10 数典型试题及详细答案

10数典型试题及详细答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。)1.函数f(x)=ln(x-1)的定义域是(A)(-∞,+∞)(B)(-∞,1)(C)(1,+∞)(D)[1,+∞)2.极限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)的值是(A)0(B)2(C)4(D)不存在3.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是(A)0(B)2(C)4(D)84.若函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2，则当x在x0处有微小增量Δx时，函数f(x)的增量Δy约为(A)2(B)2Δx(C)Δx(D)2+Δx5.曲线y=e^x在点(0,1)处的切线方程是(A)y=x+1(B)y=x(C)y=-x+1(D)y=-x6.不定积分∫(sinx+cosx)dx等于(A)-cosx+sinx+C(B)cosx-sinx+C(C)-cosx+sinx(D)cosx-sinx7.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得(A)f(ξ)=0(B)f'(ξ)=0(C)f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)(D)f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)8.已知函数f(x)=x^2-2x+3，则f(x)的导函数f'(x)是(A)2x-2(B)2x+2(C)x^2-2(D)x^2+29.若函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增且连续，则不等式f(x)>f(2)成立的必要条件是(A)x>2(B)x<2(C)x≥2(D)x≤210.若函数g(x)=x^2在x=1处的线性近似为L(x)，且Δx=0.01，则用L(x)近似g(1.01)所得到的近似值为(A)1(B)1.01(C)1.02(D)1.005二、多项选择题（每小题3分，共15分。在每小题列出的五个选项中，有多项符合题目要求。请将正确选项前的字母填在题后的括号内。多选、错选、少选或未选均不得分。)1.下列函数中，在x=0处不可导的有(A)y=|x|(B)y=x^2(C)y=e^x(D)y=ln(1+x)(E)y=sinx2.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f(x)在x0处可导，则必有(A)f'(x0)=0(B)f'(x0)≠0(C)f(x)在x0的左侧单调增，在右侧单调减(D)f(x)在x0的左侧单调减，在右侧单调增(E)f(x)在x0的左侧和右侧单调性相同3.下列等式正确的有(A)d(sin2x)=cos2xdx(B)d(cosx^2)=-sinx^2dx(C)∫(3x^2+2)dx=x^3+2x+C(D)∫sin(x^2)dx=-cos(x^2)+C(E)∫dx/(1+x^2)=arctanx+C4.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内(A)至少存在一点使得f(x)=0(B)至少存在一点使得f'(x)=0(C)至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(D)f(x)必取到最大值和最小值(E)f(x)必定是单调函数5.下列说法中正确的有(A)若f'(x)>0，则f(x)单调递增(B)若f(x)在x0处取得极值，则x0是f(x)的驻点或导数不存在的点(C)若f(x)在[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点使得f'(x)=0(D)若f''(x)>0，则f(x)是凹函数(E)增函数的导数一定是正数三、计算题（每小题5分，共20分。)1.求极限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2。2.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值和最小值。3.计算不定积分∫(x^2+2x+3)/xdx。4.求函数y=x^2lnx的二阶导数y''。四、证明题（每小题10分，共20分。)1.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且对任意x1,x2∈[a,b]，都有|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|，其中L为正常数。证明：f(x)在[a,b]上处处可导，且|f'(x)|≤L,x∈(a,b)。2.设函数f(x)在[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)。证明：存在一点ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=f(ξ+1/2)。试卷答案一、单项选择题1.(C)2.(C)3.(D)4.(B)5.(B)6.(A)7.(C)8.(A)9.(A)10.(C)二、多项选择题1.(A),(D)2.(A),(E)3.(C),(E)4.(C),(D)5.(A),(B),(D)三、计算题1.解析：利用等价无穷小代换e^x-1≈x+x^2/2(x→0)和limx→0[f(x)/x]=f'(0)。原式=lim(x→0)[(x+x^2/2+o(x^2))-1-x]/x^2=lim(x→0)[x^2/2+o(x^2)]/x^2=lim(x→0)(1/2+o(1)/x^2)=1/2。2.解析：先求导数f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0,x=2。比较f(0),f(2),f(a),f(b)。f(0)=2,f(2)=2^3-3*2^2+2=-2,f(3)=3^3-3*3^2+2=2。最大值为max{2,-2,2,2}=2。最小值为min{2,-2,2,2}=-2。3.解析：∫(x^2/x+2x/x+3/x)dx=∫(x+2+3/x)dx=∫xdx+∫2dx+∫3/xdx=x^2/2+2x+3ln|x|+C。4.解析：先求一阶导数y'=(x^2)'lnx+x^2(lnx)'=2xlnx+x^2/x=2xlnx+x。再求二阶导数y''=(2xlnx+x)'=2lnx+2x/x+1=2lnx+3。四、证明题1.证明：对任意x∈(a,b)，取Δx使得x+Δx∈[a,b]。f(x+Δx)-f(x)/Δx=(f(x+Δx)-f(0))/Δx-f(0)/Δx。令t=Δx/(x+Δx)，则当Δx→0时，x+Δx→x，t→1。原式=limΔx→0[f(x+Δx)-f(0)]/Δx*(x+Δx)/(x+Δx)-f(0)/Δx=limΔx→0[f(x+Δx)-f(0)]/Δx*(1/t)-f(0)/Δx。由已知|f(x+Δx)-f(x)|≤L|Δx|，即|f(x+Δx)-f(0)|≤L|Δx|，所以|f(x+Δx)-f(0)|/|Δx|≤L。故limΔx→0|f(x+Δx)-f(0)|/|Δx|≤L。因此limΔx→0(f(x+Δx)-f(0))/Δx存在且绝对值不超过L。即f'(x)存在且|f'(x)|≤L。2.证明：构造辅助函数F(x)=f(x)-f(x+1/2)。则F(x)在[0,1/2]上连续。F(0)=f(0)-f(1/2)，F(1/2)=f(1/2)