四川省雅安市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

四川省雅安市2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．乘积展开后的项数为(

).A.9 B.10 C.11 D.122．在等比数列中，，，则(

).A.32 B.16 C.8 D.73．一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中至少有1罐有奖的抽取方法种数为(

).A.28种 B.38种 C.44种 D.48种4．现有8道四选一的单选题，学生甲对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为，学生甲从这8道题中随机选择1题，学生甲做对该题的概率是(

).A. B. C. D.5．若数列为正项等比数列，则下列一定为等差数列的是(

).A. B. C. D.6．已知曲线在点P处的切线方程为，则实数a的值为(

)A.1 B.2 C.0 D.-17．“斐波那契数列”由意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.斐波那契数列满足：，，，记其前n项和为，设(t为常数)，则(

).A.t B. C. D.8．已知定义在R上的可导函数满足，且，若，，，则a，b，c的大小关系为(

).A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知随机变量X的分布列为X-101P则下列结论正确的是(

).A.若，则 B.若，则C.若，则 D.的最小值为-310．已知函数，则(

).A.无极值点B.有两个零点C.当时，D.不等式的解集为11．已知数列的前n项和为，若，，则(

).A. B.存在，或C.数列为递减数列 D.对任意，三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知随机变量X服从正态分布，则________.13．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.现有红、黄、蓝三种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，则不同的涂法有____________种.14．若方程有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间.16．（15分）已知数列中，，.(1)证明：是等差数列；(2)记为的前n项和，求数列的前n项和.17．（15分）已知二项式.(1)若其展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为，求n的值；(2)若，求展开式中所有的有理项；(3)设展开式中的各项系数和为a，则当时，求a除以7所得余数.（参考数据：，，）18．（17分）某商场为了刺激消费，在端午节期间举行购物抽奖活动，根据不同支付方式，设置两种不同的抽奖方案.方案1：通过微信支付的顾客，可通过商场设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、5元、10元的奖金，且抽到0元，5元，10元的概率均为.方案2：通过现金支付的顾客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第i（，2，3）次取到红球，可得元奖金，取到白球没有奖金.(1)游客甲通过微信支付，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求；(2)游客乙通过现金支付，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列；(3)试从顾客所得奖金金额的期望值分析，顾客选择哪种支付方式更划算.19．（17分）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，存在不相等的、，满足，证明：；(3)对任意的，恒成立，求a的取值范围.参考答案1．答案：D解析：由分步乘法计数原理可得：第一步从，任选1个数共2种选法，第二步从，任选1个数共2种选法，第三步从，，任选1个数共3种选法，故展开后的项数为：.2．答案：B解析：由等比数列性质可得：，.3．答案：B解析：情况1：1罐有奖、1罐无奖：方法数为，情况2：2罐都有奖：方法数为，总方法数：种.4．答案：C解析：设事件B为“学生甲随机选1题且做对该题”，事件A为“选到有思路的题目”，则为“选到没有思路的题目”，由题意可知：，，，，由全概率公式得：.5．答案：A解析：设正项等比数列的公比为，通项公式为，选项A：令，则：，，差为常数，因此一定是等差数列，A选项正确；选项B：令，，不是常数，反例：若，则，，，，，差不相等，B选项错误；选项C：令，则，，不是常数，反例：，，，，差为3和12，不相等，C选项错误；选项D：令，则，，不是常数，反例：，，，差不相等，D选项错误.6．答案：C解析：设切点，由导数的几何意义可知，曲线在点P处切线的斜率等于函数在该点的导数值，对求导得，因此，已知切线方程为，其斜率为4，故，解得，即切点坐标为，将切点坐标代入切线方程得，解得.7．答案：A解析：根据数列前n项和的性质，对任意，，有，因此：，结合斐波那契数列的递推关系，可得，，代入上式得：，已知，故原式的值为t.8．答案：B解析：由可知分子分母同号：当即时，，故在上单调递增，当即时，，故在上单调递减，由可知，的图象关于直线对称，因此。计算得，因此在单调递增区间上，自变量满足：，即，故.9．答案：ABC解析：A选项，由题意得，又，故，解得，A正确；B选项，由题意得，又，故，所以，B正确；C选项，，即，又，解得，C正确；D选项，，故，，因为，所以，故，，所以的最小值不是-3，D错误.10．答案：BCD解析：因为函数，所以，当或时，单调递减；当时，单调递增，所以有极小值点，极大值点，故A错误；极小值为，极大值为，大致图像为故有两个零点，故B正确；当时，单调递增，此时，故，故C正确；令解得或，由上图可得，不等式的解集为，故D正确.11．答案：ACD解析：选项A：已知，，，因此A选项正确；选项B：对递推公式变形得：，对所有成立；下面用数学归纳法证明恒成立：由已知，若，则，因为，所以，故，因此不存在或，B选项错误；选项C：（因为），故，是递减数列，C选项正确；选项D：用数学归纳法证明不等式：时：，，，不等式成立，假设时不等式成立：即，开口向下，对称轴为，因为，所以在单调递增，故，因为，，所以当时，，因此对任意，不等式成立，D选项正确.12．答案：解析：正态分布的密度曲线关于直线对称，由题可知随机变量X服从正态分布，即，因此其密度曲线的对称轴为，根据对称性可得.13．答案：6解析：显然①和③颜色需相同，②和④颜色需相同，①和③的颜色与②和④颜色不同，⑤需单独一种颜色，3种不同的颜色进行全排列，共有种涂法.14．答案：解析：已知，分离参数得：，方程有三个不相等实根，等价于直线与函数的图象有三个不同交点，对求导得：，又恒成立，当时：，故，在上单调递增，且时，时，因此对任意，在上仅有1个实根，当时：时，，故，单调递减；当时，，故，单调递增，因此在处取极小值：且和时，，当时，正半轴仅有这一个根（重根），不符合三个不相等的实数根；当时，直线与正半轴曲线在和内各有一个交点，共2个实根，综上，当时，负半轴1个根，正半轴2个根，总共有3个不相等的实数根，故实数a的取值范围为：.15．答案：(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为解析：(1)函数定义域为.由求导得，，，切线方程为，即.(2)，.令，则，x10故函数单调递增区间为，单调递减区间为.16．答案：(1)见解析(2)解析：(1)已知，由，结合递推关系可知对任意，，等式两边同时除以，整理得，又首项，因此是首项为2、公差为2的等差数列，得证.(2)由(1)得，则的前n项和为，因此，裂项相消得：.17．答案：(1)(2)有理项为，，(3)余数为1解析：(1)二项式展开式中，第k项的二项式系数为，因此第3项二项式系数为，第4项二项式系数为，由题意得：，代入组合数公式，，化简得：.(2)时，二项式展开式的通项为：有理项要求x的指数为整数，即为整数，故r为3的倍数，可取：：，：，：，(3)求a除以7的余数令，得展开式各项系数和，二项式定理可知的展开式中不含有7因子的只有最后一项，所以除以7的余数为1，即a除以7所得余数为118．答案：(1)(2)Y的分布列为：Y051015202530P(3)见解析解析：(1)，即一次抽到5元的奖金，一次抽到10元的奖金，，两次均抽到10元的奖金，；(2)Y的可能取值为0，5，10，15，20，25，30，，即3次均抽到白球，，，即第1次抽到红球，第2次和第3次抽到白球，，，即第2次抽到红球，第1次和第3次抽到白球，，，即第3次抽到红球，第1次和第2次抽到白球，或第1次和第2次抽到红球，第3次抽到白球，，，即第1次和第3次抽到红球，第2次抽到白球，，，即第1次抽到白球，第2次和第3次抽到红球，，，即3次均抽到红球，，故Y的分布列为Y051015202530P(3)顾客选择微信支付更划算，理由如下：设顾客通过微信支付，1次抽奖获得的奖金为Z，则，其中，故，，由于，故顾客选择微信支付更划算.19．答案：(1)当时，在R上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.(2)见解析(3)解析：(1)的定义域为R，.(i)当时，，此时在R上单调递增.(i