项积为Tn，则（）

A．a10=12B．S12=-6

1n

C．P>D．T£

n2n2n-1

n+1

9．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知在数列a中，a=2，an+1=an，设数列anan+1的前n项和为S，

n1n+2n

*

若不等式n+8k³Sn对"nÎN恒成立，则k的最小值为．

¼2

10．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知设eC1，eC2，，eCn是圆心在抛物线y=x上的一系列圆，它们圆心

¼1¼

的横坐标分别记为a1，a，，a，已知a=，a>a>¼>a>0，eC(k=1，2，3，，n)都与x轴相切，且

2n1412nk

顺次逐个相邻外切．

(1)求a2；

¼

(2)求由a1，a2，，an构成的数列an的通项公式；

1

(3)求证：a2+a2+¼+a2<．

12n4

112025··N*

．（江西模拟预测）已知数列an的首项a1=2,an+1=3an+2nÎ.

(1)求数列an的通项公式；

N*

(2)若n£tan+1nÎ恒成立，求实数t的取值范围.

1224-25··N*

．（高二下北京西城阶段练习）已知等差数列an的公差为d，且满足an+an+1=4n+2nÎ.

(1)求数列an的通项公式；

4

(2)若数列bn满足bn=n=1,2,L，求数列bn的前n项和Sn；

anan+1

1

*

(3)若等比数列cn满足c1=1,c2=，设数列cn的前n项和为Tn.若对任意nÎN，不等式Tn<m恒成立，求m的

a1

取值范围.

1324-25··n2

．（高二下四川眉山期末）已知数列an的前项和为Sn=n+cn，其中c为常数，且a2=5．

(1)求c的值，并求an；

a

nn*

(2)bn=n，数列{bn}的前项和为Tn，若"nÎN，都有Tn<m恒成立，求实数m的最小值．

2

1424-25··N*

．（高二下辽宁锦州期末）已知数列an的首项a1=1,an的前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+1nÎ.

(1)证明数列an+1是等比数列；

2n

(2)令f(x)=a1x+a2x+L+anx，求函数f(x)在点x=1处的导数f¢(1)；

n+1n

(3)设bn=-2-(-1)lan，是否存在实数l，使bn+1>bn对任意正整数n都成立，若存在，求出实数l的取值范

围；若不存在，请说明理由.

15．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a5=10,S7=56.

(1)求数列an的通项公式；

a

(2)已知数列b满足b=n，

nn2n+1

（i）求数列bn的前n项和Tn；

n

（ii）若不等式(-1)nl<T+对任意nÎN*恒成立，求实数l的取值范围.

n2n

考点二数列新定义问题

1．（2025·河北·模拟预测）我们把各项均为0或1的数列称为0-1数列，0-1数列在计算机科学和信息技术领域有

*

着广泛的应用．把佩尔数列Pn（P1=0，P2=1，Pn+2=2Pn+1+Pn，nÎN）中的奇数换成0，偶数换成1，得到

0-1数列an，记an的前n项和为Sn，则S30=（）

A．20B．15C．12D．10

2．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）在数列an中，如果存在正整数T，使得am+T=am，对于任意的正整数m

均成立，那么称数列an为周期数列，其中T叫做数列an的周期.已知数列xn满足

xn+1=xn-xn-1n³2,nÎNn³2,nÎN，如果x1=1，x2=aaÎR,a¹0，当数列xn的周期最小时，该数列前

2025项的和是（）

A．674B．1348C．1350D．2024

3．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知无穷数列an是各项均为正数的严格减数列.若存在实数pÎ(0,1)，对任意

正整数n都有an+1£pan成立，则称数列an具有“性质P”；若存在实数qÎ(0,1)，对任意正实数x，数列an至多

有一项属于开区间(qx,x)，则称数列an具有“性质Q”.则数列an具有“性质P”是具有“性质Q”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

Z

4．（2025·江西·模拟预测）若数列an满足an+1=logman(m>1且mÎ)，则称数列an为“对数m底数列”.已知正

a2+a3+L+an

*4

项数列an是“对数2底数列”且a5=1，则当n…2且nÎN时，22=（）

a2g…gan-1

A．212B．216C．232D．264

5．（2025·湖南岳阳·三模·多选）已知有穷数列an的通项公式为an=n，其项数不少于4项，从an中选取

m3£m£n项组成数列bm，数列bm满足"iÎ1,2,L,m-2，bi+2-bibi+2-bi+1<0，则（）

A．数列bm是单调数列B．当n=m=7时，b7=4

m

C．当m=12时，b12-b1³6D．数列bm的个数为2Cn

6．（2025·福建泉州·模拟预测·多选）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列

*

被以下递推的方法定义：数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=a2=a3=1,an+3=an+1+an(nÎN)，则下列结论中正

确的是（）

A．a8=7B．S8=19

C．a2025是偶数D．Sn=2Sn-3+an-2+2(n³4,nÎN)

a+a++a

724-25···12Ln*

．（高二下山东日照期末多选）已知数列an，设mn=nÎN，若数列an满足：存在

n

常数c，使得对于任意两两不相等的正整数i，j，k，都有i-jmk+j-kmi+k-imj=c，则称数列an具

有性质W，下列结论正确的是（）

n

A．若an=2n-1，则数列an具有性质WB．若数列an的前n项和Sn=2-1，则数列an具有性质W

C．若数列an具有性质W，则常数c=0D．若数列an具有性质W，则an为等差数列

8．（24-25高二下·广东深圳·期末·多选）对于正整数n,j(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两

个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数jn)(以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如

j(10)=4（10与1，3，7，9均互质），则（）

A．j(20)+j(25)=28B．若p为质数，则数列jpn为等比数列

ïìnïü179

C．数列íý的前5项和等于D．$nÎN*，使得2éj3n+j4nù=j5n

n81ëû

îïj3þï

9．（24-25高二下·江西抚州·期末）斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐

波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，

¼N*

34，，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：a0=1，a1=1，an+1=an+an-1nÎ，

A=a1,a2,L,a2025.若集合B为集合A的非空子集，则集合B中所有元素之和为奇数的概率为.

n+1

1024-25··N

．（高二下北京房山期末）对于数列an，若存在M>0，使得对任意nÎ+，都有åak-ak-1<M，即

k=2

a2-a1+a3-a2+L+ak-ak-1+L+an+1-an<M，则称an为“差有界数列”.给出以下四个结论：

若等差数列an的公差d=0，则该数列为“差有界数列”；

①

若等差数列an为“差有界数列”，则其公差d=0；

②

若数列an为“差有界数列”，则an为“差有界数列”；

③

若数列an为“差有界数列”，则an为“差有界数列”.

其中正确结论的序号为④.

1124-25··N*N*

．（高二下广东揭阳期末）若数列an1£n£k,nÎ,kÎ满足anÎ0,1，则称数列an为k项0-1

数列，由所有k项0-1数列组成的集合为Mk．

N*1na

(1)若an是20项0-1数列，当且仅当n=4mmÎ,m£5时，an=0，求数列-n的所有项的和；

k

(2)已知anÎMk，bnÎMk且an与bn是两个不同的数列，定义离散型随机变量X=åai-bii=1,2,L,k其

i=1

中kÎN*，且k³3．

（ⅰ）求PX=3取到最大值时k的值；

（ⅱ）求随机变量X的分布列，并证明：当k=4050时，EX>2025．

12．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）k为实数，无穷数列xn为Ák数列时满足：x1≥x2=-k；xt-1<xt

N*N*

t=4n,nÎ；"m,nÎ,xm+nÎ{xm+xn+k,xm+xn+k+1}．

(1)若数列an前四项分别为4，-4，-4，-3，判断数列an是否有可能为Á4数列；

(2)若数列an为Á0数列，求a6的值；

*

(3)数列an前n项和为Sn，则是否存在k值，"nÎN，Sn³S10恒成立.如果有，求出所有符合要求的k值；如果

没有，请说明原因．

13．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知数列an的前n项和为Sn，若存在常数l(l>0)，使得lan³Sn+1对任意

*

nÎN都成立，则称数列an具有性质M(l)．

(1)若数列an的通项公式an=-2n+1，求证：数列an具有性质M(3)；

(2)设数列an的各项均为正数，且an具有性质M(l)．

qq

若数列an是公比为的等比数列，且l=4，求的值：

①求l的最小值．

②

1424-25··N*

．（高二下北京延庆期末）已知A：a1，a2，…，ann³2,nÎ为有穷实数数列.对于实数x，若A中

N*N

存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+jiÎ,jÎ，使得ai+ai+1+ai+2+L+ai+j=x，则称x为A的连续可表数，将所有

A的连续可表数构成的集合记作SA.

(1)设数列A：1，2，3；B：1，1，1，2.写出SA和SB.

(2)是否存在数列A，满足SA=2,3,4,5,6，若存在，求出所有数列A，若不存在，说明理由；

(3)求出所有的整数m，使得存在数列A，满足SA=m,m+1,m+2,m+3,m+4.

*

15．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知nÎN且n³2，数列A0:a1,a2,a3,L,an-1,an，定义数列A0的一个变换T，

N

在变换T下数列A0变为新的数列A1:a1-a2,a2-a3,L,an-1-an,an-a1，记TA0=A1，设Ak+1=TAk,kÎ．

n-1

(1)若A0:1,2,4,L,2，求A1,A2；

N*N*

(2)若n=100，且A0:1,2,3,L,n，记数列AkkÎ的末项为bk，求数列bkkÎ的前100项的和；

N*

(3)若n=4，数列A0不是常数列，求证：存在k0Î，使得对任意k³k0，数列Ak中至少有一项的绝对值大于

2025．

16．（24-25高二下·北京大兴·期末）若有穷数列Q:a1，a2，L，ak满足如下三个性质，则称Q为k-数列：项

①

数k³3；a1³0，am+1>amm=1,2,L,k-1；令集合M=a1,a2,L,ak，对"i，j1£i£j£k，aj-aiÎM

②③

或ai+ajÎM．

(1)判断数列0，2，4，6是否是4-数列，并说明理由；

(2)若Q:a1，a2，L，ak为k-数列，求证：对"s，$t满足ak=at+as1£s,t£k；

(3)已知Q:a1，a2，L，ak为k-数列，求证：当k³5时，Q是等差数列．

考点三数列实际应用问题

1．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此

农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100

万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（）（参考数据：1.310»13.79）

A．3937万元B．3837万元C．3737万元D．3637万元

2．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按

“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从

2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确

到个位，参考数据：1.00411»1.045，1.00412»1.049，1.00413»1.053）（）

A．2B．4C．6D．8

3．（24-25高二下·北京延庆·期中）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般

求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab个小球，第二层有a+1b+1个小

球，第三层有a+2b+2个小球……依此类推，最底层有cd个小球，共有n层，由“隙积术”可得这些小球的总个

n[(2b+d)a+(2d+b)c+(c-a)]

数为.若由小球堆成的某个长方台形垛积有8层，小球总个数是460，则该垛积的第

6

一层小球个数可以是（）

A．5B．8C．12D．19

4．（24-25高二下·广东韶关·期末）今年某企业投产高新设备，合格品全部销售完毕，预设第n个月将实现销量倍

增的目标．已知每月产量在前一个月的基础上提高10%，第1个月产品合格率为90%，前9个月合格率每月增加

1%，之后合格率保持不变．则n的值为（）（nÎN*且n£12，参考数据：1.7<1.16<1.8，1.9<1.17<2）

A．7B．8C．9D．10

5．（24-25高三上·山西·期末·多选）甲、乙、丙、丁四人玩报数游戏：第一轮，甲报数字1，乙报数字2，3，丙

报数字4，5，6，丁报数字7，8，9，10；第二轮，甲报数字11，12，13，14，15，依次循环，直到报出数字

10000，游戏结束，则（）

A．10000是乙报的

B．2024是丁报的

C．甲共报了36轮

D．甲在前四轮所报数字之和大于1600

6．（24-25高二下·辽宁大连·期中·多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷

款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平

均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另

一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息

以复利计算．下列说法正确的是（）（参考：1.00311»1.0335，1.00312»1.0366，计算结果精确到元）

A．等额本息方案，每月还款金额为10196元

B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元

C．等额本金方案，所有的利息和为2340元

D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息多

7．（24-25高二下·江西南昌·期中）小琴3月8日用分期付款