2026秋高三数学复习 统计案例：线性回归、非线性回归、相关性分析与误差分析、独立性检验(解析版)

统计案例：线性回归、非线性回归、相关性分析与误差分析、独立性检验专项训练

考点一线性回归

123-24··

．（高二下江苏镇江期末）根据一组样本数据x1,y1，x2,y2，…，x20,y20，求得经验回归方程为

y=1.8x+0.6，且平均数x=5．现发现这组样本数据中有两个样本点2.2,3.5和7.8,15.7误差较大，去除后，重

新求得的经验回归方程为y=1.6x+a，则a=（）

A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8

【答案】B

【详解】因为原经验回归方程为y=1.8x+0.6，且平均数x=5，

所以代入方程得y=1.8´5+0.6=9.6，

因为去除的两个样本点2.2,3.5和7.8,15.7，

2.2+7.83.5+15.7

由=5,=9.6，

22

所以去除两个样本点后，样本点的中心仍为5,9.6，

代入重新求得的经验回归方程y=1.6x+a，可得9.6=1.6´5+a，

解得a=1.6.

故选：B.

2．（24-25高二下·山东济宁·期末）已知由样本数据xi,yii=1,2,3,×××,10组成的一个样本，得到经验回归方程为

y=2x+0.6，且x=3，去除两个样本点-4,-6和4,8后，新得到的经验回归直线斜率不变，则新得到的经验回

归方程为（）

A．y$=2x+0.5B．y=2x+0.6C．y=2x+0.7D．y=2x+0.8

【答案】A

【详解】因为经验回归方程为yˆ=2x+0.6，x=3，

所以y=2x+0.6=6.6.

110110

原样本有10个数据点，x=åxi=3,y=åyi=6.6，

10i=110i=1

1010

则åxi=30,åyi=66.

i=1i=1

去除两个样本点-4,-6,4,8后，样本有8个数据点，且-4+4=0,8-6=2，

3066-2

所以新样本的x'==3.75,y'==8

88

因为新的经验回归直线的斜率不变，则设新的经验回归方程为yˆ=2x+b，

将3.75,8代入方程得b=8-3.75´2=0.5，

所以新的经验回归方程为yˆ=2x+0.5.

故选：A.

3．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习·多选）市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调

查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：

价格x99.51010.511

销售量y1110865

按公式计算，y与x的回归直线方程是：yˆ=-3.2x+aˆ，相关系数r=0.986，则下列说法正确的是（）

A．aˆ=-24B．变量x，y线性负相关且相关性较强

C．相应于点9.5,10的残差约为-0.4D．当x=8时，y的估计值为14.4

【答案】BD

9+9.5+10+10.5+1111+10+8+6+5

【详解】A选项，x==10，y==8，

55

将10,8代入回归直线方程得，-3.2´10+aˆ=8，解得aˆ=40，A错误；

B选项，从表可以看出，y随着x的增大而减小，又r=0.986，接近于1，

所以变量x，y线性负相关且相关性较强，B正确；

C选项，回归直线方程为yˆ=-3.2x+40，当x=9.5时，yˆ=-3.2´9.5+40=9.6，

10-9.6=0.4，故相应于点9.5,10的残差约为0.4，C错误；

D选项，当x=8时，y的估计值为yˆ=-3.2´8+40=14.4，D正确.

故选：BD

4．（24-25高二下·甘肃白银·期末·多选）某种细胞在培养正常的情况下，时刻x（单位：分）与细胞数y（单位：

个）的部分数据如下表所示：

x12345

y5295a185227

若y与x线性相关，由上表数据求得经验回归方程为yˆ=44x+10，则下列说法正确的是（）

A．y与x正相关B．a=151

C．细胞数逐分增加，平均每分钟增加10个左右D．预计10分钟后细胞数约为450个

【答案】ABD

【详解】由回归方程中x的系数大于0，可知y与x正相关，故A项正确；

1

由表中数据可知x=´(1+2+3+4+5)=3，又因为回归方程为yˆ=44x+10，

5

1

把x=3代入回归方程中，解得y=142，所以y=´52+95+a+185+227=142，解得a=151，故B项正确；

5

由经验回归方程知细胞数逐分增加，平均每分钟增加44个左右，故C项错误；

将x=10代入回归方程中，得yˆ=450，故D项正确．

故选：ABD.

5．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越

高．在研究树高y与胸径x之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）：

胸径x/cm89101112

树高y/m8.210111213.8

假设树高y与胸径x满足的经验回归方程为yˆ=bxˆ-2.2，则当胸径x=15时，树高y的预测值为m．

【答案】17.6

8+9+10+11+128.2+10+11+12+13.8

【详解】根据表中数据可求：x==10，y==11.

55

将其代入方程yˆ=bxˆ-2.2解得bˆ=1.32.

所以经验回归方程为yˆ=1.32x-2.2.

将x=15代入解得yˆ=17.6.

所以树高y的预测值为17.6m.

故答案为：17.6

6．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知变量x与y的一组观测数据如下表：

x12345

y357911

根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为y=bx+1，则b=，当x=8时，y的预测值为．

【答案】217

1+2+3+4+53+5+7+9+11

【详解】由题可知：x==3,y==7，

55

所以7=3b+1Þb=2，当x=8时，y的预测值为8´2+1=17.

故答案为：2；17

7．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期末）若关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费y(万元)有如下统计资料：

x23456

y2.23.85.56.57.0

若由资料知，y对x呈线性相关关系.

nxy-nx×y

x4,y5,5x290,5xy112.3,bˆåi=1ii,aˆybxˆ)

（参考数据：==åi=1i=åi=1ii==n22=-

åi=1xi-nx

(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程yˆ=bxˆ+aˆ；

(2)估计使用年限为10年时，试求维修费用约是多少？（精确到两位小数）

【答案】(1)yˆ=1.23x+0.08

(2)12.38万元

nxy-nx×y

ˆåi=1ii112.3-5´4´5ˆ

【详解】（1）由题中所给数据可知b=n22=2=1.23，aˆ=y-bx=5-1.23´4=0.08，所

åi=1xi-nx90-5´4

以线性回归方程为：yˆ=1.23x+0.08.

（2）当x=10时，yˆ=1.23´10+0.08=12.38(万元)，故使用年限为10年时估计维修费用约是12.38万元.

8．（24-25高二下·江西·期末）某饮品店统计了一天营业时间x（单位：小时）与饮品销量y（单位：杯）的数据

如下表：

营业时间x12345

饮品销量y1736567799

已知y与x线性相关．

(1)根据以上数据求饮品销量y关于营业时间x的回归直线方程；

(2)若平均一杯饮品的纯利润为5元，某日该饮品店计划早上9点开始营业，晚上9点结束营业，中间不休息，试

预测当日饮品的总利润能否超过1000元？

n

åxiyi-nx×y

ˆˆi=1ˆ

参考公式：回归直线方程yˆ=bx+aˆ中，b=n，aˆ=y-bx．

22

åxi-nx

i=1

419

【答案】(1)y=x-

22

(2)能，理由见详解

17+36+56+77+99

【详解】（1）根据题意，x=3,y==57，

5

55

2

åxiyi=1060，åxi=55，

i=1i=1

5

åxiyi-5x×y

ˆi=11060-5´3´5720541

b=5===，

2255-5´9102

åxi-5x

i=1

419

aˆ=y-bxˆ=57-´3=-，

22

419

所以回归直线方程为y=x-.

22

419

（2）由（1）知，回归方程为y=x-，

22

早上9点开始营业，晚上9点结束营业，共营业12小时，

4194832451

所以估计共销售´12-=杯，盈利元，

2222

所以试预测当日饮品的总利润能超过1000元.

9．（24-25高二下·河南商丘·期末）某兴趣小组研究发现昼夜温差变化的大小与患感冒人数之间具有较强的线性相

关关系，该兴趣小组在惠民医院抄录了2025年2～5月份每月5日的昼夜温差情况以及附近的居民因患感冒到惠

民医院就诊的人数，得到如下数据：

日期2月5日3月5日4月5日5月5日

昼夜温差x°C1113128

因患感冒就诊人数y（人）25292616

(1)求因患感冒到惠民医院就诊的人数y关于昼夜温差x的线性回归方程yˆ=bxˆ+aˆ；

(2)如果8月5日昼夜温差是9°C时，试预测因患感冒到惠民医院就诊的人数（精确到整数）．

n

åxiyi-nxy

ˆˆi=1ˆ

附：线性回归直线yˆ=bx+aˆ中，b=n,aˆ=y-bx；

22

åxi-nx

i=1

1830

【答案】(1)yˆ=x-

77

(2)19.

11+13+12+825+29+26+16

【详解】（1）x==11,y==24，

44

4

22222

åxi=11+13+12+8=498，

i=1

4

åxiyi=11´25+13´29+12´26+8´16=1092，

i=1

1092-4´11´2418

所以bˆ==，

498-4´1127

1830

aˆ=24-´11=-，

77

1830

所以所求线性回归方程为yˆ=x-.

77

1830

（2）x=9时，yˆ=´9-»19，

77

因此如果8月5日昼夜温差是9°C时，预测因患感冒到惠民医院就诊的人数大约为19.

10．（24-25高二下·河北·期末）某工厂的某台机器工作时，分为正常运转和非正常运转两种状态．已知该机器正常

运转时每天生产的零件数量x（单位：千个）与次品数y（单位：个）之间存在一定的线性关系．为了研究这种关

系，质量检测部门记录了该机器正常运转下某5天的生产数据，其数据如下：

生产零件数量x/千个34567

次品数y/个1012151619

(1)求次品数y关于生产零件数量x的经验回归方程yˆ=bxˆ+aˆ．

(2)根据经验，该机器正常运转的概率为0.9．该机器正常运转时，生产的零件中次品数满足第（1）问的经验回归

方程；该机器非正常运转时，次品率会提高，每生产1000个零件会出现20个次品．若某天计划用该机器生产

10000个零件，试估计这10000个零件中的次品数．（结果经四舍五入后取整数）

n

åxiyi-nxy55

ˆi=1ˆˆ2

参考公式及数据：b=n,a=y-bx,åxiyi=382,åxi=135．

22i=1i=1

åxi-nx

i=1

【答案】(1)yˆ=2.2x+3.4

(2)43

11

【详解】（1）x=(3+4+5+6+7)=5，y=(10+12+15+16+19)=14.4，

55

382-5´5´14.4

则bˆ==2.2，aˆ=y-bxˆ=14.4-2.2´5=3.4，

135-5´52

所以yˆ=2.2x+3.4．

（2）该机器正常运转时，把x=10代入yˆ=2.2x+3.4，得yˆ=25.4，

估计这10000个零件中的次品数为25.4．

该机器非正常运转时，估计这10000个零件中的次品数为200．

估计这10000个零件中的次品数为0.9´25.4+0.1´200=42.86»43．

11．（24-25高二下·湖北恩施·期末）某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间关系的课题研究，得到相应的试验

数据：

步频x（单位：步/s）0.280.290.300.310.32

步长y（单位：cm）909599m115

55

2xy=150.56

(1)若步频和步长近似为线性相关关系，当m=101时，åxi=0.451，åii，根据表中数据，求出y关于

i=1i=1

x的回归直线方程.

n

åxiyi-nxy

i=1

附：回归直线方程y=bx+a中b=n，a=y-bx

22

åxi-nx

i=1

x,y

(2)记ei=yi-yi=yi-bxi-a，其中yi为观测值，yi为预测值，ei为对应ii的残差，根据表中数据，若得出y

关于x的经验回归方程为y=600x+a，且计算出在样本点0.30,99处的残差为-1.8，求实数m的值.

【答案】(1)y=560x-68

(2)105

1515

y=y=100

【详解】（1）解：根据统计表格中的数据，可得x=åxi=0.3，åi，

5i=15i=1

5

xy-5xy

55åii150.56-5´0.3´100

2xy=150.56b=i=1==560

又由åxi=0.451，åii，可得52，

i=1i=1220.451-5´0.3

åxi-5x

i=1

则a=100-560´0.3=-68，所以回归直线方程为y=560x-68.

（2）解：由回归方程为y=600x+a，且计算出在样本点0.30,99处的残差为-1.8，

可得99-y=99-600´0.3+a=-1.8，解得a=-79.2，

1590+95+99+m+115399+m

y

因为x=åxi=0.3，==，

5i=155

399+m

可得=600´3-79.2，解得m=105.

5

12．（2025·云南丽江·三模）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了4次试验，得

到数据如下：

零件的个数x

2345

（个）

加工的时间y2.5344.5

（小时）

n

åxiyi-nxy

ˆi=1ˆ

参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式b=n，aˆ=y-bx

22

åxi-nx

i=1

(1)求y关于x的线性回归方程yˆ=bxˆ+aˆ；

(2)求各样本的残差；

(3)试预测加工10个零件需要的时间.

【答案】(1)yˆ=0.7x+1.05;

(2)各样本的残差依次为：0.05,-0.15,0.15,-0.05.

(3)8.05小时.

2+3+4+52.5+3+4+4.5

【详解】（1）x==3.5y==3.5

44

i=1

åxiyi=2´2.5+3´3+4´4+5´4.5=52.5，

4

i=1

2

åxi=4+9+16+25=54，

4

52.5-4´3.5´3.5

\bˆ==0.7，aˆ=3.5-0.7´3.5=1.05，

54-4´3.52

所求线性回归方程为yˆ=0.7x+1.05.

∴

（2）计算每个xi对应的预测值yˆ：

yˆ1=0.7´2+1.05=1.4+1.05=2.45，

yˆ2=0.7´3+1.05=2.1+1.05=3.15，

yˆ3=0.7´4+1.05=2.8+1.05=3.85，

yˆ4=0.7´5+1.05=3.5+1.05=4.55；

计算残差ei=yi-yˆ：

e1=2.5-2.45=0.05

e2=3-3.15=-0.15

e3=4-3.85=0.15

e4=4.5-4.55=-0.05

所以，各样本的残差依次为：0.05,-0.15,0.15,-0.05.

（3）当x=10时，yˆ=0.7´10+1.05=8.05，

预测加工10个零件需要8.05小时.

∴

考点二非线性回归

1．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）用模型y=lnkx+b去拟合x与y的关系，令z=ey，得到z关于x的回归直线

方程为z=3x+e，则b=（）

A．1B．2C．eD．2e

【答案】C

【详解】z=ey=elnkx+b=kx+b=3x+e，所以b=e．

故选：C．

2．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知变量x,y的关系可以用模型y=cekx拟合，设z=lny，其变换后得到一

组数据如下：

x16171819

z50344131

由上表可得线性回归方程zˆ=-5x+aˆ，则c=（）

A．－5B．e-5C．126.5D．e126.5

【答案】D

16+17+18+1950+34+41+31

【详解】由表格数据知：x==17.5,z==39,

44

由zˆ=-5x+aˆ可得到-5´17.5+aˆ=39Þaˆ=126.5；

由z=lny得，z=lny=lncekx=lnc+kx，

所以ln=acˆ=126.5，即c=e126.5.

故选：D

3．（24-25高二下·江苏南京·期末）用模型y=c×ekx拟合一组数据时，为了求出非线性回归方程，设z=lny，其变

换后得到线性回归方程为z=0.5x+1，则c等于（）

A．0.5B．eC．2D．e2

【答案】C

【详解】由回归模型y=cekx，可得lny=ln(cekx)=×kx+lnc，即z=kx+lnc，

因为变换后得到线性回归方程为z=0.5x+1，可得k=0.5,lnc=1，所以c=e.

故选：B.

4．（24-25高二下·重庆·期末）某校一个课外学习小组为研究小鸡的成活率y和温度x（单位：℃）的关系，在20

个不同的温度条件下进行实验，由实验数据xi,yii=1,2,×××,20得到下面的散点图：

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为成活率y和温度x的回归方程类型的是

（）

A．y=a+bxB．y=a+bx2C．y=a+bexD．y=a+blnx

【答案】D

【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y=a+blnx.

故选：D.

5．（24-25高二下·广东广州·期末·多选）用模型y=kelxk>0去拟合一组数据，设z=lny，将其变换后得到线性

回归方程z=2x+3，则（）

A．l=2B．l=3C．k=e2D．k=e3

【答案】AD

【详解】由y=kelxk>0两边取自然对数得：lny=lnk+lx，

由变换后得到线性回归方程z=2x+3，

则lnk=3,l=2，即k=e3，故AD正确，BC错误；

故选：AD.

6．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知随机变量x，y的五组观测数据如下表：

x12345

ye-1.1e1.6ae6.5e9

由表中数据通过模型y=emx+n得到经验回归方程为yˆ=e2.6x-3.8，则实数a的值为．

【答案】e4

【详解】令z=lny，

1+2+3+4+5lne-1.1+lne1.6+lna+lne6.5+lne916+lna

则x==3,z==，

555

因为yˆ=e2.6x-3.8，所以z=2.6x-3.8，

16+lna

所以2.6´3-3.8=，解得a=e4.

5

故答案为：e4.

7．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）已知x，y之间的一组数据：若y与x满足经验回归方程yˆ=bˆx+aˆ，则

此曲线必过点.

x14916

y12.985.017.01

【答案】(6.25,4)

【详解】由已知yˆ=bˆx+aˆ，

设t=x，则yˆ=btˆ+aˆ，

由回归直线性质可得t,y在直线yˆ=btˆ+aˆ上，

1+2+3+41+2.98+5.01+7.01

又t==2.5，y==4，

44

所以点2.5,4在直线yˆ=btˆ+aˆ上，故点(6.25,4)在曲线yˆ=bˆx+aˆ上.

故答案为：(6.25,4).

8．（24-25高二下·内蒙古通辽·阶段练习）红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与

温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x℃的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两

种模型，y=ebx+a，y=cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所

示的残差图．①②

根据收集到的数据，计算得到如下值：

8888

22

xztåxi-xåti-tåzi-zxi-xåyi-yti-t

i=1i=1i=1i=1

242.964616842268850.470308

1818

z=z2

表中zi=lnyi，åi，ti=xi，t=åti；

8j=18i=1

（1）根据残差图，比较模型、的拟合效果，模型比较合适？

①②

（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程是．附：对于一组数据w1,v1，w2,v2，…，

n

åwi-wvi-v

ˆˆi=1ˆ

wn,vn，其回归直线vˆ=aˆ+bw的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=n，aˆ=v-bw．

2

åwi-w

i=1

【答案】yˆ=e0.3x-4.3

【详解】（1）模型①更合适，理由如下：模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比

模型带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适；

（2）令②z=lny，则zˆ=aˆ+bxˆ，①①

8

åxi-xzi-z

ˆi=150.4

由所给的参考数据可得，b=8==0.3，

2168

åxi-x

i=1

所以aˆ=z-bxˆ=2.9-0.3´24=-4.3，

所以z关于x的线性回归方程为zˆ=0.3x-4.3，即lny=0.3x-4.3，

所以产卵数y关于温度x的回归方程为yˆ=e0.3x-4.3，

故答案为：；yˆ=e0.3x-4.3．

9．（24-25高二下①·广东中山·阶段练习）红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温

度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种

模型y=ebx+a，y=cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的

残差图①.②

88

121

根据收集到的数据，计算得到如下值：表中zi=lnyi；z=åzi；ti=xi；t=åti；

8i=18i=1

(1)根据残差图，比较模型、的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

(2)根据（1）中所选择的模型，求出①②y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预

报值.

（参考数据：e5.18»178，e5.46»235，e5.52»250，e5.83»340）

ˆ

附：对于一组数据w1,v1，w2,v2，…，wn,vn，其回归直线vˆ=aˆ+bw的斜率和截距的最小二乘估计分别为

n

åwi-wvi-v

ˆi=1ˆ

b=n，aˆ=v-bw.

2

åwi-w

i=1

8888

22

xztåxi-xåti-tåzi-zxi-xåyi-yti-t

i=1i=1i=1i=1

252.8964616842268848.4870308

【答案】(1)应该选择模型，理由见解析

(2)yˆ=e0.29x-4.34；250个①

【详解】（1）应该选择模型.

由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，①

且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄，所以模型的拟合精度更高，

回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型②比较合适①

（2）令z=lny，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则①zˆ=aˆ+bxˆ.

8

åzi-zxi-x

ˆi=148.48

b=8=»0.289，

2168

åxi-x

i=1

所以aˆ=z-bxˆ=2.89-0.289´25»-4.34，

则z关于x的线性回归方程为zˆ=0.29x-4.34.

于是有lny=0.29x-4.34，

所以产卵数y关于温度x的回归方程为yˆ=e0.29x-4.34

当x=34时，y=e0.29´34-4.34=e5.52»250（个）.

所以，在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个

10．（24-25高二下·辽宁·期中）已知s与t及x与y的成对数据如下，且t关于s的回归直线方程为

t=0.55s+0.287，

s0.10.20.30.40.5

t0.360.390.430.500.58

x12345

y4.14.44.85.56.3

(1)求y关于x的回归直线方程；

(2)由散点图发现可以用指数型函数模型y=abx拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到

0.01）；

(3)又得到一组新数据x=6，y=6.7，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）、（2）两个方程哪个拟合效果更

好.

参考数据：

5

1.27890.10776

måximiee1.11

i=1

1.60225.1073.5931.1141.870

15

其中mi=lnyi，m=åmi.

5i=1

参考公式：对于一组数据u1,v1，u2,v2，L，un,vn，

n

åuivi-nuv

i=1

其回归直线方程为v=a+bu，其中b=n，a=v-bu.

22

åui-nu

i=1

【答案】(1)y=0.55x+3.37

(2)yˆ=3.591.11x，

(3)指数函数模型拟合效果更好.

【详解】（1）方法一：设y关于x的回归直线方程为y=dx+c，

11

由已知x=1+2+3+4+5=3，y=4.1+4.4+4.8+5.5+6.3=5.02，

55

5

åxiyi=1´4.1+2´4.4+3´4.8+4´5.5+5´6.3=80.8，

i=1

5

222222

åxi=1+2+3+4+5=55，

i=1

n

yx-nxy

åii80.8-5´3´5.02

i=1

所以d=n=2=0.55，

2255-5´3

åxi-5x

i=1

cˆ=y-dˆx=5.02-0.55´3=3.37，

所以y关于x的回归直线方程为y=0