新人教版高中数学必修第一册 5.4　5.4.2　第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值 教案

第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值(教师独具内容)课程标准：1.掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．教学重点：y＝sinx，y＝cosx的单调性与最值．教学难点：y＝sinx，y＝cosx的性质的综合应用．核心素养：1.通过单调性与最值的计算，提升数学运算与逻辑推理素养.2.利用函数图象解决单调性与最值问题，培养直观想象素养.知识点正弦函数、余弦函数的性质函数名称函数性质y＝sinxy＝cosx相同处定义域eq\x(\s\up1(01))Req\x(\s\up1(02))R值域eq\x(\s\up1(03))[－1,1]eq\x(\s\up1(04))[－1,1]周期性eq\x(\s\up1(05))最小正周期2πeq\x(\s\up1(06))最小正周期2π不同处图象奇偶性eq\x(\s\up1(07))奇函数eq\x(\s\up1(08))偶函数单调性在eq\x(\s\up1(09))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上单调递增；在eq\x(\s\up1(10))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上单调递减在eq\x(\s\up1(11))[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增；在eq\x(\s\up1(12))[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减最值x＝eq\x(\s\up1(13))2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，ymax＝1；x＝eq\x(\s\up1(14))2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)时，ymin＝－1x＝eq\x(\s\up1(15))2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝eq\x(\s\up1(16))2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1对称性对称中心：eq\x(\s\up1(17))(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：eq\x(\s\up1(18))x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)对称中心：eq\x(\s\up1(19))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)；对称轴：eq\x(\s\up1(20))x＝kπ(k∈Z)1．解读正弦、余弦函数的单调性(1)正弦、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间．(2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．(3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．2．解读正弦函数、余弦函数的最值与对称性(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1.(2)对有些函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数的定义域来定．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值．(4)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(5)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．()(2)存在x∈R满足cosx＝eq\r(3).()(3)在区间[0,2π]上，函数y＝sinx仅在x＝eq\f(π,2)时取得最大值1.()(4)y＝sinx在[0，π]上是单调递增的．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．做一做(1)函数y＝－cosx在区间－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)上是()A．增函数 B．减函数C．先减后增函数 D．先增后减函数(2)下列x的取值中，能使函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx－\f(π,3)))取得最大值的是()A．x＝－eq\f(1,6) B．x＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(5,6) D．x＝eq\f(4,3)(3)函数y＝sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)≤x≤\f(5π,6)))的值域为________.(4)coseq\f(2π,7)________coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,8)))(填“>”或“<”)．答案(1)C(2)C(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))(4)<题型一正弦函数、余弦函数的单调区间例1求下列函数的单调递增区间：(1)y＝1－sineq\f(x,2)；(2)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))；(3)y＝logeq\s\do7(\f(1,2))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))；(4)y＝cos2x.[解](1)由题意可知函数y＝sineq\f(x,2)的单调递减区间即为y＝1－sineq\f(x,2)的单调递增区间，由2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(x,2)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)，所以函数y＝1－sineq\f(x,2)的单调递增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．(2)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得eq\f(5π,12)＋kπ≤x≤eq\f(11π,12)＋kπ(k∈Z)，故函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋kπ，\f(11π,12)＋kπ))(k∈Z)．(3)由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))>0，,2kπ＋\f(π,2)≤2x＋\f(π,4)≤2kπ＋\f(3π,2)k∈Z，))解得2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)<2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋eq\f(π,8)≤x<kπ＋eq\f(3π,8)(k∈Z)，故所求单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))(k∈Z)．(4)函数y＝cos2x的单调递增区间由下面的不等式确定：由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，得kπ－eq\f(π,2)≤x≤kπ，k∈Z，故函数y＝cos2x的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z.[条件探究]将本例(2)的函数改为“y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))”，求函数的单调递增区间．解由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，得－eq\f(5π,12)＋kπ≤x≤eq\f(π,12)＋kπ(k∈Z)．故函数的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)＋kπ，\f(π,12)＋kπ))(k∈Z)．求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数．当A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调减区间内，可求得函数的单调减区间．当A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．最后，需将最终结果写成区间形式．[跟踪训练1]求下列函数的单调区间：(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))；(2)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x)).解(1)当－eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(x,2)－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，函数单调递增，解得－eq\f(π,3)＋4kπ≤x≤eq\f(5π,3)＋4kπ，k∈Z，故函数的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋4kπ，\f(5π,3)＋4kπ))，k∈Z.当eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(x,2)－eq\f(π,3)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z时，函数单调递减，即eq\f(5π,3)＋4kπ≤x≤eq\f(11π,3)＋4kπ，k∈Z时，函数单调递减．故函数的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)＋4kπ，\f(11π,3)＋4kπ))，k∈Z.(2)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，由2kπ≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(7π,12)，k∈Z，所以函数的单调递减区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,12)，kπ＋\f(7π,12)))，k∈Z.由－π＋2kπ≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ，k∈Z，得－eq\f(5π,12)＋kπ≤x≤kπ＋eq\f(π,12)，k∈Z.所以函数的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5,12)π，kπ＋\f(π,12)))，k∈Z.题型二利用三角函数的单调性比较大小例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,16)))与sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))；(2)sin556°与cos516°；(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))与coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4))).[解](1)∵－eq\f(π,2)<－eq\f(π,10)<－eq\f(π,16)<eq\f(π,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,16)))>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10))).(2)sin556°＝sin(360°＋196°)＝sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，cos516°＝cos(360°＋156°)＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°，∵0°<16°<66°<90°，∴sin16°<sin66°，从而－sin16°>－sin66°，即sin556°>cos516°.(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))＝coseq\f(23π,5)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(3π,5)))＝coseq\f(3π,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))＝coseq\f(17π,4)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,4).∵0<eq\f(π,4)<eq\f(3π,5)<π，且y＝cosx在[0，π]上是减函数，∴coseq\f(3π,5)<coseq\f(π,4)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))<coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4))).比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，然后利用函数的单调性比较．[跟踪训练2]比较下列各组数的大小：(1)sin250°与sin260°；(2)coseq\f(15π,8)与coseq\f(14π,9)；(3)cos1与sin1.解(1)∵函数y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin250°>sin260°.(2)coseq\f(15π,8)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,8)))＝coseq\f(π,8)，coseq\f(14π,9)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(4π,9)))＝coseq\f(4π,9).∵函数y＝cosx在[0，π]上单调递减，且0<eq\f(π,8)<eq\f(4π,9)<π，∴coseq\f(π,8)>coseq\f(4π,9)，∴coseq\f(15π,8)>coseq\f(14π,9).(3)∵cos1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))，而0<eq\f(π,2)－1<1<eq\f(π,2)，且y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))<sin1，即cos1<sin1.题型三正弦函数、余弦函数的最值问题例3(1)函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________.(2)已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)＋m的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0)).①求实数m的值及f(x)的周期与单调递增区间；②若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求f(x)的值域．[解析](1)当0≤x≤9时，eq\f(π,6)x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(7π,6)))，所以函数的值域是[－eq\r(3)，2]，所以最大值与最小值之和是2－eq\r(3).(2)①由题意可知，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(5π,12)＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)＋m＝0，所以m＝－eq\f(1,2)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π.由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得－eq\f(π,3)＋kπ≤x≤eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ))(k∈Z)．②因为0≤x≤eq\f(π,2)，所以0≤2x≤π，所以eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6).所以－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))≤1.所以f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).[答案](1)2－eq\r(3)(2)见解析[条件探究]将本例(2)②条件“若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))”改为“若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,12)))”，其他条件不变．求f(x)的最大值、最小值．解由条件可得f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).因为－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,12)，所以－eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,3)，所以－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))≤eq\f(\r(3),2)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的最大值为eq\f(\r(3),2)，最小值为－eq\f(1,2).[结论探究]若本例(2)条件不变，求f(x)的对称轴方程．解由已知可得f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，由2x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)，k∈Z，所以函数f(x)的对称轴方程为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)，k∈Z.三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对a正负的讨论．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．[跟踪训练3]求函数y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))的最大值和最小值．解y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3＝2sin2x＋2sinx＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,2).∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴eq\f(1,2)≤sinx≤1.当sinx＝1时，ymax＝5；当sinx＝eq\f(1,2)时，ymin＝eq\f(5,2).1．函数f(x)＝－2sinx＋1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))的值域是()A．[1,3] B．[－1,3]C．[－3,1] D．[－1,1]答案B解析∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))，∴sinx∈[－1,1]，∴－2sinx＋1∈[－1,3]．2．下列关系式中正确的是()A．sin11°<cos10°<sin168° B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10° D．sin168°<cos10°<sin11°答案C解析∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y＝sinx的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.3．(多选)已知函数y＝sinx在区间M上单调递增，那么区间M可以是()A．(0,2π) B．(0，π)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))答案CD解析根据函数y＝sinx的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)，当k＝0时，单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，由于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,4)))为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的子区间，故选CD.4．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)≤x≤\f(π,6)))的值域是________.答案[0,2]解析∵－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,6)，∴0≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，∴0≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1，∴y∈[0,2]．5．求函数y＝1－sin2x的单调递增区间．解求函数y＝1－sin2x的单调递增区间，转化为求函数y＝sin2x的单调递减区间，由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得eq\f(π,4)＋kπ≤x≤eq\f(3π,4)＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋kπ，\f(3π,4)＋kπ))(k∈Z)．一、选择题1．下列函数中，以eq\f(π,2)为周期且在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|答案A解析作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图．由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为eq\f(π,2)，在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为eq\f(π,2)，在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A.2．函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最小值为()A．－1 B．－eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(2),2) D．0答案B解析∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴－eq\f(π,4)≤2x－eq\f(π,4)≤eq\f(π,4)，∴当2x－eq\f(π,4)＝－eq\f(π,4)时，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))取得最小值－eq\f(\r(2),2).3．函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，x∈[－π，0]的单调递增区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(5π,6))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，－\f(π,6)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))答案D解析令2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得2kπ－eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，又－π≤x≤0，∴－eq\f(π,6)≤x≤0，故选D.4．已知sinα＞sinβ，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则()A．α＋β＞π B．α＋β＜πC．α－β≥－eq\f(3π,2) D．α－β≤－eq\f(3π,2)答案A解析∵β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，∴π－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，且sin(π－β)＝sinβ.∵y＝sinx在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上单调递增，∴sinα＞sinβ⇔sinα＞sin(π－β)⇔α＞π－β⇔α＋β＞π，故选A.5．(多选)函数y＝sinωx(ω为正整数)在区间[0,1]上至少出现10次最大值，则ω的值可能是()A．57 B．59C．61 D．63答案BCD解析因为函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现10次最大值，所以9T＋eq\f(T,4)≤1，即9·eq\f(2π,ω)＋eq\f(1,4)·eq\f(2π,ω)≤1，解得ω≥eq\f(37π,2).又ω为正整数，所以ω>58.故选BCD.二、填空题6．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上的值域为________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))解析∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2))).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，即－eq\f(1,2)≤y≤1.7．已知f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(其中ω>0)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,18)＋\f(2,3)kπ，θ＋\f(2,3)kπ))(k∈Z)，则θ＝________.答案eq\f(π,18)解析∵f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(其中ω>0)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,18)＋\f(2,3)kπ，θ＋\f(2,3)kπ))(k∈Z)，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)可得，－eq\f(5π,6ω)＋eq\f(2kπ,ω)≤x≤eq\f(π,6ω)＋eq\f(2kπ,ω)(k∈Z)，∴ω＝3，eq\f(π,6ω)＝θ，即θ＝eq\f(π,18).8．函数y＝eq\f(2＋cosx,2－cosx)的最大值为________，取最大值时x的取值集合为________.答案3{x|x＝2kπ，k∈Z}解析由y＝eq\f(2＋cosx,2－cosx)，得y(2－cosx)＝2＋cosx，即cosx＝eq\f(2y－2,y＋1)(y≠－1)，因为－1≤cosx≤1，所以－1≤eq\f(2y－2,y＋1)≤1，解得eq\f(1,3)≤y≤3，所以函数y＝eq\f(2＋cosx,2－cosx)的最大值为3.当cosx＝1时y取得最大值，此时x的取值集合为{x|x＝2kπ，k∈Z}．三、解答题9．已知函数f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4))).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．解(1)令－π＋2kπ≤3x＋eq\f(π,4)≤2kπ(k∈Z)，可得－eq\f(5π,12)＋eq\f(2,3)kπ≤x≤－eq\f(π,12)＋eq\f(2,3)kπ(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)＋\f(2,3)kπ，－\f(π,12)＋\f(2,3)kπ))(k∈Z)．(2)当3x＋eq\f(π,4)＝－π＋2kπ(k∈Z)，即x＝－eq\f(5π,12)＋eq\f(2,3)kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为－2.10．求下列函数的最大值和最小值．(1)y＝3＋2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))；(2)y＝－sin2x＋eq\r(3)sinx＋eq\f(5,4).解(1)因为－1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1，所以当coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝1时，ymax＝5；当coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝－1时，ymin＝1.(2)y＝－sin2x＋eq\r(3)sinx＋eq\f(5,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(\r(3),2)))2＋2.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝eq\f(\r(3),2)时，函数取得最大值，ymax＝2；当sinx＝－1时，函数取得最小值，ymin＝eq\f(1,4)－eq\r(3).1．函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))(x∈[0，π])的单调递增区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))答案A解析函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))＝－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，令2kπ＋eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，解得kπ＋eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，所以函数的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,3)，kπ＋\f(5π,6)))，k∈Z.再根据x∈[0，π]，可得所求函数的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6))).2．已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,4)))(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1,1]上的单调递增区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(3,4))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(3,4))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(3,4)))答案C解析由已知得2＝eq\f(2π,2ω)⇒ω＝eq\f(π,2)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx－\f(π,4)))，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤πx－eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(1,4)＋2k≤x≤eq\f(3,4)＋2k，k∈Z，又x∈[－1,1]，所以－eq\f(1,4)≤x≤eq\f(3,4)，所以函数f(x)在[－1,1]上的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(3,4))).3．如果函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),2)＋a在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5π,6)))上的最小值为eq\f(\r(3),2)，则a的值为________.答案eq\f(1,2)解析由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5π,6)))，得x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(7π,6))).当x＋eq\f(π,3)＝eq\f(7π,6)时，f(x)min＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3)