2027新高考数学复习53A版4-8.1　直线和圆

数学新高考适用第八章平面解析几何8.1

直线和圆目录CONTENTS考点1直线和圆的方程考点2直线和圆、圆和圆的位置关系五年高考考点1直线和圆的方程1.★★(2022全国甲文,14,5分)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为_______________________.

(x-1)2+(y+1)2=5

解析设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则

解得

所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.2.★★★(2022全国乙,文15,理14,5分)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的

方程为____________________________________________________________________

________________.(写出一个即可)

(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或 + = 或 +(y-1)2= 解析若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1),根据圆的几何性质知圆心在弦的中垂线上,设A(0,0),B(4,0),C(-1,1),易得AB的中垂线方程为x=2,AC的中垂线方程为y=x+1.联立

解得圆心坐标为(2,3).此时圆的半径r=

=

.所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.同理,其他三种情况下圆的方程分别为(x-2)2+(y-1)2=5,

+

=

,

+(y-1)2=

.三年模拟1.★(2026届湖南长沙长郡中学开学检测,3)已知直线l1:ax+(a+2)y+2=0与l2:x+ay+1=0平

行,则实数a的值为

()A.-1或2

B.0或2

C.2

D.-1

D

解析由题意知a·a-(a+2)=0,即a2-a-2=0,解得a=2或a=-1,经过验证可得a=2时两条直线重合,舍去,∴a=-1.故选D.易错警示解决两直线平行问题时,要对结果进行检验,排除两直线重合的情况.2.★★(2025届重庆部分学校联考,5)已知直线l1:x+y+C=0与直线l2:Ax+By+C=0均过点(1,

1),则原点到直线l2距离的最大值为

()A.

B.1

C.

D.

A

解析

解法一代数法因为两直线交于点(1,1),则1+1+C=0,且A+B+C=0,则C=-2,A+B

=2.原点到直线l2的距离d=

=

=

,易知A2-2A+2=(A-1)2+1≥1,则d≤

,当且仅当A=1时,d取最大值

,故选A.解法二数形结合法如图所示,l2恒过点E(1,1),则当OE⊥l2时,原点O到直线l2距离有最大值|OE|,|OE|=

=

.故选A.3.★★(2026届浙江杭州一模,7)若圆C经过A(1,1),B(2,-2),圆心在直线x-y+1=0上,则圆C

的面积为()A.16π

B.25π

C.36π

D.49π

B

解析设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,r>0,所以

解得

所以圆C的面积为πr2=25π.故选B.4.★★★(2025届河北衡水中学开学考,6)点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈

R)的距离最大时,其最大值以及此时的直线方程分别为()A.

,3x+2y-5=0

B.

,3x+2y-5=0C.

,2x-3y+1=0

D.

,2x-3y+1=0

A

解析

将直线l的方程(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)化为x+y-2+λ(3x+y-4)=0,由

解得

因此直线l过定点A(1,1),当AP⊥l时,点P(-2,-1)到直线l的距离最大,最大值为|AP|=

=

,又直线AP的斜率kAP=

=

,所以直线l的方程为y-1=-

(x-1),【注意AP⊥l】即3x+2y-5=0.故选A.5.★★★(2026届广东八校联盟质检,7)P是圆(x-a)2+(y-a2)2=1上的动点,Q是直线y=x-2上

的动点,则|PQ|的最小值为

()A.

-1

B.

C.

-1

D.

C

解析圆(x-a)2+(y-a2)2=1的圆心为(a,a2),半径r=1.因为点(a,a2)到直线y=x-2的距离d=

=

≥

>1,当且仅当a=

时等号成立,所以直线与圆相离,所以|PQ|的最小值为dmin-r=

-1.故选C.6.★★★★(2026届湖北武汉质检,8)实数a,b,c,d满足cd=a2+b2=2,则(a-c)2+(b-d)2的最小值

为()A.3-2

B.6-4

C.2-

D.2+

B

解析因为a2+b2=2,所以点P(a,b)为圆x2+y2=2上的一点,因为cd=2,所以点Q(c,d)是曲线y=

上的一点,因此|PQ|2=(a-c)2+(b-d)2,如图.

因为|PQ|+|OP|≥|OQ|,|OP|=

,所以|PQ|≥|OQ|-

,当且仅当P为线段OQ与圆x2+y2=2的交点时取等号,又cd=2,故c2+d2≥2

=4,当且仅当c=d=

或c=d=-

时等号成立,所以|OQ|=

≥2,当且仅当c=d=

或c=d=-

时等号成立,因此|PQ|≥2-

,当且仅当

或

时等号成立,所以当

或

时,(a-c)2+(b-d)2取最小值,最小值为(2-

)2=6-4

.故选B.7.★★★★(2025届山东德州开学考,8)已知点A为直线3x+4y-7=0上一动点,点B(4,0),且P(x,y)满足x2+y2+x-2=0,则3|AP|+|BP|的最小值为()A.

B.

C.

D.

D

解析∵x2+y2+x-2=0,∴

+y2=

.∴P点轨迹是以

为圆心,

为半径的圆,记为圆C,设在x轴上存在定点M(a,0),使得圆上任意一点P(x,y),满足|PB|=3|PM|,则

=3

,化简得8(x2+y2)-(18a-8)x+(9a2-16)=0,

把x2+y2=2-x代入得18ax-9a2=0,要使等式恒成立,则a=0.∴存在定点M(0,0),使圆上任意一点P满足|PB|=3|PM|,则3|AP|+|BP|=3|AP|+3|MP|=3(|AP|+|MP|)≥3|AM|,当A,P,M三点共线(A,M位于P两侧)时,等号成立.又A点为直线3x+4y-7=0上一动点,则|AM|的最小值即为点M到直线3x+4y-7=0的距离,M(0,0)到直线3x+4y-7=0的距离d=

=

,则|AM|min=

.故3|AP|+|BP|≥3|AM|≥3d=

.故选D.8.★★(2026届四川广安联考,12)过直线x-2y+1=0与3x-y-2=0的交点,且垂直于直线x-y+1

=0的直线方程是_______________.

x+y-2=0

解析

解法一点斜式法

由

解得

因此交点坐标为(1,1).直线x-y+1=0的斜率为1,则与其垂直的直线的斜率为-1,所以过点(1,1)且与直线x-y+1=0垂直的直线方程为y-1=-(x-1),整理得x+y-2=0.解法二直线系法设要求的直线方程为x-2y+1+λ(3x-y-2)=0,(不含直线3x-y-2=0)即(1+3λ)x-(2+λ)y+1-2λ=0,由两直线垂直得

=-1,解得λ=-

,因此所求直线方程为-

x-

y

+

=0,即x+y-2=0.9.★★(2026届河北邢台名校开学联考,12)与圆x2+y2-2y=0关于直线y=x对称的圆的标准

方程为___________________.

(x-1)2+y2=1

解析将圆的方程x2+y2-2y=0化为x2+(y-1)2=1,所以圆心坐标为(0,1),半径r=1,设圆心(0,1)关于直线y=x的对称点的坐标为(a,b),则

解得

则所求圆的圆心坐标为(1,0),又半径为1,所以所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=1.10.★★(2026届上海交大附中月考,9)在直角坐标平面xOy内有一直角△ABC,C=

,顶点A的坐标为(2,1),BC所在直线方程为2x+y+1=0,则顶点C的坐标为_________.解析因为C=

,所以AC⊥BC,因为BC所在直线方程为2x+y+1=0,A(2,1),因此AC所在直线方程为y-1=

(x-2),即x-2y=0,联立得

解得

所以顶点C的坐标为

.11.★★★(2026届江苏如皋中学阶段测试,15)已知圆C经过点A(2,-1),与直线x+y=1相切,

且圆心在直线y=-2x上.(1)求圆C的方程;(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.解析

(1)设圆心为C(a,-2a),则

=

.化简,得a2-2a+1=0,解得a1=a2=1.所以C(1,-2),半径r=

=

.因此圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足

条件.②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx,由题意得

=1,解得k=-

,∴直线l的方程为y=-

x,即3x+4y=0.综上,直线l的方程为x=0或3x+4y=0.五年高考考点2直线和圆、圆和圆的位置关系1.★★(2023新课标Ⅰ,6,5分)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则

sinα=()A.1

B.

C.

D.

B

解析设圆心为C.圆的方程x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5,则圆心为C(2,0),半径r=

,设点P(0,-2),切点分别为A,B,如图所示.

易得|CA|=

,|PC|=2

,|AP|=

,∴cos

=

,sin

=

【α是∠APB的补角】,∴sinα=2sin

cos

=

,故选B.2.★★(2021北京,9,4分)已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M,N.当k变化时,

若|MN|的最小值为2,则m=

()A.±1

B.±

C.±

D.±2

C

解析设圆x2+y2=4的圆心C到直线y=kx+m的距离为d,则d=

,当弦长最小时,d最大,此时k=0,d=|m|,由题意知m2+1=4,所以m=±

,故选C.3.★★(2025全国一卷,7,5分)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=

x+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是()A.(0,1)

B.(1,3)

C.(3,+∞)

D.(0,+∞)

B

解析圆x2+(y+2)2=r2(r>0)的圆心的坐标为(0,-2),圆心到直线y=

x+2的距离d=

=2,由题意得|r-d|<1,即|r-2|<1,解得1<r<3,故选B.4.★★★(2023全国乙文,11,5分)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是

(

)A.1+

B.4

C.1+3

D.7C

解析由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,此方程表示以(2,1)为圆心,3为半径的圆.设t=x-y,则x-y-t=0,设圆心(2,1)到直线x-y-t=0的距离为d,则d=

=

,依题意知,直线x-y-t=0与圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,∴d=

≤3,即|1-t|≤3

,∴-3

≤t-1≤3

,即1-3

≤t≤1+3

,∴t的最大值为1+3

,即x-y的最大值为1+3

,故选C.一题多解由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9.设x=2+3cosθ,y=1+3sinθ,θ∈[0,2π),∴x-y=2+3cosθ-1-3sinθ=1+3(cosθ-sinθ)=1+3

cos

,∵θ+

∈

,∴cos

∈[-1,1],∴(x-y)max=1+3

,故选C.5.★★★(2024全国甲理,12,5分)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=

0交于A,B两点,则|AB|的最小值为

()A.1

B.2

C.4

D.2

C

解析由题知b=

,∴ax+

y+c=0,∴a

+

(y+2)=0,∴

解得

∴直线ax+by+c=0过定点(1,-2),将x2+y2+4y-1=0化为标准方程为x2+(y+2)2=5.当过圆心(0,-2)与定点(1,-2)的直线与直线AB垂直时,|AB|最小,且|AB|min=2

=4.故选C.6.★★★★(2023全国乙理,12,5分)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线

PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=

,则

·

的最大值为

()A.

+

B.

+

C.1+

D.2+

A

解析

由D为BC的中点可知OD与PD垂直,即点D的轨迹是以OP为直径的圆周在☉O内

部的部分.取OP的中点M,有|DM|=

=

,并且

=

+

,因为|PA|=

=1,

·

=

·

=

|

|·|

|·cos∠APO=

|

|2=

,同时

·

≤|PA|·|MD|=

,所以

·

=

·(

+

)=

·

+

·

≤

+

,当

与

同向平行时取到最大值,故选A.7.★★★(多选)(2021新高考Ⅱ,11,5分)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则

下列说法正确的是

(

)A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切

ABD

解析圆心C(0,0)到直线l的距离d=

,若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d=

=|r|,所以直线l与圆C相切,故A正确.若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以d=

>|r|,所以直线l与圆C相离,故B正确.若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=

<|r|,所以直线l与圆C相交,故C错误.若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d=

=|r|,所以直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD.8.★★★(多选)(2021新高考Ⅰ,11,5分)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),

则

(

)A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时,|PB|=3

D.当∠PBA最大时,|PB|=3

ACD

解析由题意可知直线AB的方程为

+

=1,即x+2y-4=0,则圆心(5,5)到直线AB的距离d=

=

>4,∴直线AB与圆(x-5)2+(y-5)2=16相离,∴点P到直线AB的距离的取值范围为

,∵

-4∈(0,1),

+4∈(8,9),∴A正确,B错误.

过点B作圆的两条切线,切点分别为P1,P2,如图,当点P在切点P1的位置时,∠PBA最小,当

点P在切点P2的位置时,∠PBA最大,易知|P1B|=|P2B|,圆心(5,5)到点B的距离为

,圆的半径为4,所以|P1B|=|P2B|=

=

=3

,故选项C,D均正确.故选ACD.9.★(2022天津,12,5分)若直线x-y+m=0(m>0)被圆(x-1)2+(y-1)2=3截得的弦长等于m,则m

的值为_________.

2

解析圆心(1,1)到直线x-y+m=0的距离为

,则

+

=3,解得m=2(负值舍去).10.★★(2021天津,12,5分)若斜率为

的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|=_________.解析设圆心为C,直线AB的方程为y=

x+b,则C(0,1),A(0,b).由直线AB:y=

x+b与圆x2+(y-1)2=1相切得

=1,解得b=-1或b=3,所以|AC|=2,因为|BC|=1,所以|AB|=

=

.11.★★★(2023新课标Ⅱ,15,5分)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写

出满足“△ABC的面积为

”的m的一个值:______________________________.

2或-2或 或- (写出一个即可)

解析∵圆心(1,0)到直线x-my+1=0的距离d=

,∴|AB|=2

=

,∴S△ABC=

|AB|·d=

=

,∴2m2-5|m|+2=0,∴|m|=2或|m|=

,∴m=±2或m=±

.12.★★★(2022新高考Ⅰ,14,5分)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线

的方程:____________________________________.

x=-1(或3x+4y-5=0或7x-24y-25=0)

解析∵两圆C1:x2+y2=1,C2:(x-3)2+(y-4)2=16的圆心分别为C1(0,0),C2(3,4),r1=1,r2=4,

∴|C1C2|=5=r1+r2,则两圆外切(如图),且均与直线l1:x=-1相切,两圆圆心连线C1C2所在直线

的方程为y=

x,记为l,l1与l交于点P

,由两圆另一外公切线l2过点P,设l2:y+

=k(x+1),由l2与圆C1:x2+y2=1相切,得

=1,求出k=

,则直线l2的方程为7x-24y-25=0,由内公切线l3与l垂直,设l3的方程为y=-

x+m,由l3与圆C1:x2+y2=1相切得

=1,∴m=

或-

.当m=-

时,y=-

x-

,与圆C2不相切,不符合题意,舍去.故m=

,则直线l3的方程为3x+4y-5=0.综上,可知三条切线方程分别为x=-1,3x+4y-5=0,7x-24y-25=0.13.★★★(2022新高考Ⅱ,15,5分)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆

(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是_________.解析设直线AB关于y=a对称的直线为l,∵kAB=

,∴kl=-

.显然点B(0,a)在直线l上,∴直线l的方程为y=-

x+a,即(a-3)x+2y-2a=0.∵l与圆有公共点,∴圆心(-3,-2)到直线l的距离d≤r,即

≤1,即6a2-11a+3≤0,解得

≤a≤

,∴实数a的取值范围为

.14.★★★★★(2021全国甲,文21,理20,12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴

上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且☉M与l相切.(1)求C,☉M的方程;(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与☉M相切.判断直线A2A3与☉M的位置关

系,并说明理由.解析

(1)由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),则P,Q的坐标为(1,±

),∵OP⊥OQ,∴

·

=1-2p=0,∴p=

,∴抛物线C的方程为y2=x.∵☉M的圆心为(2,0),☉M与直线x=1相切,∴☉M的半径为1,∴☉M的方程为(x-2)2+y2=1.(2)直线A2A3与☉M相切.理由如下:设A1(

,y0),A2(

,y1),A3(

,y2),∵直线A1A2,A1A3均与☉M相切,∴y0≠±1,y1≠±1,y2≠±1,由A1,A2的坐标可得直线A1A2的方程为y-y0=

·(x-

),整理得x-(y0+y1)·y+y0y1=0,由于直线A1A2与☉M相切,∴M到直线A1A2的距离d=

=1,整理得(

-1)

+2y0y1+3-

=0,①同理可得,(

-1)

+2y0y2+3-

=0.②观察①②,得y1,y2是关于y的一元二次方程(

-1)·y2+2y0y+3-

=0的两根,∴

(*)同理,得直线A2A3的方程为x-(y1+y2)y+y1y2=0,则点M(2,0)到直线A2A3的距离d

'=

,把(*)代入,得d

'=

=

=

=

=1.∴直线A2A3与☉M相切.三年模拟1.★(2026届江苏如皋中学阶段测试,2)已知直线l:ax+2y+a+4=0与圆C:x2+y2+2y-2=0,则

直线l与圆C的位置关系是

()A.相离

B.相切

C.相交

D.不确定

C

解析由题意可得直线l:a(x+1)+2y+4=0过定点A(-1,-2).因为(-1)2+(-2)2+2×(-2)-2=-1<0,所以点A(-1,-2)在圆C内,则直线l与圆C相交.故选C.2.★★(2025届江苏南京中华中学开学调研,5)设直线l:x+my-6=0和圆C:x2+y2-4x-4y=0相

交于M,N两点,若

·

=0,则m=

()A.

B.

C.

D.1

C

解析圆C:x2+y2-4x-4y=0可化为C:(x-2)2+(y-2)2=8,则圆心为C(2,2),半径r=2

,因为

·

=0,所以CM⊥CN,又|CM|=|CN|,所以△CMN为等腰直角三角形,所以圆心C到直线l的距离d=

r=2,即d=

=2,解得m=

.经检验符合题意.故选C.3.★★(2026届河北保定部分高中开学考,6)圆x2+y2=2上的点到直线3x-4y-10=0的距离可

能为

()A.8

B.6

C.4

D.2

D

解析由圆x2+y2=2,得圆心为(0,0),半径为

,圆心(0,0)到直线3x-4y-10=0的距离d=

=2>

,则圆上的点到直线的距离的取值范围为[2-

,2+

].故选D.4.★★(2026届安徽皖南八校大联考,6)已知过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-2y+1=0相切的两条

直线的夹角为α,则tanα=

()A.

B.

C.

D.

D

解析

x2+y2-4x-2y+1=0可化为(x-2)2+(y-1)2=4,因此圆心为(2,1),半径为2,所以点(0,-2)到圆心的距离为

=

,则切线长为

=3,所以tan

=

,则tanα=

=

=

.故选D.5.★★★(2025届山东青岛二中月考,6)过点P(1,-3)的直线l与曲线M:(x-2)2+y2=1(2≤x≤

3)有两个交点,则直线l的斜率的取值范围为()A.

B.

C.

D.

B

解析由题意易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l:y=k(x-1)-3(k≠0),曲线M:(x-2)2+y2=1(2≤x≤3)是以M(2,0)为圆心,1为半径的半圆,如图,

设曲线M的下端点为N(2,-1),要使l与曲线M有两个交点,则l应位于直线PN和切线PQ之

间(含PN),所以kPQ<k≤kPN,易知kPN=

=2,由PQ与曲线M相切,得

=1,解得k=

,所以kPQ=

,所以直线l的斜率的取值范围为

.故选B.6.★★★(2025届湖南长沙雅礼中学开学考,5)已知圆C的方程为x2+(y-2)2=a,则“a>2”

是“函数y=|x|的图象与圆C有四个公共点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

B

解析由圆C的方程为x2+(y-2)2=a可得圆心为(0,2),半径r=

,若圆与直线y=x相交,则圆心到直线y=x的距离d=

=

<

,即a>2,若函数y=|x|的图象与圆C有四个公共点,则原点在圆的外部,即02+(0-2)2>a,解得a<4.综上,若函数y=|x|的图象与圆C有四个公共点,则2<a<4,所以“a>2”是“函数y=|x|的图

象与圆C有四个公共点”的必要不充分条件,故选B.7.★★★(2026届河北冀州中学开学考,6)已知A,B是圆O:x2+y2=1与x轴的两个交点,动点

M满足|MA|=

|MB|,记点M的轨迹为E,则

()A.E与圆O相切B.E是两条平行的直线C.∠MAB的最大值为

D.E上的点到原点O的距离的最大值为6

C

解析设M(x,y),由题意,不妨令A(-1,0),B(1,0),由|MA|=

|MB|,得

=

·

,两边平方,整理得x2-6x+y2+1=0,即(x-3)2+y2=8,因此点M的轨迹E是圆心为点C(3,0),半径为2

的圆.对于A,因为圆O与圆C的圆心距|OC|=3,且2

-1<|OC|<2

+1,所以两圆相交,因此A错误;对于B,由上述分析知E是圆心为点C(3,0),半径为2

的圆,因此B错误;对于C,如图所示,

当AM与圆C相切时,∠MAB取得最大值,此时记切点为M1,由∠AM1C=

,得sin∠M1AB=

=

,故∠MAB的最大值即∠M1AB=

,因此C正确;对于D,如图,E上的点到原点O的距离的最大值为|OD|,易求得D(3+2

,0),则|OD|=3+2

,因此D错误.故选C.8.★★★(2025届广东部分学校第一次月考,6)已知直线l:(m-1)x+2y+3-m=0与圆C:x2+y2-6

x+6y=0交于A,B两点,则线段AB的长度的取值范围是

()A.[

,3

]

B.[2

,6

]C.[2

,8

]

D.[

,6

]

B

解析圆C:x2+y2-6x+6y=0,即圆C:(x-3)2+(y+3)2=18,则圆心为C(3,-3),半径r=3

,直线l:(m-1)x+2y+3-m=0,即(x-1)m-x+2y+3=0,令

解得

即直线l过定点P(1,-1),

因为12+(-1)2-6-6<0,所以定点P在圆内,设圆心C到直线l的距离为d,则弦长|AB|=2

,当d=0时,弦长最长,过P的最长弦长为圆的直径,2r=6

,当d最大时,直线l与CP垂直,dmax=|PC|=

=2

,所以弦长的最小值为2

=2

,【关键点:当d最小时弦长最长,当d最大时弦长最短】所以|AB|的取值范围为[2

,6

].故选B.9.★★★(2026届云南昆明期中,7)已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,则3x-4y的取值范围为

()A.[-4,16]

B.[-8,12]C.[-10,10]

D.[-16,4]

A

解析设3x-4y=t,问题可转化为直线3x-4y-t=0与圆(x-2)2+y2=4有公共点,求t的取值范围.

由

≤2,解得-4≤t≤16,所以3x-4y的取值范围为[-4,16].故选A.10.★★★(2026届湖南长沙雅礼中学月考,8)已知直线l:2xcosα+2ysinα-1=0与圆C:(x-1)2

+(y-

)2=

相切,则满足条件的直线有

()A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

C

解析

解法一由题设知,圆心C(1,

)到直线l的距离为d=

=

=

,化简得4sin

-1=±3,即sin

=1或-

,当sin

=1时,α=

+2kπ,k∈Z;当sin

=-

时,α=

+2kπ或π+2kπ,k∈Z.因此满足条件的直线有3条.故选C.解法二原点O到直线l的距离为d=

=

,【思路探究:直线l的方程含参数,参数是以角的正弦、余弦形式出现的,借助三角恒等

变换计算点到直线的距离,可得原点O到直线l的距离为定值,则直线l与圆O:x2+y2=

相切,再结合已知条件,利用公切线性质即可求解】从而满足条件的直线l为圆O:x2+y2=

和圆C:(x-1)2+(y-

)2=

的公切线,因为|OC|=2=

+

,所以两圆外切,共有3条公切线.故选C.11.★★★★(2026届湖北华中师大附中月考,8)已知直线x+ay-

a+2=0与圆O:x2+y2=r2(r>0)交于不同的两点A,B,若∠AOB存在最小值且最小值不大于90°,则r的取值范围为

()A.(

,2]

B.(3,2

]C.(3,3

]

D.(3,6]

C

解析将直线x+ay-

a+2=0变形为x+2+a(y-

)=0,【方法技巧:将含有参数的直线方程按参数整理,求出所过定点坐标】则可知直线恒过定点P(-2,

),【思路探究:条件“∠AOB存在最小值且最小值不大于90°”的含义是定点P在圆内,且

过定点的直线被圆截得的弦长存在最小值,且最小值小于或等于

r】|OP|=

=3,若r≤3,则直线可与圆O相切,如图1所示,此时A,B重合,若直线与圆O交于不同的两

点A,B,则∠AOB可不断趋于0,不存在最小值,与题意不符,因此r>3,

此时P在圆O内,直线与圆O一定交于两点A,B,此时对于任意给定的半径r,根据圆的性质,知当OP⊥AB时,弦AB最短,∠AOB最小,此时弦长|AB|=2

=2

,在△AOB中,当∠AOB=90°时,|AB|=

r,由∠AOB的最小值不大于90°,得|AB|≤

r,即2

≤

r,解得r≤3

.综上,r的取值范围为(3,3

].故选C.12.★★★★(2025届广东部分学校大联考,8)已知圆M:x2+y2-6y=0与圆N:(x-cosθ)2+(y-sinθ)2=1(0≤θ≤2π)交于A,B两点,则△ABM(M为圆M的圆心)面积的最大值为

()A.

B.

C.2

D.

C

解析由题意得M:x2+(y-3)2=9,所以圆心为M(0,3),半径r=3,由两圆相交于A,B两点可知|MA|=|MB|=r=3,所以S△ABM=

|MA||MB|sin∠AMB=

×3×3sin∠AMB=

sin∠AMB,因为圆N的半径为1,所以|AB|≤2,当|AB|=2时,|MN|=

=2

,又|MN|