等差数列题目难题及答案

等差数列题目难题及答案考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高一/数学班

等差数列题目难题及答案

一、选择题

1.已知等差数列{a_n}的首项为3，公差为2，则该数列的前n项和S_n的表达式为（）

A.n^2+2n

B.n^2+3n

C.2n^2+n

D.n^2+n

2.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d为（）

A.3

B.4

C.5

D.2

3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_10=100，S_20=380，则该数列的公差d为（）

A.3

B.4

C.5

D.6

4.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2，a_3=8，则S_5的值为（）

A.30

B.40

C.50

D.60

5.在等差数列{a_n}中，若a_4+a_6=16，a_5+a_7=20，则该数列的公差d为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

6.已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为d，若该数列的前n项和S_n=100，则d的取值范围是（）

A.d>0

B.d<0

C.d=0

D.d∈(-∞,+∞)

7.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则a_7+a_8+a_9的值为（）

A.24

B.27

C.30

D.33

8.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，则S_15的值为（）

A.115

B.120

C.125

D.130

9.在等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_2=4，a_3=7，则a_100的值为（）

A.197

B.198

C.199

D.200

10.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=n^2+n，则该数列的公差d为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

二、填空题

1.已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，则该数列的前10项和S_10的值为_________。

2.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n为_________。

3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_10=100，S_20=380，则该数列的通项公式a_n为_________。

4.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2，a_3=8，则该数列的通项公式a_n为_________。

5.在等差数列{a_n}中，若a_4+a_6=16，a_5+a_7=20，则该数列的通项公式a_n为_________。

6.已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为d，若该数列的前n项和S_n=100，则d的值为_________。

7.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则a_7+a_8+a_9的值为_________。

8.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，则S_15的值为_________。

9.在等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_2=4，a_3=7，则a_100的值为_________。

10.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=n^2+n，则该数列的通项公式a_n为_________。

三、多选题

1.已知等差数列{a_n}的首项为3，公差为2，则下列说法正确的有（）

A.该数列的前n项和S_n=n^2+2n

B.该数列的第10项a_10=23

C.该数列的前10项和S_10=110

D.该数列的第5项a_5=13

2.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则下列说法正确的有（）

A.该数列的公差d=3

B.该数列的通项公式a_n=3n-5

C.该数列的前10项和S_10=150

D.该数列的第15项a_15=40

3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_10=100，S_20=380，则下列说法正确的有（）

A.该数列的公差d=3

B.该数列的通项公式a_n=3n-2

C.该数列的前15项和S_15=255

D.该数列的第10项a_10=28

4.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2，a_3=8，则下列说法正确的有（）

A.该数列的公差d=3

B.该数列的通项公式a_n=3n-1

C.该数列的前5项和S_5=20

D.该数列的第8项a_8=22

5.在等差数列{a_n}中，若a_4+a_6=16，a_5+a_7=20，则下列说法正确的有（）

A.该数列的公差d=4

B.该数列的通项公式a_n=4n-8

C.该数列的前10项和S_10=100

D.该数列的第12项a_12=28

四、判断题

1.等差数列的通项公式可以表示为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1是首项，d是公差。（）

2.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n与a_n之间满足关系S_n=na_1+(n(n-1))/2*d。（）

3.等差数列的任意两项之差等于公差。（）

4.若等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为d，则该数列的第n项a_n可以表示为a_n=a_1+(n-1)d。（）

5.等差数列的前n项和S_n是一个关于n的二次函数。（）

6.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则该数列的公差d为2。（）

7.等差数列的公差d可以为负数。（）

8.若等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，则该数列的第10项a_10为31。（）

9.等差数列的前n项和S_n总是大于其任意一项a_n。（）

10.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=na_1+(n(n-1))/2*d，则该数列的公差d为2a_2-a_1。（）

五、问答题

1.已知等差数列{a_n}的首项为5，公差为3，求该数列的前20项和S_20。

2.在等差数列{a_n}中，若a_4=10，a_9=31，求该数列的通项公式a_n。

3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+2n，求该数列的首项a_1和公差d。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：等差数列的首项为3，公差为2，前n项和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)=n/2*(2*3+(n-1)*2)=n/2*(6+2n-2)=n/2*(2n+4)=n(n+2)=n^2+2n。

2.A

解析：由a_5=10和a_10=25，得10=a_1+4d，25=a_1+9d。两式相减，得15=5d，解得d=3。

3.C

解析：由S_10=100和S_20=380，得S_20-S_10=(a_11+a_12+...+a_20)=10a_1+190d=280。又S_10=10a_1+45d=100，联立解得d=4。

4.B

解析：由a_1=2和a_3=8，得d=a_3-a_1=8-2=6。S_5=5/2*(2*2+(5-1)*6)=5/2*(4+24)=5/2*28=70。

5.B

解析：由a_4+a_6=16和a_5+a_7=20，得2a_1+8d=16，2a_1+10d=20。两式相减，得2d=4，解得d=2。

6.A

解析：S_n=n/2*(2*1+(n-1)d)=n/2*(2+(n-1)d)=n/2*(n+1+(n-1)d)=n/2*(n+1+nd-d)=n/2*(n+nd+1-d)。若S_n=100，则n^2/2+(d-1)n/2+50=0。由于n为正整数，d必须大于0。

7.C

解析：由a_1+a_2+a_3=12，得3a_1+3d=12，即a_1+d=4。由a_4+a_5+a_6=18，得3a_1+9d=18，即a_1+3d=6。联立解得d=2。则a_7+a_8+a_9=3a_1+21d=3(a_1+7d)=3(4+14)=3*18=54。

8.C

解析：由S_5=25，得5/2*(2a_1+4d)=25，即2a_1+4d=10。由S_10=70，得10/2*(2a_1+9d)=70，即2a_1+9d=14。联立解得d=1。则S_15=15/2*(2a_1+14d)=15/2*(10+14)=15/2*24=15*12=180。这里原答案S_15的值为125是错误的，正确答案应为180。

9.B

解析：由a_1=1，a_2=4，a_3=7，得d=a_2-a_1=3。则a_100=a_1+99d=1+99*3=1+297=298。这里原答案a_100的值为200是错误的，正确答案应为298。

10.D

解析：由S_n=n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-((n-1)^2+(n-1))=n^2+n-(n^2-2n+1+n-1)=n^2+n-n^2+2n-n=2n。又a_n=a_1+(n-1)d，令n=1，得a_1=2。则d=a_n-a_1=2n-2=2(n-1)。由于a_n=2n，d=2。

二、填空题答案及解析

1.155

解析：S_10=10/2*(2*3+(10-1)*2)=5*(6+18)=5*24=120。这里原答案S_10的值为110是错误的，正确答案应为120。

2.a_n=5n-5

解析：由a_5=10和a_10=25，得d=3。a_n=a_1+(n-1)d=a_1+3(n-1)。又a_5=a_1+4d=a_1+12=10，解得a_1=-2。则a_n=-2+3(n-1)=-2+3n-3=3n-5。

3.a_n=3n-2

解析：由S_10=100，得10/2*(2a_1+9d)=100，即2a_1+9d=20。由S_20=380，得20/2*(2a_1+19d)=380，即2a_1+19d=38。联立解得d=2，a_1=1。则a_n=1+(n-1)*2=1+2n-2=2n-1。这里原答案a_n=3n-2是错误的，正确答案应为2n-1。

4.a_n=3n-1

解析：由a_1=2和a_3=8，得d=6/2=3。a_n=a_1+(n-1)d=2+3(n-1)=2+3n-3=3n-1。

5.a_n=4n-8

解析：由a_4+a_6=16，得2a_1+8d=16。由a_5+a_7=20，得2a_1+10d=20。联立解得d=2，a_1=6。则a_n=6+(n-1)*2=6+2n-2=2n+4。这里原答案a_n=4n-8是错误的，正确答案应为2n+4。

6.d=2

解析：由S_n=n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-((n-1)^2+(n-1))=n^2+n-(n^2-2n+1+n-1)=n^2+n-n^2+2n-n=2n。又a_n=a_1+(n-1)d，令n=1，得a_1=2。则d=a_n-a_1=2n-2=2(n-1)。由于a_n=2n，d=2。

7.54

解析：由a_1+a_2+a_3=12，得3a_1+3d=12，即a_1+d=4。由a_4+a_5+a_6=18，得3a_1+9d=18，即a_1+3d=6。联立解得d=2。则a_7+a_8+a_9=3a_1+21d=3(a_1+7d)=3(4+14)=3*18=54。

8.180

解析：由S_5=25，得5/2*(2a_1+4d)=25，即2a_1+4d=10。由S_10=70，得10/2*(2a_1+9d)=70，即2a_1+9d=14。联立解得d=1，a_1=2。则S_15=15/2*(2a_1+14d)=15/2*(4+14)=15/2*18=15*9=135。这里原答案S_15的值为180是错误的，正确答案应为135。

9.298

解析：由a_1=1，a_2=4，a_3=7，得d=3。则a_100=a_1+99d=1+99*3=1+297=298。这里原答案a_100的值为200是错误的，正确答案应为298。

10.a_n=2n

解析：由S_n=n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-((n-1)^2+(n-1))=n^2+n-(n^2-2n+1+n-1)=n^2+n-n^2+2n-n=2n。又a_n=a_1+(n-1)d，令n=1，得a_1=2。则d=a_n-a_1=2n-2=2(n-1)。由于a_n=2n，d=2。

四、判断题答案及解析

1.√

解析：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1是首项，d是公差。这是等差数列的基本定义。

2.√

解析：等差数列的前n项和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，展开后得到S_n=na_1+n(n-1)/2*d，这与题目中的表达式一致。

3.√

解析：等差数列的性质之一是任意两项之差等于公差，即a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}=d。

4.√

解析：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1是首项，d是公差，n是项数。这是等差数列的基本定义。

5.×

解析：等差数列的前n项和S_n是一个关于n的二次函数，但不是所有的二次函数都表示等差数列的前n项和。例如，S_n=n^2+n是一个二次函数，但它对应的数列不是等差数列。

6.√

解析：由S_n=n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-((n-1)^2+(n-1))=n^2+n-(n^2-2n+1+n-1)=n^2+n-n^2+2n-n=2n。又a_n=a_1+(n-1)d，令n=1，得a_1=2。则d=a_n-a_1=2n-2=2(n-1)。由于a_n=2n，d=2。

7.√

解析：等差数列的公差d可以是任意实数，包括负数。例如，等差数列1,0,-1,-2,...的公差d=-1。

8.√

解析：由a_1=2和d=3，得a_10=a_1+9d=2+9*3=2+27=29。这里原答案a_10的值为31是错误的，正确答案应为29。

9.×

解析：等差数列的前n项和S_n不总是大于其任意一项a_n。例如，等差数列-1,0,1,2,...的前