重积分的应用课件3

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一、曲面的面积下页元素法因为点M处的法向量为n

(

fx

fy

1)

设dA为曲面上点M处的面积元素

dA在xOy平面上的投影为小闭区域d

点M在xOy平面上的投影为点P(x

y)

因为M处的切平面与xOy面的夹角为(n

^k)

所以

dA

cos(n

^k)

d

所以dA

|n|d

cos(n

^k)

|n|

1

又因为n

k

|n|cos(n

^k)

1

曲面的面积元素设曲面S的方程为z

f(x

y)

f(x

y)在区域D上具有连续偏导数

所以一、曲面的面积曲面的面积元素设曲面S的方程为z

f(x

y)

f(x

y)在区域D上具有连续偏导数

设dA为曲面上点M处的面积元素

dA在xOy平面上的投影为小闭区域d

点M在xOy平面上的投影为点P(x

y)

因为点M处的法向量为n

(

fx

fy

1)

所以下页下页一、曲面的面积曲面的面积设曲面S的方程为z

f(x,y),f(x,y)在区域D上具有连续偏导数,则曲面S的面积为曲面的面积元素设曲面S的方程为z

f(x

y)

f(x

y)在区域D上具有连续偏导数

则曲面的面积元素为曲面的面积公式:讨论

(1)曲面x

g(y

z)的面积如何求？

(2)曲面y

h(z

x)的面积如何求？提示

下页其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域

其中Dzx是曲面在zOx面上的投影区域

球面的面积A为上半球面面积的两倍

解

例1

求半径为R的球的表面积

提示

此积分的被积函数是无界的

因此这是一种反常积分

下页球面的面积A为上半球面面积的两倍

解

例1

求半径为R的球的表面积

首页分析

在点P(x,y)处取一直径很小的小薄片,

其面积(面积元素)为ds,其质量认为集中于点P,

其值近似为

(x,y)ds.

P点对y轴的静矩为dMy

x

(x

y)d

分析

P点对y轴的静矩为dMy

x

(x

y)d

设质心的横坐标为

x

薄片的质量为M

则

x

M

My

薄片对y轴的静矩为二、质心ds

P(x,y)下页

设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D

其面密度

(x

y)是闭区域D上的连续函数

则该平面薄片的质心坐标为

分析

P点对x轴的静矩为dMx

y

(x

y)d

设质心的横坐标为

y

薄片的质量为M

则

y

M

Mx

薄片对x轴的静矩为二、质心ds

P(x,y)下页

设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D

其面密度

(x

y)是闭区域D上的连续函数

则该平面薄片的质心坐标为

二、质心

设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D

其面密度

(x

y)是闭区域D上的连续函数

则该平面薄片的质心坐标为

讨论

设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D

其面密度是常数

如何求该平面薄片的质心(称为形心)？提示

下页下页二、质心

类似地

设一物体占有空间闭区域

其密度

(x

y

z)是闭区域

上的连续函数

则该物体的质心坐标为

设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D

其面密度

(x

y)是闭区域D上的连续函数

则该平面薄片的质心坐标为

解

下页

例2

求两圆

2sin

和

4sin

之间的均匀薄片的质心

提示

取半球体的对称轴为z轴,原点取在球心上

解

例3

求半径为a的均匀半球体的质心

半球体所占空间闭区可表示为

{(x

y

z)|x2

y2

z2

a2

z

0}

提示

下页

取半球体的对称轴为z轴,原点取在球心上

解

例3

求半径为a的均匀半球体的质心

半球体所占空间闭区可表示为

{(x

y

z)|x2

y2

z2

a2

z

0}

首页转动惯量元素

在点P(x,y)处取一直径很小的小薄片,

其面积(面积元素)为ds,其质量认为集中于点P,

其值近似为r(x,y)ds.

P点对x轴和对y轴的转动惯量为

dIx

y2

(x

y)d

dIy

x2

(x

y)d

三、转动惯量下页ds

P(x,y)

设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D

其面密度

(x

y)是D上的连续函数,

则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为三、转动惯量

类似地

设一物体占有空间闭区域

其密度

(x

y

z)是

上的连续函数

则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为

设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D

其面密度

(x

y)是D上的连续函数,

则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为下页下页

所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix

例5

求半径为a的均匀半圆薄片(面密度为常量

)对于其直径边的转动惯量

解

取坐标系如图

薄片所占闭区域D可表示为D

{(x

y)|x2

y2

a2

y

0}

例6

求密度为

的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量

取球心为坐标原点

z轴与轴l重合

又设球的半径为a

解

球体所占空间闭区域可表示为

{(x

y

z)|x2

y2

z2

a2}

所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz

首页四、引力下页

设物体占有空间有界闭区域

其密度

(x

y

z)为

上的连续函数

求物体对于物体外一点P0(x0

y0

z0)处的单位质量的质点的引力

设在

内点P(x

y

z)处的体积元素为dv

则点P对位于点P0处的单位质量的质点的引力近似为其方向为r

(x

x0

y

y0

z

z0)

r

|r|

dF

(dFx

dFy

dFz)

将dFx、dFy、dFz在

上分别积分

即可得Fx、Fy、Fz

从而得F

(Fx、Fy、Fz)