北京市朝阳区青苗学校2026−2027学年第一学期高三年级入学定位测试数学试题（含答案）

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页北京市朝阳区青苗学校2026−2027学年第一学期高三年级入学定位测试数学试卷一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．已知复数，，则（

）A． B． C．3 D．3．双曲线的离心率为2，则（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知等比数列满足，，则的公比为（

）A．或 B．或 C．或 D．或5．下列函数是奇函数，且在上单调递减的是（

）A． B．C． D．6．若为有理数），则（

）A．4 B．8 C．10 D．127．已知，把函数的图象向上平移2个单位，得到的图象；把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象.若，则的值为（

）A． B．2 C． D．48．已知点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离等于点到点的距离，则（

）A．2 B．3 C．4 D．59．已知单位向量、，则“”是“、夹角为”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．给定正整数.从正方体的8个顶点中任取个顶点，，，，组成集合，若，，使得直线成立.则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题11．函数的定义域为________________________；12．若圆的一条对称轴为直线，则______.13．函数的最大值为，则的一个取值为_____.14．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，且，，，则的体积为___；若为中点，则点到平面的距离为____.15．已知正数数列的前项和为，且，给出下列四个结论：①；②是等差数列；③；④.其中正确结论的序号是______.三、解答题16．如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，，为的中点，点在上，且平面.（1）求证：点为的中点；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17．在中，．（1）求的值；（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：边上的高为．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．网上购物已经成为一种重要的消费方式．为了解某小区居民使用网上支付的情况，某网上商城随机抽取了50名居民，调查每个人平均每个月的网上支付金额，统计结果如下表：消费金额/元人数年龄/岁2000元以上6220025210232212421150及以上36001（1）从年龄在岁的被调查者中任选一人，求其每个月消费金额在元的概率；（2）从每个月消费金额在元的被调查者中任选2人做进一步的调查，求选出的2人至少1人年龄在岁的概率；（3）比较表格中第三行和第四行数据（即年龄在岁与年龄在岁所在行）中所给人数数据方差的大小（只需直接写出结果）．19．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为.（1）求椭圆的方程；（2），分别是椭圆的左、右顶点，经过点且斜率存在且不为零的直线与椭圆交于不同的两点，，求直线，的斜率之比.20．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求证：当时，函数存在极大值；（3）若有三个不同的零点，求的取值范围.21．已知无穷数列满足，且（1）写出所有可能的值；（2）是否存在，使得对成立？若存在，求出的一个值，若不存在，说明理由；（3）求的最小值.

参考答案1．【答案】C【详解】根据交集的定义：.2．【答案】A【详解】已知，所以，可得.3．【答案】A【详解】由题干可得：，，又，代入已知条件得，整理得，即，结合的条件，解得.4．【答案】D【详解】设等比数列的公比为（），因为，，所以，所以，所以，所以，解得或.5．【答案】B【详解】选项A：，，显然，不是奇函数，排除；选项B：，，满足奇函数定义；对其求导得，对任意，，故恒成立，因此在上单调递减，符合要求；选项C：，，，不是奇函数，排除；选项D：，，是奇函数，求导得恒成立，在上单调递增，不符合递减要求，排除.6．【答案】D【详解】，于是，故.7．【答案】D【详解】函数的图象向上平移2个单位，得到的图象.把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象.若，则，所以，又，解得.8．【答案】C【详解】设，作垂直于抛物线的准线，垂足为，由抛物线的定义可知，又因为.所以，即为等腰三角形，所以在的垂直平分线上.，所以.9．【答案】C【详解】设单位向量、的夹角为，则，充分性验证：若，根据向量垂直的充要条件可得，展开得，因为是单位向量，即，代入得，因为，且，所以，则，充分性成立；必要性验证：若，则，所以，所以，必要性成立.“”是“、夹角为”的充要条件.10．【答案】B【详解】时，例如，则集合中不存在两点连线与直线垂直，所以，如果，由对称性，用上下底面对点分类，5个点有如下几种情形：图1，4个点在下底面上，第5个点在上底面，如，，其它直线都有正方体中相应的棱与之垂直，

图2，图3，图4，图5中是有三个点在下底面，两个点在上底面，图2，，旋转后与图1类似，同理，旋转后与图1类似，图3，,中任意两点连线，如果是正方体的棱或面对角线，总能找到正方体的棱（顶点在中）与之垂直，对体对角线来讲，有，，即有面对角线与之垂直，符合题意，同理也符合，图4，，与图3类似，中任意两点连线，如果是正方体的棱或面对角线，总能找到正方体的棱（顶点在中）与之垂直，体对角线，即有面对角线与之垂直，符合题意，图5，，这个与图3类似，是正方体对角面上的四个顶点再加正方体的另一个顶点，同样满足题意.所以时满足题意，如果，中任意两点连线，如果是正方体的棱或面对角线，总能找到正方体的棱（顶点在中）与之垂直，体对角线总有面对角线与之垂直，综上，的最小值是5.11．【答案】【详解】要使有意义，则，函数的定义域为12．【答案】【详解】圆即,由题设，圆心在直线上，则.13．【答案】（答案不唯一，满足或均可）【详解】已知函数的最大值为，利用余弦和角公式得：，所以的最大值为，所以，，所以，即（答案不唯一，满足或均可）.14．【答案】//【详解】①因为底面是矩形，，，所以底面的面积，因为底面，且，所以四棱锥的体积；②因为底面，平面，所以平面平面，又平面平面，过点在底面内作于点，因为平面，由面面垂直的性质定理可知，平面，所以线段的长度即为点到平面的距离，在矩形中，为中点，，所以，在中，，，由勾股定理得，利用等面积法，，即，解得，故点到平面的距离为.15．【答案】②③【详解】，对①，时，，，又，所以，时，，所以，因为，所以解得，，①错；对②，时，，所以，整理得，所以是等差数列，②正确；对③，由②知是等差数列，公差为1，又，即，所以，，设，则，时，，递增，时，，递减，所以，所以，即，又，所以，③正确；对④，由③的推导知，，而，即，④错，正确的有②③.16．【答案】（1）证明：连接，因为平面，平面，平面平面，所以，因为为的中点，所以点为的中点．（2）【详解】（1）略（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，侧面为正方形，，故，，设平面的法向量为，则，令得，故，设直线与平面所成角的大小为，则sinθ=17．【答案】（1）（2）选条件①时不存在；选条件②时面积为；选条件③时面积为【详解】（1）由可得，在中即，所以，又因为，所以，化简得.（2）条件①：，得，根据余弦定理有：代入，得整理得无解，故选条件①时不存在.条件②：由，得，，根据正弦定理有，在中，所以的面积为.条件③：边上的高为，由得，设,所以的面积为：，又的面积可以表示为，联立得，根据余弦定理有：，代入，得，整理得或（舍），此时的三边分别为，，，所以存在，面积为.18．【答案】（1）；（2）；（3）年龄在岁的数据方差较小．【详解】解：（1）设“从年龄在岁的被调查者中任选一人，其每个月网上消费金额在元”为事件A，因为年龄在岁之间的被调查者一共有20人，其中有4个人每个月网上消费金额在元，所以．（2）每个月网上消费金额在元的被调查者共4人，设这4个人为甲、乙、丙、丁，其中丙、丁的年龄在岁之间．则样本空间（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）设“选出的2人中至少1人年龄在岁”为事件B，易知，事件B中含有5个样本点，所以．（3）年龄在岁的数据方差较小．19．【答案】（1）（2）【详解】（1）由题意知，，又因为，所以，因为，所以椭圆的方程为；（2）由题知，，设过的直线斜率为，则直线方程为，设直线与椭圆交于，则，联立直线与椭圆方程，消元得：，整理得：，根据韦达定理：，所以直线的斜率为，直线的斜率为，所以，因为，所以所以，即.20．【答案】（1）；（2）证明：因为，又因为，令，得，所以，由两函数的图象可知，两函数在上存在唯一一个交点，设此交点的横坐标为，则当时，单调递增；当时，单调递减；所以函数在处取极大值.（3）.【详解】（1）当时，，所以，即切点为,且，所以，所以切线方程为，即；（2）略；（3）令，得，令，则直线与函数有三个不同交点，又因为，令，得，所以当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，所以在处取最得极小值，在处取最得极大值为，又因为当时，，当时，，作出的图象，如图所示：由此可得，所以实数的取值范围为.21．【答案】（1）；（2）不存在，理由如下：因为，所以，则有，假设存在满足条件，则任意，有，整理得，解得，又因为，所