2026秋高三数学复习 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题(原卷版)

解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练

考点一中线问题

1．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在VABC中，已知AC=5,AB=3,BC=7,AD是BC边上的中线，则AD=（）

1519715

A．B．C．D．

4227

2．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．其中a=7,b=1,c=3，则BC

边上的中线AD的长为（）

133

A．B．C．13D．3

22

π

3．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）如图，在三角形ABC中，已知AB=2,AC=33,ÐBAC=,BC,AC边上

6

的两条中线AM,BN相交于点P，则cosÐMPN=（）

72757107

A．B．C．D．

774949

4．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）如图，在VABC中，已知AB=2，AC=4，ÐBAC=60°，BC，AC边上的两

uuuuruuur

条中线AM，BN相交于点P，则cosáPM,PNñ=（）

491373

A．B．C．D．

916143

5．（2025·广西南宁·三模·多选）VABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2bcosA=acosC+ccosA，

b=4，边BC的中线AD=7，则下列结论正确的有（）

πuuuruuur

A．A=B．AB×AC=8

3

C．VABC的面积为23D．VABC的外接圆的面积为4π

6．（24-25高一下·福建厦门·期中·多选）VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2b-ccosA=acosC，

b=2，若边BC的中线AD=3，则下列结论正确的有（）

ππ

A．A=B．A=

36

uuuruuur

C．AB×AC=2D．VABC的面积为3

7．（23-24高一下·重庆·期中）已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=8,b=9,c=7.则BC边上的中

线AM的长为.

8．（24-25高一下·山东淄博·期末）在锐角VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

2

a2-2abcosB=b-c，b=sinB，则VABC的中线BD的最大值为.

9．（2025·河北石家庄·三模）设VABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bsinC+ccB=3s3oa．

(1)求角C的大小；

3

(2)若AB=22，且sinAsinB=，求AB边上中线CT的长．

8

10．（24-25高一下·河北承德·阶段练习）在锐角VABC中，设角A，B，C的对边依次为a，b，c，满足

acosC+3asinC-b-c=0．

(1)求A的大小；

(2)若a=3，求边BC上的中线AD的取值范围．

11．（24-25高一下·福建三明·期中）记VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若c=26，且

sin2C-sin2A-sin2B=sinA×sinB.

(1)求角C的大小；

(2)若3bsinA=asin2B，求VABC的周长；

(3)求AB边上的中线CD长度的最小值.

2p

12．（2025·甘肃庆阳·三模）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2bcosB，C＝.

3

(1)求角B的大小；△

33

(2)ABC的面积为，求BC边上的中线AM的长度；

4

①△

ABC的周长为4＋23，求BC边上的中线AM的长度.

②△

13．（24-25高一下·河南南阳·期末）在锐角VABC中，设角A,B,C的对边依次为a,b,c，满足acosC+3asinC=

b+c.

(1)求A的大小；

(2)若a=23，求边BC上的中线AD的取值范围.

14．（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足

bcosC+ccosBsinC=3acosC-b.

(1)求角A的大小；

(2)已知a=19,b=3，求BC边上的中线AD的长.

考点二角平分线问题

1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）在VABC中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，ÐACB的角平分线为CM

交AB于M且a=2,b=3,c=1，则线段CM=（）

23

A．32+6B．32-6C．2D．

3

2．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）在VABC中，ÐBAC=120o，AB=3，BC=6，ÐBAC的角平分线交

BC于D，则AD=（）

533-1533+15

A．3B．C．D．

326

2π

3．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在VABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，ÐC=，CD

3

是ÐC的角平分线，且CD=1，则AB=（）

A．23B．3C．2D．1

3

4．（24-25高二上·湖北鄂州·阶段练习）在VABC中，AB=2，E是BC边中点，线段AE长为，

2

ÐBAC=120°，D是BC边上一点，AD是ÐBAC的角平分线，则AD=（）

2

A．B．1C．2D．3

3

4

5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模·多选）在VABC中，若cosÐABC=,BC=4,AB=5,ÐABC的角平分线交AC于点

5

D，则下列说法正确的是（）

A．AC=3

B．VABC的外接圆周长为5π

C．CD=1

uuuruuur

D．DB×CB=16

6．（24-25高三上·安徽芜湖·期末·多选）在VABC中，AB=2，ÐBAC=60°，ÐBCA=45°，ÐBAC的角平分线交

BC于D，则（）

A．VABC是钝角三角形B．BC=6

C．AD=2D．BD=6-3

7．（23-24高一下·江苏扬州·期中）VABC中，角A的平分线交边BC于点D,AB=3,AC=2,ÐBAC=60°，则角平

分线AD的长为．

8．（23-24高一下·山东临沂·期中）在VABC中，已知AB=3,AC=2,ÐBAC的角平分线AD=2，则ÐBAC的正弦

值为．

9．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知a，b，c分别为VABC三个内角A，B，C的对边，且

3

bcosA-asinB=0.

3

(1)求A；

(2)若b=4，c=6，设AD为VABC的角平分线，求AD的长.

(3)若a=2，且VABC的面积为3，求VABC的周长.

π-B

10．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足3acos=bsinA.

2

(1)求B；

(2)ÐABC的角平分线与AC交于点D,BD=3，求2a+c的最小值.

a-bsinC-sinB

11．（24-25高一下·浙江·期中）已知VABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且=.

csinA+sinB

(1)求tanA；

(2)若VABC的面积为3；

E为BC的中点，求VABC底边BC上中线AE长的最小值；

①求内角A的角平分线AD长的最大值.

②

12．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知VABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

a-bsinC-sinB

=．

csinA+sinB

(1)求A；

(2)若b=4,c=2，D为BC中点，求线段AD长；

(3)若该三角形面积为23，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值．

13．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知a，b，c分别为VABC角A，B，C的对边，

cosAcosB+cosC=sin2C-sin2A-sin2B.

(1)求C；

abDABCDACBS

(2)若=2，=5，点在边上，且是Ð的角平分线，求VACD.

14．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）在VABC中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3且

sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC.

(1)求A；

(2)求b+c的最大值；

(3)若A的角平分线交BC于点M，求AM的取值范围.

考点三高线问题

π3

1．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）

612

2727△2121

A．-B．C．-D．

7777

2．（24-25高一下·河北·期末）在VABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若acosB+bcosA=4，AB边上的高

为23，则角C的最大值为（）

ππ5π7π

A．B．C．D．

431212

3．（24-25高一下·山东潍坊·阶段练习·多选）记VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

2a-bcosC=csinB，b=2c，BC边上的高为2，则（）

A．tanB=2B．b=25

C．VABC的周长为3+35D．VABC的面积为5

4．（24-25高一下·福建福州·期末·多选）已知VABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AC边上的高

为h，若h=c-a，b2-a2=ac，则（）

11

A．-=1B．B=2A

sinAsinC

C．a+c=2hD．tanB=2cosA

5．（24-25高一下·海南·阶段练习）在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设BC边上的高为h，若A为

h

锐角，baB，则的最大值为．

=2sina

π1

6．（24-25高三下·山西大同·期末）在VABC中，已知A=，若AB边上的高为AB，则cosC=．

43

7．（2025·海南三亚·一模）在锐角VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且3b=2asinB.

(1)求A；

(2)若b=c+1,a=7，求边BC上的高AD的长.

8．（2025·江苏宿迁·二模）记VABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，面积为S，且S=a2sin2B．

(1)证明：tanB