2026秋高三数学复习 解三角形：边角互化问题、周长问题、面积问题、解多三角形问题(原卷版)

解三角形：边角互化问题、周长问题、面积问题、解多三角形问题专项训练

考点目录

边角互化问题周长与周长最值问题

面积与面积最值问题解多三角形问题

考点一边角互化问题

b2+c2-a2

1．（2025·辽宁大连·一模）在VABC中，已知2c-a=，下列说法正确的是（）

c

π

A．B=

6

93

B．若b=3，则VABC面积最大值为

4

C．记VABC的内切圆半径为R，设R=fb，则fb在bÎ1,+¥上单调递增

D．若sin2A+cos2B>1，若a和c的长度一定，则有两个满足条件的不同三角形

2．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知

a-ccosB=b-ccosA，且c2=a2+b2-ab，则VABC的形状为（）

A．钝角三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形

3．（2025·四川巴中·模拟预测）在VABC中，若c+ccosA=3asinA+B，则A=（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

4．（25-26高三上·重庆·阶段练习）在VABC中，则下列条件不是A>B的充要条件的为（）

A．sinA>sinBB．cosA<cosB

C．cos2A<cos2BD．sin2A>sin2B

5．（25-26高三上·江苏·阶段练习·多选）记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知

æπöæπö

cosAsinçB+÷=sinçC-÷，a+c=2，则（）

è6øè6ø

A．cosC+cosAcosB=3sinAcosB

3

B．VABC的面积的最大值为

2

8

C．b的一个可能的取值为

5

4

D．b的一个可能的取值为

5

6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试·多选）VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且

cosC2a-c

=，下列说法正确的是（）

cosBb

π

A．B=

3

B．若b=2且VABC存在且唯一，则0<a£2或a=22

C．若sinC=2sinA，则b=a

D．若b=2，则VABC面积最大值为1+2

7．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习·多选）在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

2acosA+ccosB+bcosC=0，点D在线段BC上，且AD=4，则（）

2π

A．角A的大小为

3

111

B．若AD为ÐBAC的角平分线，则+=

bc4

uuuruuuræ43ö

C．若AD×AC=0，则线段BD的长度的取值范围为ç,+¥÷

è3ø

uuuruuur

D．若AD×BC=0，则VABC的周长的最大值为16+83

8．（25-26高三上·江苏南京·开学考试·多选）已知VABC中，c=1，若sinC=acosB+bcosA，

1

cosAcosBsinC=，则（）

4

6

A．sinC=sin2A+sin2BB．sinAsinB=

8

61

C．AC+BC=D．VABC的面积是

28

9．（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）设VABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinA=5sinB，

则a=.

10．（25-26高二上·广西来宾·阶段练习）在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

3acosB=bsinA．则B的值为．

3

11．（2025·河北衡水·模拟预测）在VABC中，若AC=BC，sinA=2cosB，则cosA=.

2

12．（25-26高二上·四川绵阳·开学考试）在VABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，O为VABC的外

23uuuruuuruuur

心，且有AB+BC=AC，sinC(cosA-3)+cosAsinA=0，若AO=xAB+yAC，x,yÎR，则x-2y=．

3

13．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）记VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知

sinA+sinB+sinCc-a+b=3csinB．

(1)若a=23，求VABC外接圆的半径；

uuuruuur

(2)若b=3,c=2,BD=2DC，求线段AD的长．

14．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且

2bcosA+ccosA+acosC=0．

(1)求A的大小；

uuuruuur

(2)若ABgAC=-5,b+c=7，求a的值．

15．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b=c+2acosC.

(1)求A；

33

(2)若VABC的周长为9，面积为，求a.

4

π26

16．（25-26高三上·上海·阶段练习）在VABC中，a=3,A=,b2=asinB.

33

(1)求sinB；

(2)求c以及SVABC的值.

考点二周长与周长最值问题

1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知VABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知

π

B=,c=b1+2cosA,a=1，则VABC的周长为（）

6

2+34+3

A．1+3B．C．3+3D．

24

2．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）在VABC中，已知AC=4，AB=2，VABC的周长为9，则sinB=（）

131515

A．-B．C．D．-

4444

3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=7，VABC的面积为

63，且acosC+3asinC-b-c=0，则VABC的周长为（）

A．15B．16C．18D．20

1

4．（25-26高二上·浙江·开学考试）设VABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，其面积S=sinAsinBsinC，

8

若sinA+sinB+sinC=2，则VABC的周长为（）

13

A．1B．C．2D．

24

π

5．（2025·河南·模拟预测）在VABC中，A=,BC=27,VABC的面积为63，则VABC的周长为.

3

6．（2025·上海杨浦·模拟预测）在VABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边.已知VABC是一个面积为5的锐角三

角形，且a=2,b=3，则VABC的周长为.

7．（24-25高一下·黑龙江·阶段练习）VABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

9

sinCsinA-B=sinBsinC-A,a=3,cosA=，则VABC的周长为．

46

8．（25-26高三上·湖北荆州·阶段练习）记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知

a2+b2-c2=ab,C+B=3A.

(1)求B;

(2)C的角平分线交AB于点D，若CD=2，求△BCD的周长．

9．（25-26高二上·安徽蚌埠·开学考试）如图，在四边形ABCD中，已知VABC的面积为

3222

S=(AC-BC-AB)，记VACD的面积为S2.

14

(1)求ÐABC的大小；

(2)若VABC外接圆半径为3，求VABC的周长最大值.

2ππS1

(3)设ÐBCD=,ÐCAD=，若CD=3BC，且满足=l成立，求常数l的值.

36S2

10．（2023·贵州贵阳·模拟预测）记VABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

a2+b2-c2acosB+bcosA=abc．

(1)求C；

(2)若VABC为锐角三角形，c=2，求VABC周长范围．

11．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知a,b,c分别为VABC三个内角A,B,C的对边，且

acosC+3asinC-b-c=0.

(1)证明：B,A,C成等差数列；

(2)若a=2，VABC的面积为3，求VABC的周长.

12．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且VABC的周长为

3bsinC

sinB+sinC-sinA

(1)求角A；

(2)若a=3，求VABC面积的最大值．

1

13．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知VABC的内角A,B,C满足sin2B+sinA+B-C=+sinA-B-C，且

2

VABC的面积大小为4.

(1)求边BC长的最大值；

(2)当边BC长取到最大值时，求VABC的周长.

14．（2025·江苏宿迁·三模）已知a,b,c分别为VABC三个内角A,B,C的对边，且3sin(A+C)-B=1cos.

(1)求B；

uuuruuur

(2)若b=4，VABC的面积为43，D为AC边上一点，满足AC=3AD，

求VABC的周长；

①求BD的长.

②

考点三面积与面积最值问题

32

1．（2025·山西·三模）在VABC中，A=45o，BC=10，AB=AC，则VABC的面积是（）

2

33

A．B．C．3D．12

42

2．（24-25高一下·北京通州·期中）在VABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=2，

sinA=3cosBsinC，则VABC面积的最大值为（）

35113

A．B．C．D．

88164

3．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tanB=2tanC，

b=2，则ABC面积的最大值为（）△

3133

A．△B．C．D．

4222

4．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在VABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若2bccosA=a2且

bc=3，则VABC的面积的最大值为（）

33333

A．B．C．D．

2444

5．（24-25高一下·江苏·阶段练习）在VABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=3sinC，

B=60°，b=2，则VABC的面积是.

6．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）若VABC的两条中线长均为2，则VABC面积的最大值为．

a-csinA-sinB

7．（2025·湖南长沙·模拟预测）在VABC中，记角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知=，且

a+bsinC

a+c=4，则VABC面积的最大值为．

8．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=2，且

2+bsinA-sinB=c-bsinC，则VABC面积的最大值为．

9．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）已知VABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且

3a-b3c-4b

=．

sinCsinA+sinB

(1)求sinA；

13

(2)若b+c=，a=6，求VABC的面积S．

2

10．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+ac=a2+c2，

sinA=2sinC.

(1)求角B的大小；

(2)若b=23，求VABC的面积.

11．（25-26高三上·云南保山·开学考试）已知锐角VABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且

asinA+csinC=b(2sinA+sinB)．

(1)证明：sinC=tanB；

(2)若a=2，求VABC的面积S的取值范围．

12．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，VABC的面积为S，已知

4S=3a2+b2-c2.

(1)求C；

(2)若c=4，求VABC的面积的最大值.

13．（25-26高二上·河南·开学考试）已知VABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，B是钝角，且

3a=2bsinA．

(1)求B的大小；

153

(2)若VABC的面积为，且b=7，求a+c的值；

4

(3)若b=6，求VABC面积的最大值．

14．（25-26高二上·甘肃天水·开学考试）在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ÐA为钝角，

3

a=7,sin2B=bcosB．

7

(1)求ÐA；

13

(2)已知cosB=，求VABC的面积．

14

15．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且VABC的周长为

3bsinC

sinB+sinC-sinA

(1)求角A；

(2)若a=3，求VABC面积的最大值．

1

16．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）设fx=cos2x-sin2x+，xÎ0,π，设VABC为锐角三角形，角A所

2

对的边a=19

(1)求函数y=fx的单调增区间；

C

(2)若fA=0，求：VABC的值；

sinA+sinB+sinC

(3)在（2）的条件下，若角B所对的边b=5，求VABC的面积．

考点四解多三角形问题

1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）在VABC中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，ÐACB的角平分线为CM

交AB于M且a=2,b=3,c=1，则线段CM=（）

23

A．32+6B．32-6C．2D．

3

2．（25-26高三上·湖南·开学考试）记VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinC=3ccosB，

a-c=1，且边b上的高为1，则b=（）

323

A．B．1C．D．3

33

1

3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在VABC中，AB=4，AC=6，cosB=.若VABC的角平分线AD交边BC于

8

点D，则AD=（）

12839

A．B．C．D．32

555

4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

π

C=,c=4，点D为AB的中点，则中线CD的取值范围是（）

3

4322143221

A．(2,23]B．(,23]C．(,23]D．(,]

3333

5．（25-26高二上·陕西西安·开学考试）在VABC中，BC=2，BC边上的中线AD=2，则下列说法错误的有

（）

uuuruuur

A．AB×AC为定值B．AC2+AB2=10

4

C．<cosÐBAC<1D．ÐBAD的最大值为30°

5

6．（24-25高一下·江苏宿迁·期中·多选）中国古代杰出数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜

幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以

1c2+a2-b2

上文字写成公式，即S=c2a2-()2（S为三角形的面积，a,b,c为三角形的三边）．现有VABC满足

22

sinA:sinB:sinC=3:5:7，且VABC的面积153，则（）

1

A．VABC的最长边长为14B．VABC的三个内角满足A+B=C

2

C．VABC的三条高的和为83D．VABC的中线CD的长为19

7．（24-25高一下·河南南阳·期中·多选）在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，两条中线AE，

sinA-sinB+sinCsinB

CF相交于点P（如图），已知a=5，b=2，=，则下列结论正确的是（）

sinAsinB+sinC-sinA

uuur39153

A．CF=B．S=

2四边形ACEF8

uuuruuur291

C．AE×CF=3D．cosÐEPF=

91

uuuruuur

8．（24-25高一下·浙江宁波·期中·多选）在VABC中，AC=25,tanA=2，向量AC在向量AB上的投影向量为

1uuur

AB，则（）

3

310

A．边BC上的高为32B．sinC=

10

uuuruuur

C．边AB上的中线为17D．AC×BC=-8

9．（24-25高一下·河北邯郸·期中）在VABC中，AD为边BC上的中线，且BC=23AD，则角A的最小值

为．

7

10．（2025·湖北孝感·三模）在ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC=．

2

△

4

11．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知VABC面积为1，边AC,AB上的中线为BD,CE，且BD=CE，则边AC的

3

最小值为．

12．（25-26高二上·安徽蚌埠·开学考试）如图，在四边形ABCD中，已知VABC的面积为

3222

S=(AC-BC-AB)，记VACD的面积为S2.

14

(1)求ÐABC的大小；

(2)若VABC外接圆半径为3，求VABC的周长最大值.

2ππS1

(3)设ÐBCD=,ÐCAD=，若CD=3BC，且满足=l成立，求常数l的值.

36S2

13．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）在VABC中，角A,B,C的对边为a，b，c，sinA+cosA=22sinB，且

a2+c2-b2=3ac.

(1)求A；

(2)若VABC的周长为3+3+2，求AB边上的高.

14．（25-26高三上·山