2026年江苏省北师大版高中数学高二年级上册第4章函数性质习题

2026年江苏省北师大版高中数学高二年级上册第4章函数性质习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x+1，则当x<0时，f(x)的表达式为（）A．x^2+2x+1B．-x^2-2x-1C．x^2-2x-1D．-x^2+2x-1解析：由奇函数性质f(-x)=-f(x)，当x>0时f(x)=x^2-2x+1，则x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，故选B。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：分段函数f(x)在x=-2时取最小值f(-2)=|-2-1|+|-2+2|=3，其他区间均大于等于3，故选C。3.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且图象过点(0,1)，则a+b的值为（）A．-2B．-1C．1D．2解析：由f'(1)=3+2a+b=0，f(0)=c=1，又f(x)在x=1处极值，需Δ=4a^2-12>0，解得a=-2，b=1，故a+b=-1，选B。4.函数f(x)=ln(x^2+1)-ax在(0,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a>1B．a≥1C．a<1D．a≤1解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-a，单调递减需f'(x)≤0对x>0恒成立，即2x/(x^2+1)≤a，当x→+∞时2x/(x^2+1)→0，故a≥0，又当x=1时f'(1)=1-a≤0，得a≥1，选B。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,4]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=6，由零点定理f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,4)各有一个零点，共3个，选C。6.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，则a的值为（）A．eB．2eC．3eD．4e解析：f'(x)=e^x-a，f(1)=e-a=0，f''(x)=e^x>0，故x=1处为极小值点，解得a=e，选A。7.若函数f(x)=x^2+2ax+1在(-∞,1)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a≤0C．a∈(-∞,-2)D．a∈[-2,+∞)解析：f'(x)=2x+2a，单调递减需2x+2a≤0对x<1恒成立，即x≤-a且x<1，故-a≥1，解得a≤-1，选C。8.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点个数为（）A．2B．3C．4D．5解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得x=±√(2/3)，又g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，故f(x)在x=-2、-√(2/3)、√(2/3)、2处有极值点，共4个，选C。9.函数f(x)=xlnx在(0,1)上的最大值为（）A．-1B．0C．1/eD．1解析：f'(x)=lnx+1，令f'(x)=0得x=1/e，f''(x)=1/x>0，故x=1/e处为极小值点，又f(0^+)=0，f(1)=0，故f(x)在(0,1)上无最大值，选B。10.若函数f(x)=x^3+px^2+qx+1在x=1和x=-1处取得相同的最小值，则p+q的值为（）A．-1B．0C．1D．2解析：f'(x)=3x^2+2px+q，由f(1)=f(-1)得1+p+q+1=1-p+q+1，解得p=0，又f'(1)=3+2p+q=0，解得q=-3，故p+q=-3，选D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最大值是_________参考答案：2解析：f(x)在x=0时取值1，x=1时取值0，x=2时取值1，故最大值为2。2.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+1在x=1处取得极值，且f(1)=3，则a+b的值为_________参考答案：-3解析：f(1)=1+a+b+1=3，解得a+b=1，又f'(1)=3+2a+b=0，联立解得a=-3，b=4，故a+b=1。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,4]上的零点个数为_________参考答案：3解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=6，由零点定理f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,4)各有一个零点，共3个。4.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，则a的值为_________参考答案：e解析：f'(x)=e^x-a，f(1)=e-a=0，f''(x)=e^x>0，故x=1处为极小值点，解得a=e。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处取得_________（极大值/极小值/非极值）参考答案：极小值解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(2)=6>0，故x=2处为极小值点。6.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点个数为_________参考答案：4解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得x=±√(2/3)，又g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，故f(x)在x=-2、-√(2/3)、√(2/3)、2处有极值点，共4个。7.函数f(x)=xlnx在(0,1)上的最大值为_________参考答案：0解析：f'(x)=lnx+1，令f'(x)=0得x=1/e，f''(x)=1/x>0，故x=1/e处为极小值点，又f(0^+)=0，f(1)=0，故f(x)在(0,1)上无最大值。8.若函数f(x)=x^3+px^2+qx+1在x=1和x=-1处取得相同的最小值，则p+q的值为_________参考答案：-3解析：f'(x)=3x^2+2px+q，由f(1)=f(-1)得1+p+q+1=1-p+q+1，解得p=0，又f'(1)=3+2p+q=0，解得q=-3，故p+q=-3。9.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为_________参考答案：3解析：分段函数f(x)在x=-2时取值3，其他区间均大于等于3，故最小值为3。10.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处取得_________（极大值/极小值/非极值）参考答案：极小值解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(1)=-6<0，故x=1处为极大值点。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f(x)在(a,b)上无极值点。（）参考答案：×解析：单调递增函数在端点处可能取得极值，如f(x)=x在(0,1)上单调递增，但x=1处为右端点极值点。2.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处取得极小值。（）参考答案：×解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(2)=6>0，故x=2处为极小值点。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为1。（）参考答案：×解析：分段函数f(x)在x=-2时取值3，其他区间均大于等于3，故最小值为3。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,4]上的零点个数为3。（）参考答案：√解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=6，由零点定理f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,4)各有一个零点，共3个。5.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，则a=e。（）参考答案：√解析：f'(x)=e^x-a，f(1)=e-a=0，f''(x)=e^x>0，故x=1处为极小值点，解得a=e。6.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点个数为4。（）参考答案：√解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得x=±√(2/3)，又g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，故f(x)在x=-2、-√(2/3)、√(2/3)、2处有极值点，共4个。7.函数f(x)=xlnx在(0,1)上的最大值为1/e。（）参考答案：×解析：f'(x)=lnx+1，令f'(x)=0得x=1/e，f''(x)=1/x>0，故x=1/e处为极小值点，又f(0^+)=0，f(1)=0，故f(x)在(0,1)上无最大值。8.若函数f(x)=x^3+px^2+qx+1在x=1和x=-1处取得相同的最小值，则p+q=0。（）参考答案：×解析：f'(x)=3x^2+2px+q，由f(1)=f(-1)得1+p+q+1=1-p+q+1，解得p=0，又f'(1)=3+2p+q=0，解得q=-3，故p+q=-3。9.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值为5。（）参考答案：√解析：分段函数f(x)在x=-3时取值5，其他区间均小于等于5，故最大值为5。10.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处取得极大值。（）参考答案：×解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(1)=-6<0，故x=1处为极大值点。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,4]上的零点分布情况如何？参考答案：f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,4)各有一个零点。解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=6，由零点定理f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,4)各有一个零点。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最值分别是多少？参考答案：最小值3，最大值5。解析：分段函数f(x)在x=-2时取值3，x=-3时取值5，其他区间均介于3和5之间，故最小值为3，最大值为5。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处取得极小值，请说明理由。参考答案：f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=0，f''(x)=6x-6，f''(2)=6>0，故x=2处为极小值点。4.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，求a的值。参考答案：a=e。解析：f'(x)=e^x-a，f(1)=e-a=0，f''(x)=e^x>0，故x=1处为极小值点，解得a=e。5.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点有哪些？参考答案：x=-2，-√(2/3)，√(2/3)，2。解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得x=±√(2/3)，又g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，故f(x)在x=-2、-√(2/3)、√(2/3)、2处有极值点。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处取得极大值，请说明理由。参考答案：f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0，f''(x)=6x-6，f''(1)=-6<0，故x=1处为极大值点。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值点在哪里？参考答案：x=-2。解析：分段函数f(x)在x=-2时取值3，其他区间均大于等于3，故最小值点为x=-2。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,4]上的极值点有哪些？参考答案：x=0，x=2。解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0，故x=0处为极大值点，x=2处为极小值点。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3-px^2+q在x=1和x=-1处取得相同的最小值，且f(0)=1，求p+q的值。解：f(0)=1，得q=1，f'(x)=3x^2-2px，由f(1)=f(-1)得1-p+1=-1-p+1，解得p=0，故p+q=1。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是多少？最小值点在哪里？解：分段函数f(x)在x=-2时取值3，其他区间均大于等于3，故最小值为3，最小值点为x=-2。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,4]上的零点分布情况如何？请说明理由。解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=6，由零点定理f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,4)各有一个零点。4.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，求a的值，并说明理由。解：f'(x)=e^x-a，f(1)=e-a=0，f''(x)=e^x>0，故x=1处为极小值点，解得a=e。5.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点有哪些？请说明理由。解：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得x=±√(2/3)，又g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，故f(x)在x=-2、-√(2/3)、√(2/3)、2处有极值点。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处取得极小值，求f(x)在区间[-1,4]上的最值。解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=6，故最大值为6，最小值为-2。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值是多少？最大值点在哪里？解：分段函数f(x)在x=-3时取值5，其他区间均小于等于5，故最大值为5，最大值点为x=-3。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处取得极大值，求f(x)在区间[-1,4]上的零点分布情况。解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=6，由零点定理f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,4)各有一个零点。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.B4.B5.C6.A7.C8.C9.B10.D解析：2.奇函数性质f(-x)=-f(x)，x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，故选B。3.分段函数f(x)在x=-2时取值3，其他区间均大于等于3，故最小值为3，选C。4.f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=6，由零点定理f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,4)各有一个零点，共3个，选C。5.f'(x)=e^x-a，f(1)=e-a=0，f''(x)=e^x>0，故x=1处为极小值点，解得a=e，选B。6.f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=6，由零点定理f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,4)各有一个零点，共3个，选C。7.f'(x)=e^x-a，f(1)=e-a=0，f''(x)=e^x>0，故x=1处为极小值点，解得a=e，选A。8.f'(x)=2x+2a，单调递减需2x+2a≤0对x<1恒成立，即x≤-a且x<1，故-a≥1，解得a≤-1，选C。9.令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得x=±√(2/3)，又g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，故f(x)在x=-2、-√(2/3)、√(2/3)、2处有极值点，共4个，选C。10.f'(x)=lnx+1，令f'(x)=0得x=1/e，f''(x)=1/x>0，故x=1/e处为极小值点，又f(0^+)=0，f(1)=0，故f(x)在(0,1)上无最大值，选B。11.f'(x)=3x^2+2px+q，由f(1)=f(-1)得1+p+q+1=1-p+q+1，解得p=0，又f'(1)=3+2p+q=0，解得q=-3，故p+q=-3，选D。二、填空题1.22.-33.34.e5.极小值6.47.08.-39.310.极小值解析：2.分段函数f(x)在x=-2时取值3，其他区间均大于等于3，故最小值为3。3.f(1)=1+p+q+1=3，f'(1)=3+2p+q=0，联立解得a=-3，b=4，故a+b=1。4.f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=6，由零点定理f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,4)各有一个零点，共3个。5.f'(x)=e^x-a，f(1)=e-a=0，f''(x)=e^x>0，故x=1处为极小值点，解得a=e。6.f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(1)=-6<0，故x=1处为极大值点。7.令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得x=±√(2/3)，又g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，故f(x)在x=-2、-√(2/3)、√(2/3)、2处有极值点，共4个。8.f'(x)=lnx+1，令f'(x)=0得x=1/e，f''(x)=1/x>0，故x=1/e处为极小值点，又f(0^+)=0，f(1)=0，故f(x)在(0,1)上无最大值。9.f'(x)=3x^2+2px+q，由f(1)=f(-1)得1+p+q+1=1-p+q+1，解得p=0，又f'(1)=3+2p+q=0，解得q=-3，故p+q=-3。10.分段函数f(x)在x=-2时取值3，其他区间均大于等于3，故最小值为3。11.f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(1)=-6<0，故x=1处为极大值点。三、判断题1.×2.×3.×4.√5.√6.√7.×8.×9.√10.×解析：2.单调递增函数在端点处可能取得极值，如f(x)=x在(0,1)上单调递增，但x=1处为右端点极值点。3.f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(2)=6>0，故x=2处为极小值点。4.分段函数f(x)在x=-2时取值3，其他区间均大于等于3，故最小值为3。5.f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=6，由零点定理f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,4)各有一个零点，共3个。6.f'(x)=e^x-a，f(1)=e-a=0，f''(x)=e^x>0，故x=1处为极小值点，解得a=e。7.令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得x=±√(2/3)，又g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，故f(x)在x=-2、-√(2/3)、√(2/3)、2处有极值点，共4个。8.f'(x)=lnx+1，令f'(x)=0得x=1/e，f''(x)=1/x>0，故x=1/e处为极小值点，又f(0^+)=0，f(1)=0，故f(x)在(0,1)上无最大值。9.f'(x)=3x^2+2px+q，由f(1)=f(-1)得1+p+q+1=1-p+q+1，解得p=0，又f'(1)=3+2p+q=0，解得q=-3，故p+q=-3。10.分段函数f(x)在x=-3时取值5，其他区间均小于等于5，故最大值为5。11.f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(1)=-6<0，故x=1处为极大值点。四、简答题1.f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,4)各有一个零点。解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=6，由零点定理f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,4)各有一个零点。2.最小值3，最小值点x=-2。解析：分段函数f(x)在x=-2时取值3，其他区间均大于等于3，故最小值为3，最小值点为x=-2。3.f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=0，f''(x)=6x-6，f''(2)=6>0，故x=2处为极小值点。4.a=e。解析：f'(x)=e^x-a，f(1)=e-a=0，f''(x)=e^x>0，故x=1处为极小值点，解得a=e。5.x=-2，-√(2/3)，√(2/3)