高考数学一轮复习（培优版） 第七章　必刷小题13　立体几何

必刷小题13立体几何[分值：73分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.下列说法错误的是()A.棱柱的侧棱长一定相等B.侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C.圆柱的母线长与高相等D.底面是正三角形的棱锥是正棱锥答案D解析选项A，由棱柱的定义知，棱柱的侧棱长一定相等，故选项A说法正确；选项B，由直棱柱的定义知，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故选项B说法正确；选项C，由圆柱的定义知，圆柱的母线长与高相等，故选项C说法正确；选项D，若一个棱锥的底面为正三角形，但其顶点在底面的投影不在正三角形的中心处，则该棱锥不是正棱锥，故选项D说法错误.2.(2025·衡水模拟)已知直线a，b，平面α，且b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案D解析由b⊂α，a∥b，可得a∥α或a⊂α，所以“a∥b”不是“a∥α”的充分条件，由b⊂α，a∥α，可得a∥b或a与b是异面直线，所以“a∥b”不是“a∥α”的必要条件，所以“a∥b”是“a∥α”的既不充分也不必要条件.3.“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具，升装满后沿升口刮平，称为“平升”.已知某种升的形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15cm和12cm，高为10cm(厚度不计)，则该升的1平升约为()(精确到0.1L，1L=1000cm3)A.1.0L B.1.8L C.2.4L D.3.6L答案B解析由题设，上底面面积为S1=152=225(cm2)，下底面面积为S2=122=144(cm2)，所以1平升为13×10×(225+225×144+144)=1830(cm3)，约为1.84.(2025·定西模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AB=AA1=2，∠BAC=120°，D是棱B1C1的中点，则异面直线AD与B1C所成角的余弦值为()A.1010 B.31010 C.5答案C解析如图所示，连接A1D，取C1C的中点E，连接AE，DE，又因为D是B1C1的中点，所以B1C∥DE，所以∠ADE(或其补角)为异面直线AD与B1C所成的角.因为AC=AB=AA1=2，∠BAC=120°，所以BC=23，B1C=BC2+BB12=4，A1D=1，AD所以cos∠ADE=5+4-52×所以异面直线AD与B1C所成角的余弦值为555.(2025·南通模拟)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AD，A1D1的中点，下列各组直线中属于异面直线的是()A.AB和C1D1 B.EF和CC1C.AC和A1C1 D.AC和FC1答案D解析由正四棱台的结构特征有AB∥A1B1∥C1D1，故A不符合题意；由棱台的性质知，四条侧棱的延长线交于一点，记为P，又E，F分别为AD，A1D1的中点，则FE的延长线也过P点，故B不符合题意；由棱台结构易知AC∥平面A1B1C1D1，由AC⊂平面PA1C1，平面A1B1C1D1∩平面PA1C1=A1C1，则AC∥A1C1，故C不符合题意；由FC1∩平面PA1C1=C1，又AC∥A1C1且都在平面PA1C1内，C1∉AC，则AC和FC1为异面直线，故D符合题意.6.(2026·上海模拟)在直二面角α-l-β中，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都相交且与l不垂直，则()A.a不和b垂直，a也不和b平行B.a可能和b垂直，也可能a∥bC.a不和b垂直，但可能a∥bD.a不和b平行，但可能a⊥b答案A解析如图，在l上任取一点P，过P分别在α，β内作a'∥a，b'∥b，在a'上任取一点A，过A作AC⊥l，垂足为C，则AC⊥β，所以AC⊥b'，过C作CB⊥b'交b'于B，连接AB，又因为AC⊥b'，AC∩CB=C，AC，CB⊂平面ACB，所以b'⊥平面ACB，所以AB⊥b'，所以△APB为直角三角形，故∠APB为锐角，所以a不和b垂直，a也不和b平行.7.(2025·福州模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2，平面A1BC⊥平面ABB1A1，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为46，则A1C与平面ABB1A1所成的角为(A.30° B.45° C.60° D.90°答案C解析过点A作AE⊥A1B，垂足为E，因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B，AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AE⊥BC，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，因为AA1∩AE=A，AA1，AE⊂平面ABB1A1，所以BC⊥平面ABB1A1，而AB⊂平面ABB1A1，则∠CA1B为直线A1C与平面ABB1A1所成的角，且BC⊥AB，因为AA1=AB=2，且直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为46所以V直三棱柱ABC-A1B1C1=S△ABC·AA1=12×而A1B=22，则tan∠CA1B=BCA1B=2622=3则A1C与平面ABB1A1所成的角为60°.8.(2025·石家庄模拟)在三棱锥A-BCD中，AB=AC=2，BC=CD=2，∠BCD=120°，若三棱锥A-BCD外接球的表面积为20π，则二面角A-BC-D的大小为(A.60°或120° B.30°或150°C.60° D.45°答案A解析设△ABC，△BCD的外接圆圆心分别为O1，O2，外接圆半径分别为r1，r2，三棱锥外接球的半径为R，过O1，O2分别作平面ABC，平面BCD的垂线，交点即为三棱锥A-BCD的外接球球心O，因为AB=AC=2，BC=2所以AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°，所以O1在BC的中点处，r1=BC2=1因为BC=CD=2，∠BCD=120°，所以∠CBD=30°，CDsin∠CBD=2sin30°=2r2⇒r2=2，且O2所以O1O2=O2B2-三棱锥A-BCD外接球的表面积为S=4πR2=20π⇒R=5OO1=OB2-O1B2=R2-1=2又OO2⊥平面BCD，O1O2⊂平面BCD，所以OO2⊥O1O2，则sin∠OO1O2=OO2所以∠OO1O2=30°，又OO1⊥平面ABC，BC，AO1⊂平面ABC，所以OO1⊥BC，OO1⊥AO1，又AO1⊥BC，O1O2⊥BC，所以AO1，OO1，O1O2共面，所以∠AO1O2就是二面角A-BC-D的平面角，∠AO1O2=90°+30°=120°或∠AO1O2=90°-30°=60°.二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.(2026·长沙模拟)在空间中，下列命题错误的是()A.若三条直线两两相交，则这三条直线一定共面B.若平面α与平面β平行，直线l在α内，直线m在β内，则l∥mC.若直线A1B1⊥A2B2，B1C1⊥B2C2，则∠A1B1C1与∠A2B2C2相等或互补D.若三个平面两两相交得三条交线，则这三条交线共点或互相平行答案ABC解析若三条直线交于一点，则这三条直线可能不共面，故A错误；分别在两平行平面内的直线可能是异面直线，故B错误；设α∩β=l，A1B1⊥α，B1C1⊥β，B2∈l，A2B2⊂α，B2C2⊂β，此时符合条件，但∠A2B2C2的大小有无数个不同的取值，故C错误；若三个平面两两相交得三条交线，则这三条交线共点或互相平行，故D正确.10.(2026·曲靖模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=AA1，A1B∩AB1=O，D为AC的中点，则下列结论正确的是()A.OD∥平面BCC1B1B.平面ABB1A1⊥平面A1BCC.BD⊥平面ACC1A1D.AB1⊥A1C答案ABD解析在直三棱柱ABC-A1B1C1中，由A1B∩AB1=O，得O为AB1的中点，D为AC的中点，则OD∥B1C，又OD⊄平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，则OD∥平面BCC1B1，故A正确；由BB1⊥BC，AB⊥BC，AB∩BB1=B，AB，BB1⊂平面ABB1A1，得BC⊥平面ABB1A1，又BC⊂平面A1BC，则平面ABB1A1⊥平面A1BC，故B正确；当AB≠BC时，BD与AC不垂直，此时BD与平面ACC1A1不垂直，故C错误；因为AB=AA1，所以四边形ABB1A1为正方形，则A1B⊥AB1，由BC⊥平面ABB1A1，得BC⊥AB1，而A1B∩BC=B，A1B，BC⊂平面A1BC，则AB1⊥平面A1BC，又A1C⊂平面A1BC，因此AB1⊥A1C，故D正确.11.(2025·武汉模拟)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1上一点(不包含端点)，平面MBD1与棱CC1交于点N.则下列说法正确的是()A.四边形MBND1是平行四边形B.四边形MBND1可能是正方形C.任意平面MBND1都与平面ACB1垂直D.对任意M点，一定存在过M的直线l，使l与直线C1D1和BC都相交答案ACD解析因为平面MBD1与棱CC1交于点N，所以M，B，D1，N四点共面，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面BCC1B1∥平面ADD1A1，又平面MBD1∩平面ADD1A1=MD1，平面MBD1∩平面BCC1B1=BN，所以MD1∥BN，同理可得ND1∥MB，故四边形MBND1一定是平行四边形，故A正确；在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1⊥平面ABB1A1，因为BM⊂平面ABB1A1，所以A1D1⊥BM，若四边形MBND1是正方形，有MD1⊥BM，由A1，M不重合，则MD1⊥BM与A1D1⊥BM矛盾，故B错误；因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC，又BD⊥AC，BB1∩BD=B，BB1，BD⊂平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D，又D1B⊂平面BB1D1D，所以D1B⊥AC，同理，D1B⊥AB1，又AC，AB1⊂平面ACB1，AC∩AB1=A，所以D1B⊥平面ACB1，因为D1B⊂平面MBND1，所以平面MBND1⊥平面ACB1，故C正确；设平面C1D1M与BB1交于点R，延长C1R交CB的延长线于点P，则PM⊂平面C1D1M，又C1D1⊂平面C1D1M，点M不与A，A1重合，所以在平面C1D1M内，直线PM与C1D1必相交于一点Q，故直线PM满足要求，故D正确.三、填空题(每小题5分，共15分)12.(2025·石家庄模拟)如图，利用斜二测画法画出的四边形ABCD的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'=6，C'D'=3，则BD=.

答案36解析如图1，根据斜二测画法的性质可得∠D'A'B'=45°，作D'F⊥A'B'，垂足为F，作C'G⊥A'B'，垂足为G，则△D'FA'和△C'GB'是两个全等的等腰直角三角形，从而A'F=B'G=A'B故A'D'=32画出原四边形ABCD，如图2，则AD=2A'D'=32，AB=6，且AD⊥AB故BD=62+(3213.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=2，P是BC1上一动点，则A1P+PC的最小值是.答案52解析∵A1P在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将两个平面铺平后转化成平面上的问题解决，如图，则A1P+PC的最小值就是平面四边形A1BCC1内A1C的长，∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1，∴CC1⊥A1C1，∵∠ACB=90°，∴∠A1C1B1=90°，即A1C1⊥B1C1，∵CC1∩B1C1=C1，CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，∴A1C1⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴A1C1⊥BC1，∵BC=CC1=2，∴∠CC1B=45°在△A1CC1中，A1C1=6，CC1=2，∠A1C1C=90°+45°=135°∴由余弦定理可得A1C=36+2-2×6×故A1P+PC的最小值为52.14.如图1，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径AB所在直线与桌面所成的角为α(图2).要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，则角α的最大值为.

答案π解析根据题意，画出图形，如图所示，过点C作CF∥BP，交AD所在的直线于点F，过点F作FQ⊥BC