《高等数学》课程标准（56+56=112学时）

———《高等数学》课程标准（本科）一、课程基本信息课程名称高等数学1，高等数学2课程代码05010211143，05010211144开课部门公共课教学部适用专业各专业课程类别公共基础课课程性质R必修£选修课程学分7课程学时112学时其中：理论112学时，实践0学时课程类型R理论课£理实一体课£纯实践课参与制（修）订企业制（修）订人制（修）订日期审定人审定日期二、课程定位本课程是软件工程技术专业等开设的公共基础课程。在中学数学等前导课程基础上，衔接数据结构与算法、程序设计基础、生成式人工智能技术及应用等后续课程，旨在培养学生理解和掌握函数、极限与连续、一元函数微分学与积分学、多元函数微积分、常微分方程与级数等基本理论，着重培养抽象思维能力、逻辑推理能力、数学建模与计算能力等方面的技能，在专业人才培养体系中承担着基础性作用，为学生后续学习、实习就业及职业发展奠定坚实基础。三、课程设计思路本课程以软件工程技术专业人才培养方案和信息技术领域对数学基础的核心要求为依据，遵循能力导向与以学生为中心的教学原则，围绕计算机科学的技术前沿与软件开发中的实际建模需求，科学设置并优化课程内容。在保留经典数学理论系统性的同时，引入与编程相关的应用实例，突出内容的先进性和实用性，注重学生数学建模能力与计算思维素养的培养。教学采用案例教学与线上线下融合的多样化模式，通过精选的软件工程相关案例（如利用导数优化算法效率、用积分计算图形面积、用级数进行数据近似等），将抽象的数学概念具体化，强调理论联系实际与思政元素融入（如通过介绍我国数学家的贡献培养学生的科学精神和民族自豪感，通过极限思想引导学生理解量变与质变的辩证关系）。课程评价采用过程性考核与终结性考核相结合的多元评价方式，加大平时作业、课堂研讨在总评中的比重，着重考核学生运用数学工具解决实际问题的能力、逻辑推理能力及创新思维能力，以提升学生的专业理论素养、算法创新潜力及工程实践能力，为适应软件工程师、算法工程师等岗位和信息技术行业的快速发展需求奠定坚实的数理基础。四、课程目标本课程面向软件工程技术专业职业本科学生，根据信息技术行业快速发展和软件工程师、算法工程师等岗位的核心能力需求，系统讲授函数、极限、微积分、微分方程与级数等核心内容，培养学生扎实掌握数学分析理论与方法，具备运用数学工具进行逻辑推理、模型构建和算法优化的能力，为毕业后胜任本领域相关技术岗位及未来职业发展奠定坚实的数理基础。知识目标1.理解极限、连续、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程、向量与空间解析几何、多元函数偏导数与全微分、重积分、曲线与曲面积分、无穷级数等核心概念的内涵与背景。2.掌握一元函数极限、导数与微分、不定积分与定积分的核心计算方法。3.掌握向量代数（数量积与向量积）及空间几何（平面与直线方程）的基本运算与应用。4.掌握多元函数偏导数、全微分及二重积分的计算方法，并能够计算简单的三重积分、曲线积分与曲面积分。5.掌握几类常见微分方程（如一阶线性、可分离变量等）的解法。6.掌握常数项级数与幂级数收敛性的基本判别法。7.理清核心概念间的逻辑关系，包括极限与连续、连续与可导、可导与可微、微分与积分、不定积分与定积分、偏导数与全微分之间的联系与区别。8.了解空间曲面与曲线的表示，以及函数展开成幂级数和傅里叶级数的基本思想。（二）技能目标1.运用极限的思想分析与解决工程中的瞬时变化率、无穷逼近等问题。2.熟练利用导数工具判断函数的单调性、极值、凹凸性与拐点，并据此描绘函数图形。3.求解一元函数及简单多元函数在特定区间或区域上的最大值与最小值。4.应用定积分的“微元法”思想，计算几何体的面积、体积及物理中的功、压力等实际量。5.运用偏导数与重积分（二重、三重积分）解决空间几何、质量计算及物理场分析等实际问题。6.建立并求解简单的常微分方程模型，以描述和解决工程与科学中的动态过程问题。7.运用无穷级数的知识进行数值逼近、函数展开及误差估计，解决相关的近似计算问题。（三）素质目标思政目标1.树立辩证唯物主义世界观与科技报国使命感。2.培育实事求是的科学精神与独立思考品格。职业素质目标1.养成严谨细致、追求卓越的工程师习惯。2.提升抽象建模、逻辑推理与运算优化能力。3.强化空间想象与团队协作沟通水平。4.形成持续学习、勇于创新的科学态度。五、课程内容和教学安排表1课程内容和教学安排单元名称任务（项目/节）知识、技能和素养内容与要求参考学时理论实践合计单元1极限与连续1.1函数和数列的极限知识内容与要求：1.理解数列极限（ε-N语言）和函数极限（ε-δ语言）的数学定义与直观思想。2.掌握极限的四则运算法则、夹逼定理以及两个重要极限。技能内容与要求：1.能够运用极限的运算法则和性质，准确计算数列与函数的极限。2.能够判断极限的存在性，并运用夹逼定理求解特定类型的极限问题。素养内容与要求：1.通过“无限逼近”的极限思想，培养严谨的逻辑思维和辩证唯物主义世界观。2.在极限概念的探索和计算训练中，培养精益求精、一丝不苟的科学精神。6061.2函数的连续性知识内容与要求：1.理解函数在一点处连续与在区间上连续的定义，掌握连续函数的四则运算法则。2.理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值性、介值性）。技能内容与要求：1.能够判断函数的连续性，并确定间断点及其类型。2.能够运用闭区间上连续函数的性质证明简单命题并解决相关问题。素养内容与要求：1.通过理解局部连续与整体性质的关联，培养普遍联系与相互制约的辩证思维。2.在运用严格定义和定理进行推理证明的过程中，培养严谨的逻辑思维和科学精神。606单元2导数及其应用2.1导数与微分知识内容与要求：1.理解导数的定义及其几何意义，掌握可导与连续的关系。2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则与复合函数求导法则。2.技能内容与要求：（无技能自行删去）1.能熟练运用求导法则计算函数的导数。素养内容与要求：1.通过导数概念中“瞬时变化率”的精确刻画，培养从近似到精确、从量变到质变的辩证思维。2.在运用导数法则解决实际问题的过程中，培养严谨、逻辑清晰的专业素养。8082.2微分中值定理与导数的应用知识内容与要求：1.理解拉格朗日中值定理及其几何意义，掌握洛必达法则求未定式极限的条件和方法。2.掌握利用一阶导数判断函数单调性、求极值与最值，以及利用二阶导数判断函数图形凹向与拐点的方法。技能内容与要求：1.能够熟练运用洛必达法则计算多种未定式的极限。2.能够综合运用一阶、二阶导数，完整分析函数的性态（包括单调性、极值、凹凸性、拐点），并描绘函数的图形。素养内容与要求：1.在利用导数工具系统性解决实际问题的过程中，培养严谨、全面的科学分析习惯和数形结合的应用意识。10010单元3不定积分不定积分的概念与性质、不定积分的积分法。知识内容与要求：1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质。2.掌握不定积分的基本公式，以及换元积分法与分部积分法等基本积分方法。技能内容与要求：1.能够熟练运用基本积分公式计算简单函数的不定积分。2.能够灵活运用换元积分法和分部积分法求解不同类型的不定积分。素养内容与要求：1.通过理解不定积分作为导数逆运算的辩证关系，培养逆向思维和逻辑推理能力。2.在积分运算的严格训练中，培养严谨细致、不畏困难的学习态度和科学精神。808单元4定积分及其应用4.1定积分的概念与性质、变上限定积分与微积分基本公式、定积分的积分法。知识内容与要求：1.理解定积分的定义和几何意义，掌握其基本性质。2.理解变上限定积分函数的概念，掌握微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）。3.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。技能内容与要求：1.能利用微积分基本公式计算定积分。2.能运用换元法和分部法计算定积分，并理解其与不定积分方法的区别。素养内容与要求：培养数学建模意识和理论联系实际的能力。6064.2定积分的微元法、定积分的几何应用、定积分的物理应用。知识内容与要求：1.理解定积分的微元法（元素法）思想及其分析步骤。2.掌握运用微元法计算平面图形面积、旋转体体积等几何问题的方法。3.掌握运用微元法计算变力做功、液体静压力等物理问题的方法。技能内容与要求：1.能够运用微元法建立几何量（如面积、体积）的积分表达式并准确计算。2.能够运用微元法建立物理量（如功、压力）的积分表达式并准确计算。素养内容与要求：通过微元法“化整为零、积零为整”的思想，培养辩证唯物主义世界观和数学建模能力。606第5单元常微分方程微分方程的概念、可分离变量微分方程、一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程。知识内容与要求：1.理解微分方程的基本概念（阶、解、通解、特解等）。2.掌握可分离变量微分方程、一阶线性微分方程的解法。3.掌握可降阶的高阶微分方程及二阶常系数线性微分方程的解法。技能内容与要求：1.能识别微分方程的类型，并选择适当方法求解。2.能利用初始条件确定特解，解决简单的实际问题。素养内容与要求：通过建立和求解微分方程模型，培养从实际问题抽象数学规律的建模能力。606第6单元空间解析几何空间直角坐标系，向量的数量积、向量积、平面方程、直线方程、二次曲面。知识内容与要求：1.理解空间直角坐标系的构成，掌握向量的坐标表示及数量积、向量积的定义与运算性质。2.掌握平面方程和直线方程的各种形式及其求法，了解常见二次曲面的方程与图形。技能内容与要求：1.能进行向量的坐标运算，熟练计算向量的数量积与向量积。2.能根据给定条件建立平面和直线的方程，并运用向量工具判断点、线、面的位置关系。素养内容与要求：通过建立空间图形与代数方程的对应关系，培养抽象思维和数形结合的能力。808第7单元多元函数微分学7.1偏导数、全微分、多元函数极值。知识内容与要求：1.理解多元函数偏导数的概念及其几何意义，掌握全微分的定义与计算方法。2.掌握多元函数极值的判别方法，了解条件极值与拉格朗日乘数法的基本原理。技能内容与要求：1.能熟练计算多元函数的偏导数和全微分。2.能求解多元函数的无条件极值问题，并运用拉格朗日乘数法解决简单的条件极值应用问题。素养内容与要求：1.通过从一元函数到多元函数微积分的知识迁移，培养类比归纳和举一反三的思维能力。2.在利用偏导数分析多元函数形态、解决优化问题的过程中，培养系统分析问题和数学建模的应用意识。8087.2切平面、法平面、方向导数、梯度。知识内容与要求：1.理解曲面切平面与法线的定义，掌握其方程求法；理解曲线切线与法平面的定义及其方程求法。2.理解方向导数与梯度的概念，掌握其计算方法及几何意义。技能内容与要求：1.能求空间曲面在某点的切平面与法线方程，以及空间曲线在某点的切线与法平面方程。2.能计算多元函数在给定方向的方向导数与梯度，并理解梯度在函数变化率中的指示作用。素养内容与要求：在运用向量工具分析多元函数局部性质的过程中，培养严谨的推理能力和数学与工程应用相结合的实践意识。808第8单元重积分8.1二重积分的概念、二重积分的应用。知识内容与要求：1.理解二重积分的定义与几何意义（平面区域上曲顶柱体的体积）。2.掌握二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算方法。技能内容与要求：1.能正确选择积分次序，将二重积分化为二次积分并计算。2.能运用二重积分计算平面图形的面积、空间立体的体积及简单的物理量。素养内容与要求：1.通过二重积分“分割、近似、求和、取极限”的思想，深化对微积分基本方法的理解，培养化整为零、积零为整的辩证思维。2.在将实际问题转化为二重积分模型并求解的过程中，提升数学建模能力与理论联系实际的工程素养。4048.2三重积分的概念、三重积分的应用。知识内容与要求：1.理解三重积分的定义与物理意义（空间区域上物体质量的求解思想）。2.掌握三重积分在直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下的计算方法。技能内容与要求：1.能根据积分区域的形状特点，选择并建立合适的坐标系计算三重积分。2.能运用三重积分计算空间立体的体积及简单的物理量（如质量、质心等）。素养内容与要求：通过在不同坐标系下求解三重积分的训练，培养根据问题特点灵活转换解题思路的能力。808第9单元曲线积分与曲面积分9.1对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分。知识内容与要求：1.理解两类曲线积分的定义及其物理背景（对弧长的曲线积分求质量、对坐标的曲线积分求变力做功）。2.掌握两类曲线积分的性质与计算方法，理解其内在区别与联系。技能内容与要求：1.能将对弧长的曲线积分化为定积分进行计算。2.能将对坐标的曲线积分化为定积分进行计算，并掌握格林公式及其应用。素养内容与要求：1.通过理解两类曲线积分不同的物理意义，培养运用数学工具描述和解决物理问题的能力。2.在学习格林公式的过程中，体会曲线积分与二重积分的内在联系，培养普遍联系的辩证思维。3039.2对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分.知识内容与要求：1.理解两类曲面积分的定义及其物理或几何背景（对面积的曲面积分用于计算曲面质量，对坐标的曲面积分用于计算通量）。2.掌握两类曲面积分的性质与基本计算方法，理解其核心区别。技能内容与要求：1.能将对面积的曲面积分化为二重积分并进行计算。2.能将对坐标的曲面积分化为二重积分进行计算，并掌握高斯公式及其基本应用。素养内容与要求：1.通过理解两类曲面积分不同的物理意义，培养运用数学工具描述和解决物理与工程问题的能力。2.在学习高斯公式的过程中，体会曲面积分与三重积分的内在统一性，深化对微积分整体性的认识。3039.3格林公式、高斯公式。知识内容与要求：1.理解格林公式的条件与结论，掌握其物理意义（平面区域上的散度定理）。2.理解高斯公式的条件与结论，掌握其物理意义（空间区域上的散度定理）。技能内容与要求：1.能运用格林公式计算平面闭曲线上的对坐标曲线积分，或计算平面区域的面积。2.能运用高斯公式计算空间闭曲面上的对坐标曲面积分，或计算空间区域的体积。素养内容与要求：1.通过格林公式与高斯公式的学习，深刻理解不同维度积分之间的内在联系，培养宏观与微观相统一的辩证思维。2.在运用两大公式解决物理场问题的过程中，提升数学理论与工程实践相结合的综合应用能力。404第10单元无穷级数10.1常数项级数的概念和性质、正项级数、任意项级数。知识内容与要求：1.理解常数项级数及其收敛、发散的概念，掌握级数收敛的必要条件。2.掌握正项级数的比较判别法、比值判别法和根值判别法。3.理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，掌握交错级数的莱布尼茨判别法。技能内容与要求：1.能利用定义和性质判断简单级数的敛散性。2.能灵活运用各种判别法判断正项级数与交错级数的敛散性。素养内容与要求：1.通过“有限和”到“无限和”的认知跨越，培养极限思维和逻辑推理能力。2.在运用不同判别法解决级数问题的过程中，培养分类讨论、严谨求实的科学精神。30310.2幂级数及其收敛性、函数展开成幂级数。知识内容与要求：1.理解幂级数的概念，掌握其收敛半径与收敛区间的求法。2.掌握函数展开成幂级数（泰勒级数）的直接展开法与间接展开法。技能内容与要求：1.能熟练计算幂级数的收敛半径与收敛区间。2.能将常见函数（如sinx,cosx,ln(1+x)等）展开为幂级数。素养内容与要求：1.通过理解幂级数将复杂函数转化为多项式逼近的思想，培养化繁为简、用简单工具解决复杂问题的数学思维。2.在学习函数幂级数展开的过程中，体会数学理论的强大应用潜力，提升理论联系实际的能力。30310.3傅里叶级数。知识内容与要求：1.理解三角级数和傅里叶级数的基本概念，掌握狄利克雷收敛定理。2.掌握将周期函数展开为傅里叶级数的方法，了解奇偶函数的傅里叶展开特性。技能内容与要求：1.能计算周期函数的傅里叶系数，并写出其傅里叶级数展开式。2.能利用奇偶性简化傅里叶系数的计算，并绘制部分和图形观察逼近效果。素养内容与要求：1.通过理解傅里叶级数“任意周期函数可表示为正弦和余弦函数叠加”的思想，培养信号分解与合成的系统分析思维。2.在学习傅里叶级数从理论到应用的过程中，认识数学作为现代科学技术基础工具的重要价值，激发跨学科探索的兴趣。404学时合计1120112六、教学重点与难点（一）教学重点及处理方法教学重点：基本概念、基本理论、基本计算方法与涉及的数学思想方法。教学重点的处理方法：为了做到重点突出，在教学中采用案例教学引入概念，让学生将数学与生活实际联系起来，选取有专业背景的实例进行有效的训练，使数学知识真正有所用，增强学生的知识应用意识。教学难点及处理方法教学难点：抽象概念的引入与定理的理解和应用。教学难点的处理方法：为了突破难点，在学生充分理解数学知识的基础上，再用于分析、处理各种实际生活、经济、工程问题，由浅入深，遵循由易到难，从具体到抽象的循序渐进的认知规律，以问题驱动，淡化纯粹数学理论的推导与证明，借助于模型、多媒体展示直观的图形与形象的变化趋势，来帮助学生认识和理解抽象的数学概念。对于数学运算中过于复杂、繁琐的运算，可以借助数学软件来解决。同时安排小组互助学习，教师线上线下多渠道安排答疑和辅导。七、实施要求（一）教学策略1.教学方法本课程根据不同的教学内容，采取不同的教学方法，如“案例教学法”、“问题驱动法”、“讨论法”、“对比法”、“直观教学法”多种教学方法等。以学生为中心组织教学，学生在课前通过学习通线上资源做好课前预习，课程中教师示范和学生分组讨论、训练互动，学生提问与教师解答、指导有机结合，完成学习任务，课后应安排好小组互助学习和线上线下多种渠道答疑解惑，加强巩固。2.教学手段根据不同的数学知识内容，结合实际，充分利用各种教学媒体、互联网、移动平台、虚拟仿真技术等信息化教学手段，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，改变学生的学习方式，使学生融入到探索性的数学活动中去。同时，认真开展“微课、慕课”等网络辅助教学模式。课程思政建设将课程的专业知识内容、专业知识技能教育内容与其中蕴含的思政育人素材有机融合，作为思政映射与融入点，利用描述诸如信息媒介、参观体验、课堂讨论、考核等