第一章《特殊平行四边形》单元综合测试卷（含解析）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第一章《特殊平行四边形》单元综合测试卷一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．）1．如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（

）A． B． C． D．2．如图，将一个正方形变为一个含角的菱形，则下列说法正确的是（

）A．周长变小 B．面积变大C．两条对角线的夹角的度数变大 D．两条对角线长度的和变小3．如图，在菱形中，对角线，交于点．以点为圆心，以一定长为半径画圆弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，交于点，连接并延长交于点．若，，则对角线的长为（

）A．6 B．8 C．10 D．124．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（

）A． B． C． D．5．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（

）A． B． C． D．6．如图，四边形和四边形分别是菱形和矩形，点，，在同一条直线上，与交于点，若，，则矩形的面积为（

）A． B． C． D．7．如图，是边长为的等边三角形，分别取，边的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作…照此规律作下去，则等于（

）A． B． C． D．8．如图，中，过点A作于M，交于E，过C作于N，交于F，连接、，则下列结论中正确的是（

）①②四边形是平行四边形；③当时，四边形是菱形；④当M、N分别是、中点时，四边形是正方形．A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④9．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（

）A．3 B．4 C．8 D．10．小明同学利用人工智能设计了一款游戏，计算机屏幕上随机地出现一些图形，若过定点的直线与图形的边（包含顶点）有交点，则称图形被“击中”．当屏幕上出现如图所示的正方形时，点，，轴，直线“击中”正方形，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________．12．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________．13．如图，四边形是矩形，点是边延长线上的一点，连接交于点，点是的中点，连接，．已知，，，则的长度为___________．14．如图，在中，，，点在边上，点在边上，当时，正方形的顶点恰好落在边上，则正方形的面积是_____．15．如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为_____．（保留根号）16．如图，在中，，点在上，以为对角线的所有中，的最小值是__________．三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分17．如图，四边形是矩形，点、分别是左侧、右侧的点，连接、、、，延长、交于点，，，求证：．18．如图，将边长为的菱形放在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，边与轴重合，且．(1)求点的坐标；(2)求所在直线的函数表达式．19．阅读与思考下面是乐乐同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题：如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上．同学们以小组为单位展开了讨论．希望小组的作法：如图2，①在上截取，②作交于点．结论：四边形是菱形．希望小组的证明：四边形是平行四边形，．即．由作图可知：．四边形是平行四边形．，平行四边形是菱形．（依据）智慧小组的作法：如图3，①连接，作的垂直平分线分别交，，于点，点和点．②连接，．结论：四边形是菱形．智慧小组的证明：由作图可知：直线垂直平分．，．…任务一：请补充上面证明过程中的“依据”(1)依据：______________；任务二：(2)请将智慧小组的证明过程补充完整；任务三：(3)在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法）20．数学活动：我们已经知道：对于任意一个四边形，连接它的四边的中点所构成的四边形是平行四边形，如图1：活动一：(1)请你连接矩形和菱形四边的中点，猜想所构成的四边形的形状；矩形的中点四边形的形状是：________________；菱形的中点四边形的形状是：________________；活动二：(2)猜想，在一个什么样的四边形中，顺次连接其各边中点，可以得到一个正方形．小明的猜想是正方形，小红说不仅仅是正方形，请你画出小红所说的四边形，并描述其特点．21．综合与探究问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：(1)请解答老师提出的问题；实践探究：(2)勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明；问题解决：(3)善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果．22．【问题背景】如图1，在正方形中，P是上一点，点E在的延长线上，且，与交于点F，连接．(1)【初步认识】猜想线段和的数量关系．(2)【深入思考】请求出的度数．(3)【延伸迁移】如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由．23．在正方形中，F是边上一点，，且．(1)如图1，过点P作于点E，求证：；(2)如图2，连接交于点G，求证：；(3)在（2）的条件下，若，，请直接写出的长．24．在四边形中，，，，，．(1)如图1，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动，运动到点即停止．点同时从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度做往返运动，当点返回点时停止运动，连接．设点的运动时间为．①的长为__________；②当四边形是矩形时，求的值；(2)如图2，点是上一动点，点是边上的一点，且，连接，，若在直线左侧存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出的长．参考答案一、选择题1．D解：如图：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）∴当时，四边形是菱形．2．D解：设正方形的边长为a，∵将一个正方形变为一个含角的菱形，∴前后变化边长不变，即它们的周长相等，故A错误；如图，连接，，，，∵四边形是正方形，四边形是菱形，且，∴，，∴是等边三角形，，它们的对角线的夹角都为，故C错误，∴，∴，，∴，∴菱形的面积为，两条对角线的和为，∵正方形的面积为，两条对角线的和为，且，∴变形后面积变小了，故B错误，∵，且，∴，∴变形后两条对角线的和变小了，故D正确．3．D解：如图所示，过点作于点，连接，由题目中所作线段可知平分，，四边形是菱形，，，，，在和中，由，，设，则，，由勾股定理得，，且，，解得，．4．A解：∵四边形是菱形，∴，．∵，，∴，∴．∵，，∴，∴．5．C解：设的短直角边，长直角边，中间最小正方形的面积为，，即，，，，，四边形为正方形，，，四边形为矩形，，，四个直角三角形全等，结合全等三角形性质同理可得，，，，，解得，正方形的面积．6．C解：四边形和四边形分别是菱形和矩形，，，，，，，，，，，在矩形中，，，矩形的面积为．7．C解：∵点D、E是、边的中点，∴，且，，∵，∴四边形是菱形，∴，同理求得，……，∴.8．B解：∵四边形是平行四边形，∴，，，，∴，∵，，∴，∴，在和中，，∴，则结论①正确；∴，又∵，，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），则结论②正确；如图，连接，∵，∴平行四边形是菱形，∴，即，∴平行四边形是菱形，则结论③正确；如图，连接，∵是的中点，，∴垂直平分，∴，∴，假设四边形是正方形，则，∴，由已知条件无法得出这个结论，∴假设不成立，结论④不正确；综上，结论中正确的是①②③．9．B解：过点E作于点P，于点Q，∵正方形的边长为3，∴，，，∴在中，，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴四边形是矩形，∵，，∴，∴，∴矩形是正方形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．在中，，，又，∴，解得（负值舍去），∴，∴．10．B解：根据正方形，点，，轴，得，，当直线“击中”正方形的点，则，解得；故直线从此位置向右移动时，都能击中正方形，k的值逐渐变大；当直线“击中”正方形的点，则，解得；故直线从此位置向左移动时，都能击中正方形，k的值逐渐变小；故k的取值范围是；二、填空题。11．解：菱形的周长为，菱形的边长，设对角线，交于点，菱形对角线互相垂直平分，且平分内角，，，，，，由勾股定理得，，，菱形面积.12．解：由题意可得，，，由勾股定理可得，∵以为圆心，为半径画弧交射线于点，∴，∴，∴．13．解：设，∵四边形是矩形，∴，，，∴，，在中，，在中，点是的中点，∴，∴，∵是的外角，∴，∵，∴，∴，∵，∴．14．解：过点作，则，，正方形，，，，，，，，，，，，，，设，则，，，解得，，，正方形的面积为．15．解：连接、，如图，四边形和四边形都是正方形，，，，，，，，在中，，是的中点，．16．3解：四边形是平行四边形，，要使最小，只需最小，点是的中点，是定点，点在上，当时，的值最小，连接，在中，，则，∵，∴，又点是的中点，是的中位线，，，，.三、解答题．17．证明：∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．18．（1）解：∵，∴设，则，∵，∴，∵菱形的边长为，∴，∴，∴，，∵四边形是菱形，∴轴，，∴．（2）解：由（1）可知点，，∴，设直线的解析式为，∴，解得．∴直线的解析式为．19．(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(2)证明过程补充如下：由作图可知：直线垂直平分，，，在等腰三角形中，，．四边形是平行四边形，，，，，，四边形是菱形．(3)四边形即为所求作的菱形（答案不唯一）20．（1）解：矩形的中点四边形：如图，矩形，顺次连接各边中点，矩形，，在中，分别为的中点，，同理可得，，，，，四边形是菱形，矩形各边中点构成的四边形是菱形；菱形的中点四边形：如图，菱形，顺次连接菱形四边中点∵菱形∴∵、、、分别为、、、中点∴，，，∴四边形为平行四边形，∵，∴，∴，∴四边形为矩形；(2)如图，四边形中，对角线相等且互相垂直．证明：顺次连接各边中点，由三角形中位线定理可得，，，，，四边形是平行四边形，∵，∴，四边形是正方形．21．(1)，证明如下：如图，延长，相交于点，四边形是平行四边形，，，．为的中点，，，，即为的中点，又，∴在中，；(2)四边形为平行四边形，证明如下：如图，由折叠可知，．为的中点，，，．，，，．四边形为平行四边形，，四边形为平行四边形；（3）解：如图，连接，∵四边形是矩形∴，∵为的中点∴∴由折叠得，，即∴∴∴由折叠得，，，∴由（2）得，∴∴∴四边形的面积．22．（1）解：∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：由（1）得，，，∵四边形是正方形，，，，，．，，又，；(3)，理由如下：连接，如图，在菱形中，，，．又∵，，，．，，，∵四边形是菱形，∴，，∴，，∴，∴，又，∴，又∵，是等边三角形，∴，∴．23.(1)证明：∵正方形，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；(2)证明：如图，连接，过点P作于点E，由（1）得：，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：如图，连接，过点G作于点M，作于点N，由（2）得，，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴四边形为矩形；，∴，∴四边形为正方形，∴，∴，∴，∴，∴．24．（1）解：①如图，过点作于，，，，且，即，四边形为矩形，，，在中，．②由题意可得，点从出发，沿运动，速度为每秒3个单位长度，，则从到