2026年天津市北师大版高中三年级数学第7单元课后练习题

2026年天津市北师大版高中三年级数学第7单元课后练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－ax在区间(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a≤0C．a≤－1D．a≥1解析：函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，需满足f′(x)≥0，即ln(x＋1)－ax的导数ln(x＋1)－a≥0在(0，＋∞)上恒成立。令g(x)＝ln(x＋1)－a，则g′(x)＝1/(x＋1)≥a，当x→0时，1/(x＋1)→1，当x→＋∞时，1/(x＋1)→0，故a≤0。当a＝0时，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，满足条件。当a＜0时，f′(x)＝1/(x＋1)－a在(0，＋∞)上恒大于0，满足条件。故a的取值范围是a≤0。正确答案为B。2.若复数z满足|z－2|＝1且arg(z)＝π/3，则z的实部为（）A．1/2B．3/2C．√3/2D．1解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－2|＝1得(x－2)²＋y²＝1，由arg(z)＝π/3得y/x＝√3/3，即y＝√3/3x。代入圆的方程得(x－2)²＋(√3/3x)²＝1，化简得x²－4x＋4＋3/9x²＝1，即12x²－36x＋27＝0，解得x＝3/2或x＝9/2（舍去，因x＝9/2时y＝3√3/2，z＝9/2＋3√3/2i不在单位圆上）。故z＝3/2＋3√3/2i，实部为3/2。正确答案为B。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1＝1，a_n＋1＝2a_n－1，则S_5的值为（）A．15B．31C．63D．127解析：由a_n＋1＝2a_n－1得a_n＋1－1＝2(a_n－1)，即b_n＝a_n－1是首项为0，公比为2的等比数列，故b_n＝2^(n－1)×0＝0，即a_n＝1。S_5＝1×5＝5。正确答案为A。4.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，则f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值分别为（）A．8，－4B．8，－8C．10，－4D．10，－8解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1。f(－2)＝－8，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝8。故最大值为8，最小值为－8。正确答案为B。5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a²－b²＝c²－2abcosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：由余弦定理a²＝b²＋c²－2bccosA，代入题设得b²＋c²－2bccosA－b²＝c²－2abcosA，即c²－2bccosA＝c²－2abcosA，化简得b＝a，故△ABC为等腰三角形。正确答案为A。6.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，当x在区间[－2，1]内时，f(x)取最小值，最小值为1－(－2)＝3。正确答案为C。7.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝4，则圆C关于直线x－y＋1＝0的对称圆的方程为（）A．(x＋1)²＋(y－2)²＝4B．(x－1)²＋(y＋2)²＝4C．(x－3)²＋(y－0)²＝4D．(x＋3)²＋(y－4)²＝4解析：圆心(1，2)关于直线x－y＋1＝0的对称点为(－1，4)，半径仍为2，故对称圆的方程为(x＋1)²＋(y－4)²＝4。正确答案为D。8.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，则φ的值为（）A．π/4B．3π/4C．5π/4D．7π/4解析：sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，即2×π/4＋φ＝π/2＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝π/4＋2kπ(k∈Z)，取k＝0得φ＝π/4。正确答案为A。9.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1时取得极值，则a的值为（）A．1B．2C．eD．e²解析：f′(x)＝e^x－a，由题意f′(1)＝e－a＝0，解得a＝e。正确答案为C。10.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝2a_n－1，则a_1的值为（）A．1B．2C．3D．4解析：S_n＝2a_n－1，S_1＝2a_1－1，即a_1＝2a_1－1，解得a_1＝1。正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z＝1－i，则arg(z)的值为________。参考答案：3π/4解析：z＝1－i的模为√2，辐角为－π/4，故arg(z)＝－π/4＋2π＝3π/4。2.函数f(x)＝ln(x²－1)的定义域为________。参考答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：x²－1＞0，即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)。3.已知数列{a_n}是等比数列，且a_1＝2，a_3＝8，则a_5的值为________。参考答案：32解析：由a_3＝a_1q²得q²＝4，q＝2，故a_5＝a_1q⁴＝2×16＝32。4.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，则f(x)的极值点为________。参考答案：1，－1解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f′′(1)＝6＞0，f′′(－1)＝6＞0，故x＝±1为极值点。5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a²－b²＝c²－2abcosA，则cosB的值为________。参考答案：1/2解析：由余弦定理a²＝b²＋c²－2bccosA，代入题设得b²＋c²－2bccosA－b²＝c²－2abcosA，化简得cosA＝1/2，故cosB＝1－2sin²(A/2)＝1/2。6.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝4，则圆C的圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离为________。参考答案：3解析：圆心(1，2)到直线3x－4y＋5＝0的距离为|3×1－4×2＋5|/√(3²＋4²)＝3。7.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，则φ的取值集合为________。参考答案：{π/4＋2kπ|k∈Z}解析：sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，即2×π/4＋φ＝π/2＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝π/4＋2kπ(k∈Z)。8.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1时取得极值，则f(x)的单调递增区间为________。参考答案：(－∞，1)解析：f′(x)＝e^x－a，由题意f′(1)＝e－a＝0，解得a＝e，f′(x)＝e^x－e，当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，故f(x)单调递增区间为(－∞，1)。9.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝2a_n－1，则数列{a_n}的通项公式为________。参考答案：a_n＝2^(n－1)解析：S_n＝2a_n－1，S_1＝2a_1－1，即a_1＝1，S_2＝2a_2－1，即1＋a_2＝2a_2－1，解得a_2＝2，S_3＝2a_3－1，即1＋2＋a_3＝2a_3－1，解得a_3＝4，故a_n＝2^(n－1)。10.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最大值为________。参考答案：3解析：f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，当x＜－2时，f(x)＝(－x＋1)＋(－x－2)＝－2x－1；当－2≤x≤1时，f(x)＝(－x＋1)＋(x＋2)＝3；当x＞1时，f(x)＝(x－1)＋(x＋2)＝2x＋1。故最大值为3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z满足|z|＝1，则z的平方一定是纯虚数。参考答案：错误解析：若z＝cosθ＋isinθ，则z²＝cos(2θ)＋isin(2θ)，当θ＝0或π时，z²＝1，不是纯虚数。2.函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－2，2]上的最大值和最小值分别为8和－8。参考答案：正确解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1。f(－2)＝－8，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝8。故最大值为8，最小值为－8。3.在△ABC中，若a²－b²＝c²－2abcosA，则△ABC一定是等腰三角形。参考答案：正确解析：由余弦定理a²＝b²＋c²－2bccosA，代入题设得b²＋c²－2bccosA－b²＝c²－2abcosA，化简得b＝a，故△ABC为等腰三角形。4.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最小值为3。参考答案：正确解析：f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，当x在区间[－2，1]内时，f(x)取最小值，最小值为1－(－2)＝3。5.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝4，则圆C关于直线x－y＋1＝0的对称圆的方程为(x＋1)²＋(y－4)²＝4。参考答案：正确解析：圆心(1，2)关于直线x－y＋1＝0的对称点为(－1，4)，半径仍为2，故对称圆的方程为(x＋1)²＋(y－4)²＝4。6.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，则φ＝π/4。参考答案：正确解析：sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，即2×π/4＋φ＝π/2＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝π/4＋2kπ(k∈Z)，取k＝0得φ＝π/4。7.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1时取得极值，则a＝e。参考答案：正确解析：f′(x)＝e^x－a，由题意f′(1)＝e－a＝0，解得a＝e。8.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝2a_n－1，则数列{a_n}是等比数列。参考答案：正确解析：S_n＝2a_n－1，S_1＝2a_1－1，即a_1＝1，S_2＝2a_2－1，即1＋a_2＝2a_2－1，解得a_2＝2，S_3＝2a_3－1，即1＋2＋a_3＝2a_3－1，解得a_3＝4，故a_n＝2^(n－1)，是等比数列。9.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最大值为4。参考答案：错误解析：f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，当x＜－2时，f(x)＝－2x－1；当－2≤x≤1时，f(x)＝3；当x＞1时，f(x)＝2x＋1。故最大值为4。10.已知数列{a_n}是等比数列，且a_1＝2，a_3＝8，则a_5＝32。参考答案：正确解析：由a_3＝a_1q²得q²＝4，q＝2，故a_5＝a_1q⁴＝2×16＝32。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，求f(x)的极值点。参考答案：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f′′(1)＝6＞0，f′′(－1)＝6＞0，故x＝±1为极值点。2.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝4，求圆C的圆心坐标和半径。参考答案：圆心(1，2)，半径2。3.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，求φ的值。参考答案：φ＝π/4＋2kπ(k∈Z)。4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝2a_n－1，求a_1的值。参考答案：a_1＝1。5.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，求f(x)的最小值。参考答案：f(x)的最小值为3。6.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝4，求圆C关于直线x－y＋1＝0的对称圆的方程。参考答案：(x＋1)²＋(y－4)²＝4。7.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1时取得极值，求a的值。参考答案：a＝e。8.已知数列{a_n}是等比数列，且a_1＝2，a_3＝8，求a_5的值。参考答案：a_5＝32。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，求f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值。参考答案：f(－2)＝－8，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝8。故最大值为8，最小值为－8。2.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝4，求圆C的圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离。参考答案：圆心(1，2)到直线3x－4y＋5＝0的距离为|3×1－4×2＋5|/√(3²＋4²)＝3。3.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，求φ的取值集合。参考答案：{π/4＋2kπ|k∈Z}。4.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1时取得极值，求f(x)的单调递增区间。参考答案：f′(x)＝e^x－a，由题意f′(1)＝e－a＝0，解得a＝e，f′(x)＝e^x－e，当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，故f(x)单调递增区间为(－∞，1)。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝2a_n－1，求数列{a_n}的通项公式。参考答案：a_n＝2^(n－1)。6.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，求f(x)的最大值。参考答案：f(x)的最大值为4。7.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝4，求圆C关于直线x－y＋1＝0的对称圆的方程。参考答案：(x＋1)²＋(y－4)²＝4。8.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，求φ的值。参考答案：φ＝π/4＋2kπ(k∈Z)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.A4.B5.A6.C7.D8.A9.C10.A二、填空题1.3π/412.(－∞，－1)∪(1，＋∞)13.3214.1，－115.1/216.317