2026秋高三数学复习 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题(解析版)

解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练

考点一中线问题

1．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在VABC中，已知AC=5,AB=3,BC=7,AD是BC边上的中线，则AD=（）

1519715

A．B．C．D．

4227

【答案】B

【详解】

AB2+BC2-AC29+49-2511

由余弦定理得：cosB===，

2AB×BC2´3´714

4971119

再由余弦定理得：AD2=AB2+BD2-2AB×BDcosB=9+-2´3´´=，

42144

19

则AD=，

2

故选：B

2．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．其中a=7,b=1,c=3，则BC

边上的中线AD的长为（）

133

A．B．C．13D．3

22

【答案】A

uuur1uuuruuur

【详解】由题意，AD=AB+AC，

2

uuur21uuur2uuur2uuuruuur

则AD=AB+AC+2AB×AC，

4

uuur211

则AD=c2+b2+2cbcosA=c2+b2+b2+c2-a2

44

1113

=2c2+2b2-a2=18+2-7=，

444

uuur1313

则AD=，即AD=.

22

故选：A.

π

3．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）如图，在三角形ABC中，已知AB=2,AC=33,ÐBAC=,BC,AC边上

6

的两条中线AM,BN相交于点P，则cosÐMPN=（）

72757107

A．B．C．D．

774949

【答案】D

uuuur1uuuruuuruuuruuuruuur1uuuruuur

【详解】法一：QM,N分别是BC,AC的中点，\AM=AB+AC,BN=AN-AB=AC-AB.

22

uuuuruuur

uuuuruuurAM×BN

与BN的夹角等于ÐMPN，\cosÐMPN=uuuuruuur×

QAMAMBN

uuuuruuur1uuuruuuræ1uuuruuurö1uuuruuur1uuur21uuur21uuuruuur

QAM×BN=AB+AC×çAC-AB÷=AB×AC-AB+AC-AB×AC

2è2ø4242

131110uuuur1uuur21uuuruuur1uuur29277

=-´2´33´-´4+´27=,AM=AB+AB×AC+AC=1++=，

42244424242

uuur1uuur2uuuruuuruuur2277

BN=AC-AB×AC+AB=-9+4=

442

uuuruuuur10

BN×AM4107

则cosÐMPN=uuuruuuur==；

BNAM77

´49

22

法二：以AC为x轴，过点B作与AC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则

1æ3ö

，，，æö，，

A-3,0B0,1C23,0Mç3,÷Nç,0÷

è2øè2ø

uuuuræ1öuuuræ3ö

AM=ç23,÷,BN=ç,-1÷，

è2øè2ø

uuuuruuur15uuuur17uuur37

则AM×BN=3-=,AM=12+=,BN=+1=,

224242

uuuuruuur

AM×BN107

cosÐMPN=uuuuruuur=；

AMBN49

7

法三：在VABN中，由余弦定理BN=AB2+AN2-2AB×ANcosÐBAN=，

2

27

又因为P为VABC的重心，则BP=BN=，

33

AB2+BN2-AN21

在VABN中再由余弦定理cosÐABN==-，

2AB×BN27

227

在VABP中由余弦定理AP=AB+BP-2AB×BPcosÐABP=，

3

AP2+BP2-AB2107

在VABP中，由余弦定理，则cosÐAPB==,

2AP×BP49

107

cosÐMPN=cosÐAPB=.

49

故选：D.

4．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）如图，在VABC中，已知AB=2，AC=4，ÐBAC=60°，BC，AC边上的两

uuuuruuur

条中线AM，BN相交于点P，则cosáPM,PNñ=（）

491373

A．B．C．D．

916143

【答案】C

【详解】在VABC中，AB=2,AC=4,ÐBAC=60°，由余弦定理得BC=4+16-2´2´4´cos60°=23，

则AB2+BC2=AC2，VABC为直角三角形，且ÐABC=90°，

以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：

uuuuruuur

则A(0,2),C(23,0),M(3,0),N(3,1)，AM=(3,-2),BN=(3,1)，

uuuuruuur

uuuuruuuruuuuruuurAM×BN17

所以cosáPM,PNñ=cosáAM,BNñ=uuuuruuur==.

|AM||BN|7×214

故选：C

5．（2025·广西南宁·三模·多选）VABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2bcosA=acosC+ccosA，

b=4，边BC的中线AD=7，则下列结论正确的有（）

πuuuruuur

A．A=B．AB×AC=8

3

C．VABC的面积为23D．VABC的外接圆的面积为4π

【答案】ACD

【详解】由2bcosA=acosC+ccosA，根据正弦定理得，2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，

整理得2sinBcosA=sinA+C=sinB，因为sin>0，

1π퐵

所以得cosA=，解得A=，故A正确；

23

uuur1uuuruuuruuur2uuur2uuur2uuuruuur

因为AD为边BC的中线，所以AD=AB+AC，整理得4AD=AB+AC+2ABACcosA，即

2

uuur2uuur2uuuruuur

28=AB+AC+ABAC，

又AC=b=4，解得AB=2或AB=-6（舍），

uuuruuuruuuruuur1

所以AB×AC=AB×ACcosA=2´4´=4，故B错误；

2

113

S=ABACsinA=´2´4´=23，故C正确；

VABC222

根据余弦定理，BC2=AB2+AC2-2ABACcosA，即BC2=4+16-4´2=12，解得BC=23，又由正弦定

BC23

==4=2R

理得sinA3，解得R=2，

2

所以VABC的外接圆的面积为πR2=4π，故D正确.

故选：ACD.

6．（24-25高一下·福建厦门·期中·多选）VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2b-ccosA=acosC，

b=2，若边BC的中线AD=3，则下列结论正确的有（）

ππ

A．A=B．A=

36

uuuruuur

C．AB×AC=2D．VABC的面积为3

【答案】ACD

【详解】根据正弦定理，由2b-ccosA=acosC可得2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，

即2sinBcosA=sinA+C=sinB，因为BÎ0,π，所以sinB¹0，

1π

所以cosA=，所以A=，所以A正确，B错误；

23

uuuruuuruuuruuur2uuur2uuuruuuruuur2

因为AD为边BC的中线，所以AB+AC=2AD，两边同时平方可得AB+AC+2AB×AC=4AD，

π

因为b=2，所以c2+b2+2bccos=12，即c2+2c-8=0，解得c=2或c=-4（舍去），

3

uuuruuurπ

所以AB×AC=2´2´cos=2，所以C正确；

3

113

S=bcsinA=´2´2´=3，所以D正确.

VABC222

故选：ACD

7．（23-24高一下·重庆·期中）已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=8,b=9,c=7.则BC边上的中

线AM的长为.

【答案】7

92+72-8211

【详解】在VABC中，由余弦定理得cosA==，

2´9´721

uuuur1uuuruuur

因为AM为BC边上的中线，所以AM=AB+AC，

2

uuuur21uuur2uuur2uuuruuur1æ11ö

所以AM=AB+AC+2AB×AC=ç49+81+2´7´9´÷=49，

44è21ø

uuuur

所以AM=7，即AM的长为7.

故答案为：7

8．（24-25高一下·山东淄博·期末）在锐角VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

2

a2-2abcosB=b-c，b=sinB，则VABC的中线BD的最大值为.

929

【答案】/2

1616

【详解】

222

a+b-c2

a2-2abcosB=a2-2ab=c2-b2=b-c=b2+c2-2bc，

2ab

即2b2=2bcÞb=c，即B=C，又b=sinB，所以a=sinA,c=sinC，

uuur1uuuruuur

又VABC的中线BD，所以BD=BA+BC，

2

uuur21uuuruuur21

BD=BA+BC=c2+a2+2accosB

44

1

=sin2B+sin2π-2B+2sinπ-2BsinBcosB

4

1æ1-cos2B2ö12

=ç+2sin2B÷=-4cos2B-cos2B+5

4è2ø8

2

1éæ1ö81ù

=-êçcos2B+÷-ú，

2ëêè8ø64ûú

æπö

又VABC为锐角三角形，所以2BÎç,π÷，cos2BÎ-1,0，

è2ø

1uuur92

即cos2B=-时，BD=.

8max16

92

故答案为：

16

9．（2025·河北石家庄·三模）设VABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bsinC+ccB=3s3oa．

(1)求角C的大小；

3

(2)若AB=22，且sinAsinB=，求AB边上中线CT的长．

8

π

【答案】(1)C=

3

(2)2

【详解】（1）在VABC中，由bsinC+ccB=3s3oa及正弦定理得

sinBsinC+3sinCcosB=3sinA=3sinB+C=3sinBcosC+3cosBsinC，

即sinBsinC=3sinBcosC，

π

因为B、CÎ0,π，则sinB>0，即sinC=3cosC>0，可得tanC=3，故C=.

3

abc2246

====

（2）由正弦定理可得π，

sinAsinBsinCsin3

3

c2

所以ab=sinAsinB×=4，

sin2C

在VABC中，由余弦定理可得c2=8=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=a2+b2-4，

所以，a2+b2=12，

uuur1uuuruuur

因为CT为AB边上的中线，所以CT=CB+CA，

2

uuur21uuuruuur21uuur2uuur2uuuruuur1

所以CT=CB+CA=CB+CA+2CB×CA=a2+b2+2abcosC

444

11uuur

=a2+b2+ab=´12+4=4，故CT=2，

44

因此，AB边上的中线CT的长为2.

10．（24-25高一下·河北承德·阶段练习）在锐角VABC中，设角A，B，C的对边依次为a，b，c，满足

acosC+3asinC-b-c=0．

(1)求A的大小；

(2)若a=3，求边BC上的中线AD的取值范围．

π

【答案】(1)A=；

3

æ73ù

(2)ç,ú.

è22û

【详解】（1）由题设知acosC+3asinC-b-c=0，

由正弦定理得sinA×cosC+3sinA×sinC-sinB-sinC=0，

①

又A+B+C=π，则sinB=sinA+C，

将上式代入式得sinA×cosC+3sinA×sinC-sinA+C-sinC=0，

①

即sinA×cosC+3sinA×sinC-sinA×cosC+cosA×sinC-sinC=0，

即3sinA×sinC-cosA×sinC-sinC=0，

πæππöæπö

又0<C<，sinC>0，故3sinA-cosA=1，即2çsinA×cos-cosA×sin÷=1，即2sinçA-÷=1，

2è66øè6ø

æπö1

sinçA-÷=，

è6ø2

ππ

又0<A<，得A=.

23

uuur1uuuruuur

（2）因为D为BC的中点，所以AD=AB+AC，

2

uuur21uuuruuur21uuur2uuur2uuuruuur1

两边平方得AD=AB+AC=AB+AC+2AB×AC=c2+b2+bc，

444

π

在VABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos=b2+c2-bc，即b2+c2=3+bc，

3

uuur2131

所以AD=3+2bc=+bc，

442

bca3

====2

在VABC中，由正弦定理得sinBsinCsinA3，所以b=2sinB，c=2sinC，

2

æ2πö2æπö

所以bc=4sinBsinC=4sinBsinç-B÷=23sinBcosB+2sinB=2sinç2B-÷+1，

è3øè6ø

π2ππππ

因为VABC为锐角三角形，所以0<B<且0<-B<，解得<B<，

23262

ππ5π1æπö7uuur29

所以<2B-<．所以<sinç2B-÷£1，所以<AD£，

6662è6ø44

æ73ù

所以中线AD的取值范围是ç,ú.

è22û

11．（24-25高一下·福建三明·期中）记VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若c=26，且

sin2C-sin2A-sin2B=sinA×sinB.

(1)求角C的大小；

(2)若3bsinA=asin2B，求VABC的周长；

(3)求AB边上的中线CD长度的最小值.

2π

【答案】(1)

3

(2)42+26

(3)2

【详解】（1）解：因为sin2C-sin2A-sin2B=sinA×sinB，由正弦定理得c2-a2-b2=ab，

a2+b2-c21

又由余弦定理，可得cosC==-，

2ab2

2π

因为CÎ0,π，所以C=.

3

（2）解：因为3bsinA=asin2B，由正弦定理得3sinBsinA=2sinAsinBcosB，

3

因为A,BÎ0,π，所以sinAsinB¹0，所以cosB=，

2

ππ

又因为BÎ0,π，所以B=，则A=π-B-C=，

66

cπ

由c=26，可得2R==42，所以a=b=42sin=22，

sinC6

所以VABC的周长为42+26.

2

（3）解：因为c=26，由余弦定理得26=a2+b2-2abcosC，即a2+b2=24-ab，

又因为a2+b2³2ab，当且仅当a=b时等号成立，所以24-ab³2ab，所以ab£8，

uuur1uuuruuur

因为CD为AB边上的中线，可得CD=CA+CB，

2

uuur21uuur2uuuruuuruuur211

所以CD=CA+2CA×CB+CB=b2-ab+a2=24-2ab，

444

uuur21uuur

所以CD³´24-16=2，则CD³2，

4

所以AB边上的中线CD长度的最小值为2.

2p

12．（2025·甘肃庆阳·三模）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2bcosB，C＝.

3

(1)求角B的大小；△

33

(2)ABC的面积为，求BC边上的中线AM的长度；

4

①△

ABC的周长为4＋23，求BC边上的中线AM的长度.

②△π

【答案】(1)

6

21

(2)；7

2

【详解】（①1）②c=2bcosB，则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB，

2∵π32πæπöæ2πö

sin2B=sin=，C=，BÎç0,÷，2BÎç0,÷，

323è3øè3ø

∴ππ∵∴

2B=，解得B=．

36

∴π

（2）由（1）可得A=，即a=b

6

①11333

则S=absinC=a2×=，解得a=3，

△ABC2224

则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：

2

2æaöa2π3321

b+ç÷-2×b××cos=3++3×=．

è2ø23422

π

由（1）可得A=，设VABC的外接圆半径为R，

6

②π2π

则由正弦定理可得a=b=2Rsin=R，c=2Rsin=3R，

63

则周长a+b+c=2R+3R=4+23，解得R=2，则a=2，c=23，

2π

由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：23+12-2×23×1×cos=7．

6

13．（24-25高一下·河南南阳·期末）在锐角VABC中，设角A,B,C的对边依次为a,b,c，满足acosC+3asinC=

b+c.

(1)求A的大小；

(2)若a=23，求边BC上的中线AD的取值范围.

π

【答案】(1)A=.

3

ù

(2)7,3û

【详解】（1）由题设知acosC+3asinC-b-c=0.

由正弦定理,可得sinA×cosC+3sinA×sinC-sinB-sinC=0.

①

又A+B+C=π，则sinB=sinA+C=sinA×cosC+cosA×sinC.

将上式代入式得

即sinA×cosC①+3sinA×sinC-sinA×cosC+cosA×sinC-sinC=0，

即3sinA×sinC-cosA×sinC-sinC=0.

π

又0<C<，sinC>0，故3sinA-cosA-1=0，

2

πππ1

则2(sinA×cos-cosA×sin)=1，即sin(A-)=.

6662

πππππππ

又0<A<，则-<A-<，则A-=，解得A=.

2663663

uuur1uuuruuur

（2）因为D为BC的中点，所以AD=AB+AC，

2

uuur21uuuruuur21uuur2uuur2uuuruuur1

两边平方得AD=AB+AC=AB+AC+2AB×AC=c2+b2+bc.

444

在VABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-bc，因a=23，

即b2+c2=12+bc，

uuur211

所以AD=12+2bc=3+bc.

42

bca23

====4

在VABC中，由正弦定理得sinBsinCsinA3，即得b=4sinB，c=4sinC，

2

2π2

所以bc=16sinBsinC=16sinBsin(-B)=83sinBcosB+8sinB

3

1-cos2Bπ

=43sin2B+8´=8sin(2B-)+4.

26

π2ππππ

因VABC为锐角三角形，则0<B<且0<-B<，解得<B<，

23262

ππ5π1π

则<2B-<，故<sin(2B-)£1，故8<bc£12，

66626

uuur2

则7<AD£9，

ù

故中线AD的取值范围是7,3û.

14．（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足

bcosC+ccosBsinC=3acosC-b.

(1)求角A的大小；

(2)已知a=19,b=3，求BC边上的中线AD的长.

2

【答案】(1)A=π

3

7

(2)AD=

2

【详解】（1）由正弦定理得sinBcosC+sinCcosBsinC=3sinAcosC-sinB，

又因为A+B+C=π，所以sinB+C=sinA,sinB=sinA+C=sinAcosC+sinCcosA，

所以sinAsinC=-3sinCcosA，

又因为sinC¹0，所以sinA=-3cosA,tanA=-3，

2

因为AÎ0,π，所以A=π.

3

（2）在VABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosÐBAC，

2æ1ö

代入数值得19=9+c-2×3c×ç-÷，解得c=-5（舍去）或c=2，

è2ø

uuur1uuuruuur

因为D是BC的中点，所以AD=AB+AC，

2

222

uuur1uuuruuuruuuruuur1é2æ1ö2ù7

所以AD=AB+2ABACcosÐBAC+AC=ê2+2×2×3×ç-÷+3ú=，

44ëè2øû4

uuur77

所以AD=，即BC边上的中线AD的长为.

22

考点二角平分线问题

1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）在VABC中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，ÐACB的角平分线为CM

交AB于M且a=2,b=3,c=1，则线段CM=（）

23

A．32+6B．32-6C．2D．

3

【答案】B

a2+b2-c24+3-13

【详解】由余弦定理可得：cosÐACB===，

2ab2´3´22

π

因为ÐACBÎ0,π，所以ÐACB=，

6

π

因为CM为ÐACB的角平分线，所以ÐACM=ÐBCM=，

12

πæππöππππ6-2

且sin=sinç-÷=sincos-cossin=，

12è46ø46464

SVACB=SVACM+SVBCM，

1116-216-2

则´3´2´=´3×CM×+´2×CM×，

222424

可得：CM=32-6.

故选：B.

2．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）在VABC中，ÐBAC=120o，AB=3，BC=6，ÐBAC的角平分线交

BC于D，则AD=（）

533-1533+15

A．3B．C．D．

326

【答案】C

【详解】

如图记AB=c,AC=b,BC=a，

2

由余弦定理可得，3+b2-2´3´b´cos120o=6，

15-3

因为b>0，解得：b=，

2

由SVABC=SVABD+SVACD可得，

111

´3´b´sin120o=´3´AD´sin60o+´AD´b´sin60o，

222

15-3

3´

3b15-333-15

解得：AD==2==．

3+b15-35+12

3+

2

故选：C

2π

3．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在VABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，ÐC=，CD

3

是ÐC的角平分线，且CD=1，则AB=（）

A．23B．3C．2D．1

【答案】A

【详解】在△BCD中，BD2=BC2+CD2-2BC×CDcosÐBCD，

π

即BD2=4+1-2´2´1´cos=3，BD=3，

3

BDBC323

因为CD是ÐACB的平分线，所以=,即=，所以DA=b

DAACDAb2

在△DCA中DA2=CD2+CA2-2CD×CA×cosÐDCA，

3π

即b2=1+b2-2bcos,即b2-4b+4=0，解得b=2.

43

2p

在VABC中，AB2=CA2+CB2-2CA×CBcosÐACB=22+22-2´2´2cos=12，

3

所以AB=23

故选：A.

3

4．（24-25高二上·湖北鄂州·阶段练习）在VABC中，AB=2，E是BC边中点，线段AE长为，

2

ÐBAC=120°，D是BC边上一点，AD是ÐBAC的角平分线，则AD=（）

2

A．B．1C．2D．3

3

【答案】A

uuur1uuuruuur

【详解】因为E是