安徽省蚌埠市2027届高三上学期调研性监测（一模）数学试卷（含解析）

安徽省蚌埠市2026-2027学年高三上学期调研性监测数学试题一、单选题1．已知是虚数单位，复数满足，则复平面内表示的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知平面向量，若，则（

）A． B． C． D．4．将一个斜边为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体的表面积为（

）A． B． C． D．5．已知数列是等差数列，且，，若，则的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．106．如图，单位圆上角的始边为轴正半轴，终边射线交单位圆于点，过点作轴的垂线，垂足为，将点到射线的距离表示为的函数，则在上的图象大致为（

）

A．

B．

C．

D．

7．已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（

）A． B． C． D．8．若甲盒中有个红球，个黄球，个白球，乙盒中有个红球（），个黄球，个白球，这些球的大小、材质完全相同.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．某同学记录了我市年月中旬连续天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：，，，，，，，，则这个数据的（

）A．极差为 B．众数为C．中位数为 D．平均数为10．设正实数，，满足，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为 B．的最小值为C． D．11．王虹因彻底证明了困扰数学界逾百年的“三维挂谷猜想”于年月日获得菲尔兹奖（国际数学界最高荣誉）.定义方向向量为的直线上长度为的线段为“理想线段”，下列结论正确的是（

）A．，平移“理想线段”可使其两端点均在直径为的圆上B．，平移“理想线段”，可使其两端点均在勒洛三角形的边界上（的边长均为，分别以，，为圆心，为半径的三段劣弧，，所围成的平面区域称为勒洛三角形）C．，平移“理想线段”，可使其两端点均在双曲线（，）上D．，平移“理想线段”，若其两端点均可在椭圆（）上，则该椭圆的离心率三、填空题12．的展开式中常数项是__________.（用数字作答）.13．如图，边长为2的正方形内接于圆，是劣弧（包括端点）上一点，则的取值范围为______.14．已知连续函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为______.四、解答题15．的内角，，的对边分别为，，，已知函数的最小正周期为，其中，，的图象关于直线对称，且.(1)求函数的解析式及的值；(2)若，的面积为，求的周长.16．如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点.(1)证明：平面；(2)若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.17．已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；(2)讨论函数的单调性.18．已知抛物线经过点.过点的直线与交于，两点，为坐标原点，直线交准线于点，直线与轴平行.(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求的值；(3)若，求的外接圆的一般方程.19．自动驾驶技术是汽车研发的重要方向.某实验室对一款智驾汽车模型进行障碍识别探测试验，已知该汽车模型在单次测试中，有效识别障碍物的概率为，无效识别的概率为，每次测试相互独立.(1)若对该汽车模型连续进行3次障碍识别测试，记有效识别的次数为，求的分布列与期望；(2)若规定累计出现2次无效识别时停止测试，并对汽车模型进行检修.记恰好在第（，）次测试后停止的概率为.（i）求，；（ii）求.

1．D【详解】因为复平面内，复数对应的点为，所以表示复数的点在第四象限.2．C【详解】已知集合，得，，所以，因此，故C正确.3．A【详解】由平面向量，若，则，解得：.4．B【详解】等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体是两个同底的圆锥底面重合的组合体.设等腰直角三角形为，，斜边，由题可知：，且，解得：，设边上的高为，利用等面积法可得：，即，即，因此，旋转后形成的两个圆锥底面半径，母线，由圆锥的侧面积公式可得：，两个圆锥的侧面积之和为：，故所形成的几何体的表面积为.5．A【详解】因为数列是等差数列，且，所以,由于,所以数列的公差为，所以，解得：6．B【详解】由三角函数定义及的面积可得：，由正弦函数的图象可知B项正确.而对于A、C项，显然可排除；对于D项，显然当时，M与O重合，此时，可排除.故选：B.7．D【详解】如图所示，要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或，又，所以的取值范围为：，由，所以直线的斜率可以是.8．B【详解】设从甲盒中取出红球、黄球、白球的事件分别为，从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件，则，，，所以，根据全概率公式得：，所以，整理得：，解得，所以满足题意的的最大值为.9．BC【详解】从小到大排序得：29，31，31，32，34，35，35，35，故极差为：；众数为：35，中位数为：，平均数为：.10．ABD【详解】由题设且，对于A，，当且仅当时取等号，A对；对于B，，则，故，当且仅当时取等号，B对；对于C，，由于，所以，当且仅当时取等号，C不正确；对于D，因为，因为，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当时取等号，故D正确11．ABD【详解】“理想线段”的长度均为，所以平移后，可使其两端点均在直径为的圆上，所以A正确；“理想线段”的长度均为，将其平移后，使其一端点与顶点或或重合，则其另一端点一定相应的落在以，，为圆心，为半径的三段劣弧，，上，即在勒洛三角形的边界上，又点也在勒洛三角形的边界上，所以B正确；当时，，方向向量为的直线与轴平行，与轴平行的直线与双曲线（，）相交的线段最短为双曲线的实轴长，即.因为“理想线段”的长度均为，所以若，则“理想线段”的两端点就不能落在双曲线（，）上，所以C不正确；，平移“理想线段”，若其两端点均可在椭圆（）上，则该椭圆的短轴长，即，所以，，所以，即.所以D正确.12．160【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，即，∴常数项为.故答案为：160.13．【详解】如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，则，，所以圆的方程为.设，则.由点是劣弧（包括端点）上一点，且在圆上，得，解得，所以，即的取值范围为.14．【详解】当时，，则，令，，当时，，所以函数在上单调递增，因为函数是定义在上的奇函数，所以，即是上的偶函数，所以函数在上单调递减，又，不等式，即，即，所以，由解得，所以由，即，解得，综上，所以不等式的解集为.15．(1)，(2)【详解】（1）因为函数的最小正周期为，所以，又，所以.因为的图象关于直线对称，所以，解得，又，所以，即函数的解析式为.所以，又，故，所以，解得，.（2）由面积，可得，由余弦定理得，即，解得，所以的周长为.16．(1)取的中点，连接，，因为为的中点，所以，且.在直三棱柱中，，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，则.又平面，平面，所以平面.(2)【详解】（1）略（2）设直三棱柱的侧棱长，，故.如图建立空间直角坐标系，可得，，，，则，，，设平面的法向量为，则取，得，，得.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.17．(1)(2)当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.【详解】（1）求导得，因为曲线在点处的切线与直线平行，所以曲线在点处的切线斜率为2.所以解得.（2）令，解得或，当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，，当变化时，，的变化情况如下，00单调递增极大值单调递减极小值单调递增当时，，当变化时，，的变化情况如下，0单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.18．(1)焦点坐标为，(2)(3)或【详解】（1）将点的坐标代入得，，解得，因为，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为，（2）由（1）知抛物线的方程为，依题意可设直线的方程为，记，的坐标分别为，，由得，则，且，直线的方程为，令，得，即点的纵坐标为，依题意直线与轴平行，所以，即，从而，解得，经检验符合题意，故.（3）若，则，从而，由（2）知，，，当时，，从而、两点坐标分别为，，设外接圆的一般方程为，将点，，的坐标代入得，解得，，，，故此时外接圆的一般方程为；同理，当时，，两点坐标分别为，，设外接圆的一般方程为，将点，，的坐标代入得，解得，，，此时外接圆的一般方程为；所以外接圆的