2026年上海市高考数学函数问题专项训练试卷

2026年上海市高考数学函数问题专项训练试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，若关于x的不等式f(x)－k＝0有四个不同的实数解，则实数k的取值范围是（）A．（3，5）B．（3，4）C．（4，5）D．（0，3）解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|的图像是折线，在x＝－2和x＝1处分别有转折点，对应斜率分别为－1和1。由图像可知，f(x)的最小值为3（当x＝－0.5时取得），最大值无界。若f(x)－k＝0有四个不同实数解，则直线y＝k需与f(x)的图像相交于四个点，即k需在f(x)的最低点与最高点之间，但不在最低点处。因此k的取值范围是（3，5）。2.若函数g(x)＝ln(x＋a)在区间（1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（－1，＋∞）B．（0，＋∞）C．（－2，－1）D．（－∞，－1）解析：函数g(x)＝ln(x＋a)的定义域为x＋a＞0，即x＞－a。在区间（1，＋∞）上单调递增，需满足g′(x)＝1/(x＋a)＞0，即x＋a＞0且x＋a在（1，＋∞）上恒正。因此a需满足－a＜1，即a＞－1。同时，由于x＋a在（1，＋∞）上恒正，需a≤－1。综上，a的取值范围是（－1，＋∞）。3.已知函数h(x)＝x³－3x＋2，若存在实数m使得方程h(x)＝m在（－1，1）上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．（－1，1）B．（－2，0）C．（1，2）D．（－1，0）解析：函数h(x)＝x³－3x＋2的导数为h′(x)＝3x²－3＝3(x－1)(x＋1)。在区间（－1，1）上，h′(x)＜0，因此h(x)在（－1，1）上单调递减。计算h(－1)＝1，h(1)＝0，因此h(x)在（－1，1）上的值域为（0，1）。若方程h(x)＝m在（－1，1）上有两个不同的实数根，则m需在（0，1）内，即m的取值范围是（－1，0）。4.函数f(x)＝|x－2|sinx在区间[0，π]上的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5解析：函数f(x)＝|x－2|sinx的零点即满足|x－2|sinx＝0的x值。由|sinx|＝0得x＝0或x＝π；由|x－2|＝0得x＝2。在区间[0，π]上，x＝0，x＝π，x＝2均为零点，共3个。5.已知函数F(x)＝e^x－kx在x＝1处取得极值，则实数k的值为（）A．1B．eC．2D．e^2解析：函数F(x)的导数为F′(x)＝e^x－k。在x＝1处取得极值，需F′(1)＝e－k＝0，即k＝e。6.若函数f(x)＝x²＋px＋q的图像与直线y＝x相切，且f(1)＝3，则实数p的值为（）A．－2B．－1C．1D．2解析：函数f(x)与直线y＝x相切，即方程x²＋px＋q＝x有唯一解，即x²＋(p－1)x＋q＝0的判别式Δ＝0，即(p－1)²－4q＝0。又f(1)＝1＋p＋q＝3，即p＋q＝2。联立得(p－1)²－4(p＋2)＝0，即p²－6p－7＝0，解得p＝7或p＝－1。由于Δ＝0需满足p＝1或p＝－3，因此p＝－1。7.函数f(x)＝sinx＋cosx的值域为（）A．[－√2，√2]B．[－1，1]C．[－√2/2，√2/2]D．[0，√2]解析：函数f(x)＝sinx＋cosx可化为√2sin(x＋π/4)，因此值域为[－√2，√2]。8.若函数g(x)＝ln(1－x)＋ln(1＋x)在区间（－1，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（－1，1）B．（0，1）C．（－∞，0）D．（－1，0）解析：函数g(x)＝ln(1－x)＋ln(1＋x)的导数为g′(x)＝－1/(1－x)＋1/(1＋x)＝2x/(1－x²)。在区间（－1，1）上，g′(x)＜0需2x/(1－x²)＜0，即x＜0。因此a的取值范围是（－∞，0）。9.函数f(x)＝x³－3x＋1的图像关于点（1，a）对称，则实数a的值为（）A．0B．1C．2D．3解析：函数f(x)的图像关于点（1，a）对称，需满足f(1－x)＋f(1＋x)＝2a。代入f(x)＝x³－3x＋1得(1－x)³－3(1－x)＋1＋(1＋x)³－3(1＋x)＋1＝2a，化简得－6x＝2a，即a＝－3x。当x＝0时，a＝0。10.若函数F(x)＝xlnx－x²在区间（0，＋∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．（－∞，0）B．（0，1）C．（1，＋∞）D．（－1，0）解析：函数F(x)的导数为F′(x)＝lnx＋1－2x。在区间（0，＋∞）上单调递增，需F′(x)≥0，即lnx＋1－2x≥0。令h(x)＝lnx＋1－2x，h′(x)＝1/x－2＜0，因此h(x)在（0，＋∞）上单调递减。h(1)＝0，因此lnx＋1－2x≥0的解为0＜x≤1。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|在区间[a，b]上的值域为[1，3]，则a＋b的值为________。参考答案：2解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|在x＝1和x＝2处分别有转折点，对应斜率分别为－1和1。在区间[1，2]上，f(x)＝3－2x；在区间（－∞，1）上，f(x)＝2x－3；在区间（2，＋∞）上，f(x)＝2x－3。值域为[1，3]，需满足1≤3－2x≤3，即0≤x≤1。因此a＝0，b＝1，a＋b＝1。2.函数g(x)＝2^x－3^x在区间（0，1）上的最大值为________。参考答案：1/6解析：函数g(x)＝2^x－3^x的导数为g′(x)＝2^xln2－3^xln3。令h(x)＝2^xln2－3^xln3，h′(x)＝2^xln2^2－3^xln3^2＝2^x(2ln2)－3^x(2ln3)＜0，因此h(x)在（0，1）上单调递减。g′(x)在x＝0时为1－ln3＜0，因此g(x)在（0，1）上单调递减。g(0)＝1，因此最大值为1。3.若函数f(x)＝x²＋mx＋1在x＝1处的切线斜率为3，则实数m的值为________。参考答案：1解析：函数f(x)的导数为f′(x)＝2x＋m。在x＝1处切线斜率为3，即f′(1)＝2＋m＝3，解得m＝1。4.函数h(x)＝sin2x＋cos2x的周期为________。参考答案：π解析：函数h(x)＝sin2x＋cos2x可化为√2sin(2x＋π/4)，因此周期为2π/2＝π。5.若函数F(x)＝ln(x＋a)在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围是________。参考答案：a＜1解析：函数F(x)的导数为F′(x)＝1/(x＋a)。在x＝1处取得极小值，需F′(1)＝1/(1＋a)＝0，即a＝－1。但需a＜1，因此a＜1。6.函数f(x)＝x³－3x＋2的图像与直线y＝k相切于点（1，0），则实数k的值为________。参考答案：0解析：函数f(x)在x＝1处的值为f(1)＝1－3＋2＝0，即切点为（1，0）。导数为f′(x)＝3x²－3，f′(1)＝0，因此切线斜率为0，即k＝0。7.函数g(x)＝e^x－kx在x＝0处取得极值，则实数k的取值范围是________。参考答案：k≤1解析：函数g(x)的导数为g′(x)＝e^x－k。在x＝0处取得极值，需g′(0)＝1－k＝0，即k＝1。但需k≤1，因此k≤1。8.函数h(x)＝sinx＋cosx的导数为________。参考答案：cosx－sinx解析：函数h(x)＝sinx＋cosx的导数为h′(x)＝cosx－sinx。9.若函数f(x)＝x²＋px＋q的图像与x轴相切，且f(1)＝3，则实数p＋q的值为________。参考答案：2解析：函数f(x)与x轴相切，即方程x²＋px＋q＝0有唯一解，即Δ＝0，即p²－4q＝0。又f(1)＝1＋p＋q＝3，即p＋q＝2。联立得p²－8p＋4＝0，解得p＝4±2√3，因此p＋q＝2。10.函数F(x)＝ln(1－x)＋ln(1＋x)在区间（－1，1）上的导数为________。参考答案：2x/(1－x²)解析：函数F(x)的导数为F′(x)＝－1/(1－x)＋1/(1＋x)＝2x/(1－x²)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝x³－3x＋2在区间（－1，1）上单调递减，则方程f(x)＝0在（－1，1）上有两个不同的实数根。参考答案：错误解析：函数f(x)的导数为f′(x)＝3x²－3＝3(x－1)(x＋1)。在区间（－1，1）上，f′(x)＜0，因此f(x)在（－1，1）上单调递减。计算f(－1)＝1，f(1)＝0，因此f(x)在（－1，1）上的值域为（0，1）。若方程f(x)＝0在（－1，1）上有两个不同的实数根，则需f(x)在（－1，1）上取到0，但实际值域为（0，1），因此方程无解。2.函数g(x)＝sinx＋cosx的值域为[－√2，√2]。参考答案：正确解析：函数g(x)＝sinx＋cosx可化为√2sin(x＋π/4)，因此值域为[－√2，√2]。3.若函数F(x)＝e^x－kx在x＝1处取得极值，则实数k的取值范围是k＝e。参考答案：错误解析：函数F(x)的导数为F′(x)＝e^x－k。在x＝1处取得极值，需F′(1)＝e－k＝0，即k＝e。但需考虑极值类型，需进一步验证F′(x)在x＝1两侧的符号变化。4.函数f(x)＝x³－3x＋2的图像关于点（1，0）对称。参考答案：正确解析：函数f(x)的导数为f′(x)＝3x²－3＝3(x－1)(x＋1)。在x＝1处取得极值，且f(1)＝0，因此图像关于点（1，0）对称。5.函数h(x)＝sin2x＋cos2x的周期为π。参考答案：正确解析：函数h(x)＝sin2x＋cos2x可化为√2sin(2x＋π/4)，因此周期为2π/2＝π。6.若函数f(x)＝x²＋px＋q在x＝1处的切线斜率为3，则实数p的值为3。参考答案：错误解析：函数f(x)的导数为f′(x)＝2x＋p。在x＝1处切线斜率为3，即f′(1)＝2＋p＝3，解得p＝1。7.函数F(x)＝ln(x＋a)在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围是a＞1。参考答案：错误解析：函数F(x)的导数为F′(x)＝1/(x＋a)。在x＝1处取得极小值，需F′(1)＝1/(1＋a)＝0，即a＝－1。但需a＜1，因此a＜1。8.函数f(x)＝x³－3x＋2的图像与直线y＝k相切于点（1，0），则实数k的值为0。参考答案：正确解析：函数f(x)在x＝1处的值为f(1)＝1－3＋2＝0，即切点为（1，0）。导数为f′(x)＝3x²－3，f′(1)＝0，因此切线斜率为0，即k＝0。9.函数g(x)＝e^x－kx在x＝0处取得极值，则实数k的取值范围是k＝1。参考答案：错误解析：函数g(x)的导数为g′(x)＝e^x－k。在x＝0处取得极值，需g′(0)＝1－k＝0，即k＝1。但需考虑极值类型，需进一步验证g′(x)在x＝0两侧的符号变化。10.函数h(x)＝sinx＋cosx的导数为cosx－sinx。参考答案：正确解析：函数h(x)＝sinx＋cosx的导数为h′(x)＝cosx－sinx。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，求f(x)在区间（－∞，＋∞）上的最小值。参考答案：最小值为1，当x＝1.5时取得。解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|在x＝1和x＝2处分别有转折点，对应斜率分别为－1和1。在区间（－∞，1）上，f(x)＝2x－3；在区间（1，2）上，f(x)＝3－2x；在区间（2，＋∞）上，f(x)＝2x－3。因此f(x)在x＝1.5时取得最小值1。2.函数g(x)＝ln(x＋a)在区间（1，＋∞）上单调递增，求实数a的取值范围。参考答案：a≤－1解析：函数g(x)＝ln(x＋a)的定义域为x＋a＞0，即x＞－a。在区间（1，＋∞）上单调递增，需满足g′(x)＝1/(x＋a)＞0，即x＋a＞0且x＋a在（1，＋∞）上恒正。因此a需满足－a＜1，即a＞－1。同时，由于x＋a在（1，＋∞）上恒正，需a≤－1。综上，a的取值范围是（－1，＋∞）。3.函数h(x)＝x³－3x＋2在区间（－1，1）上的值域为（0，1），求证方程h(x)＝0在（－1，1）上无解。解析：函数h(x)的导数为h′(x)＝3x²－3＝3(x－1)(x＋1)。在区间（－1，1）上，h′(x)＜0，因此h(x)在（－1，1）上单调递减。计算h(－1)＝1，h(1)＝0，因此h(x)在（－1，1）上的值域为（0，1）。若方程h(x)＝0在（－1，1）上有解，则需h(x)在（－1，1）上取到0，但实际值域为（0，1），因此方程无解。4.函数F(x)＝e^x－kx在x＝1处取得极值，求实数k的取值范围。解析：函数F(x)的导数为F′(x)＝e^x－k。在x＝1处取得极值，需F′(1)＝e－k＝0，即k＝e。但需考虑极值类型，需进一步验证F′(x)在x＝1两侧的符号变化。当k＝e时，F′(x)在x＝1左侧为正，右侧为负，因此x＝1处为极大值点。因此k＝e。5.函数f(x)＝x²＋px＋q的图像与直线y＝x相切，求证p＝2q。解析：函数f(x)与直线y＝x相切，即方程x²＋px＋q＝x有唯一解，即x²＋(p－1)x＋q＝0的判别式Δ＝0，即(p－1)²－4q＝0。解得(p－1)²＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2p＋1＝4q，即p²－2