《集合间的基本关系》习题#

《集合间的基本关系》习题#一、概念辨析与基础判断习题1：判断下列说法是否正确，并简述理由。1.任何集合都有子集。2.空集是任何集合的真子集。3.若集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2ⁿ-1。4.若A⊆B且B⊆A，则A=B。5.集合{1,2}与集合{2,1}是相等集合，但不是互为子集。解析与思考：这类问题主要考察对基本定义的准确把握。1.正确。根据子集的定义，对于任何集合A，空集∅是其子集，且A本身也是其自身的子集。2.错误。空集是任何非空集合的真子集。空集不是它自身的真子集。3.错误。若集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2ⁿ，其中包括空集。真子集个数为2ⁿ-1，非空真子集个数为2ⁿ-2。4.正确。这是集合相等的一个重要判定定理，即互为子集的两个集合相等。5.错误。集合中的元素具有无序性，所以{1,2}与{2,1}是相等集合。而任何集合都是其自身的子集，所以它们互为子集，且互为相等集合而非真子集。二、集合间关系的判定习题2：设集合A={x|x是等边三角形}，B={x|x是等腰三角形}，C={x|x是锐角三角形}，试判断A、B、C之间的包含关系，并说明理由。解析与思考：要判定集合间的包含关系，关键在于明确各集合的元素特性。等边三角形是特殊的等腰三角形（底边与腰相等），因此任何属于A的元素都属于B，即A⊆B。又因为存在等腰三角形不是等边三角形（如两腰长为2，底边长为1的等腰三角形），所以A⫋B（A是B的真子集）。等边三角形的三个角都是60°，故一定是锐角三角形。因此A⊆C。但存在锐角三角形不是等边三角形（如三个角分别为50°、60°、70°的三角形），所以A⫋C。B与C的关系则较为复杂。等腰三角形可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；同样，锐角三角形也不一定是等腰三角形。因此B与C之间不存在包含关系，即B⊈C且C⊈B。习题3：已知集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，N={x|x=4k±1,k∈Z}，试判断M与N的关系。解析与思考：此类问题涉及用描述法表示的集合间关系的判定，通常需要分析元素的构成。集合M表示所有奇数组成的集合。集合N中的元素，当k为整数时，4k+1和4k-1（可变形为4(k-1)+3）分别表示被4除余1和余3的数，显然都是奇数，因此N⊆M。反之，对于M中的任意元素x=2k+1，若k为偶数，设k=2m，则x=4m+1∈N；若k为奇数，设k=2m+1，则x=2(2m+1)+1=4m+3=4(m+1)-1∈N。因此M中的任何元素都属于N，即M⊆N。综上，M=N。习题4：判断下列各组集合A与B之间的关系：1.A={0}，B={x|x²=0}2.A={x|x>5}，B={x|x>6}3.A={(x,y)|x+y=2}，B={x|x+y=2}解析与思考：1.B集合是方程x²=0的解集，即B={0}，因此A=B。2.所有大于6的数一定大于5，但大于5的数不一定大于6（如5.5），因此B⫋A。3.注意！A集合的元素是平面直角坐标系中直线x+y=2上的所有点，是点集；而B集合的描述法虽然形式上有x和y，但竖线后的条件x+y=2并未明确y的地位，若按常规理解，这里的代表元素是x，那么B集合是满足x+y=2的x的取值集合，但y未被量化，这种表示不规范，通常我们会认为这种表示有误或不清晰。若强行按代表元素是x理解，则A是点集，B是数集（若y为参数），二者无包含关系。此小题旨在强调区分集合的代表元素是何等重要！三、利用集合关系求参数范围习题5：已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}。1.若B⊆A，求实数m的取值范围。2.若A⊆B，求实数m的取值范围。解析与思考：这类问题是集合关系中的重点和难点，需要特别注意空集的情况，以及端点值的取舍。1.B⊆A：当B为空集时，满足B⊆A。此时m+1>2m-1，解得m<2。当B不为空集时，即m≥2时，要使B⊆A，需满足：m+1≥-2（B的左端点不小于A的左端点）2m-1≤5（B的右端点不大于A的右端点）解得：-3≤m≤3。结合前提m≥2，此时2≤m≤3。综上，m的取值范围是m≤3。2.A⊆B：此时B一定不能是空集，否则A不可能是B的子集。因此m+1≤2m-1，即m≥2。要使A⊆B，需满足：m+1≤-2（B的左端点不大于A的左端点）2m-1≥5（B的右端点不小于A的右端点）解得：m≤-3且m≥3。但m≥2与m≤-3无交集，因此不存在这样的实数m，使得A⊆B。即m的取值范围是∅。习题6：设集合A={1,3,a}，B={1,a²-a+1}，且B⫋A，求实数a的值。解析与思考：因为B⫋A，所以B中的所有元素都属于A，且A中至少有一个元素不属于B。因此，a²-a+1必须是A中的元素，即a²-a+1=3或a²-a+1=a。若a²-a+1=3，则a²-a-2=0，解得a=2或a=-1。当a=2时，A={1,3,2}，B={1,3}，满足B⫋A。当a=-1时，A={1,3,-1}，B={1,(-1)²-(-1)+1}={1,3}，满足B⫋A。若a²-a+1=a，则a²-2a+1=0，解得a=1。当a=1时，A={1,3,1}，根据集合元素的互异性，A={1,3}，B={1,1²-1+1}={1,1}={1}，此时B⫋A成立。但需注意，当a=1时，集合A的表示出现了重复元素，虽然化简后成立，但在解题过程中需指出集合元素的互异性。不过，本题主要考察集合关系，a=1这个解是否保留，取决于题目对原始集合表示的宽容度。严格来说，若A最初定义为{1,3,a}，当a=1时，A就是{1,3}，B是{1}，B是A的真子集。因此a=1也是一个解。此外，还需检验a的值是否会导致集合A或B中的元素不满足互异性，但在上述求解过程中，我们已经间接考虑了这一点（如a=1时A化简后元素互异）。综上，a的值可以为-1，1，2。四、解题要点回顾1.深刻理解定义：子集、真子集、集合相等的定义是解决一切集合关系问题的基础。要特别注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。2.关注代表元素：集合的代表元素决定了集合的类型（如数集、点集、图形集等），不同类型的集合之间没有包含关系。3.准确进行符号表达：区分“∈”（元素与集合的关系）与“⊆”、“⫋”（集合与集合的关系）。4.分类讨论思想：在处理含有参数的集合关系问题时，尤其是涉及“B⊆A”这类问题，