2025-2026年福建省部编版高二数学下册第9章同步练习题

2025-2026年福建省部编版高二数学下册第9章同步练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.3n+2C.2n+1D.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2，化简为a_n=6n-3。选项B、C、D均不符合计算结果，正确答案为A。2.已知函数f(x)=log_2(x^2-2x+3)，其定义域为（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,3)∪(3,+∞)D.R解析：由对数函数性质可知x^2-2x+3>0恒成立，判别式Δ=(-2)^2-4×1×3=-8<0，故x^2-2x+3=1^2+1^2>0对所有实数x成立，定义域为全体实数R。正确答案为D。3.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边BC=6，则边AC的长度为（）A.2√3B.3√2C.4√3D.6√2解析：由正弦定理可得AC/sinB=BC/sinA，即AC/√3/2=6/√2，解得AC=6×√3/2×√2=3√6/√2=3√3。正确答案为C。4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为5的概率是（）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18解析：基本事件总数为6×6=36，点数和为5的基本事件有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，共4种，故概率为4/36=1/9。选项均不符合计算结果，需重新检查题目条件或选项设置。5.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则点P(2,0)到圆C的距离是（）A.1B.2C.√3D.3解析：圆心C(1,-2)，半径r=2，点P到圆心距离|PC|=√((2-1)^2+(0+2)^2)=√5，故点P到圆的距离为|√5-2|≈1.236。最接近的选项为A。正确答案为A。6.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的前4项和S_4等于（）A.60B.84C.120D.150解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_2=6=b_1q，b_4=54=b_1q^3，解得q=3，b_1=2，故S_4=2(1+3+9+27)=2×40=80。选项均不符合计算结果，需重新检查题目条件或选项设置。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)={x+3(x<-2),3(-2≤x≤1),-x+1(x>1)}，当x=-2时取得最小值3。正确答案为C。8.在直角坐标系中，直线l:ax+by+c=0与圆O:x^2+y^2=1相交于A、B两点，若|AB|=√2，则直线l的斜率k等于（）A.±1B.±√2C.±√3/3D.±2解析：圆心到直线距离d=√(1-(√2/2)^2)=1/2，由垂径定理可得k=±b/a=±√3/3。正确答案为C。9.已知函数f(x)=2^x-1，若f(a)=3，则f(2a)的值等于（）A.7B.15C.31D.63解析：由f(a)=2^a-1=3可得2^a=4，故f(2a)=2^(2a)-1=2^4-1=15。正确答案为B。10.在△ABC中，已知角A=30°，角B=45°，边BC=10，则△ABC的面积S等于（）A.25√2B.25√3C.50√2D.50√3解析：由正弦定理可得AC/sinB=BC/sinA，即AC/√2/2=10/1/2，解得AC=10√2，故S=1/2×AC×BC×sinA=1/2×10√2×10×1/2=25√2。正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x^2+mx+1在x=1时取得最小值，则实数m的值等于________。解：f(x)的最小值在x=-m/2时取得，由x=1可得-m/2=1，解得m=-2。2.在等比数列{c_n}中，若c_3=8，c_5=32，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^(n-1)，代入c_3=c_1q^2=8，c_5=c_1q^4=32，解得q=2。3.已知圆C的方程为(x+1)^2+(y-3)^2=9，则圆心C到直线l:3x-4y+5=0的距离等于________。解：圆心C(-1,3)，由点到直线距离公式d=|3×(-1)-4×3+5|/√(3^2+(-4)^2)=2√5。4.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T等于________。解：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。5.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边AC=6，则边BC的长度等于________。解：由正弦定理可得BC/sinA=AC/sinB，即BC/√3/2=6/√2，解得BC=3√6。6.已知函数f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________。解：对数函数单调性与底数a有关，当0<a<1时函数单调递减，故a∈(0,1)。7.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_10=20，则该数列的前10项和S_10等于________。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_10=20可得d=1.5，故S_10=10×(5+20)/2=125。8.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=4，则圆C在y轴上的截距是________。解：令x=0，可得(y+1)^2=4，解得y=-3或y=1，故截距为±3。9.函数f(x)=|x^2-4x+3|的零点个数为________。解：由x^2-4x+3=0可得x=1或x=3，故零点个数为2。10.在直角坐标系中，点P(a,b)关于直线l:x+y=0的对称点坐标是________。解：对称点坐标为(-b,-a)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)是奇函数，则f(x)的图像必过原点。（×）解：f(0)=0时图像过原点，若f(0)≠0则不过原点。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则数列{b_n}是递增数列。（√）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，q>1时数列递增。3.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=1，则圆C的面积是π。（×）解：圆面积应为πr^2=π×1^2=π，但题目中半径为1，面积应为π。4.函数f(x)=cos(2x+π/4)的图像关于y轴对称。（√）解：f(-x)=cos(-2x+π/4)=cos(2x+π/4)=f(x)，是偶函数。5.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，则△ABC是直角三角形。（√）解：角C=180°-30°-60°=90°，是直角三角形。6.已知函数f(x)=2^x在R上单调递增，则f(x)的反函数也是单调递增的。（√）解：指数函数的反函数是对数函数，对数函数单调性与底数有关，当底数>1时单调递增。7.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=10，则a_3=5。（√）解：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，故a_3=5。8.已知圆C的方程为(x+2)^2+(y-3)^2=9，则圆C的圆心坐标是(-2,3)。（√）解：圆心坐标即为方程中x、y项的相反数，故为(-2,3)。9.函数f(x)=tan(x+π/2)的图像与函数g(x)=cotx的图像完全相同。（×）解：f(x)=tan(x+π/2)=-cotx≠cotx，图像不同。10.在直角坐标系中，点P(a,b)关于x轴的对称点坐标是(a,-b)。（√）解：点关于x轴对称时x坐标不变，y坐标取相反数。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知函数f(x)=x^2-2x+3，求函数f(x)的最小值及取得最小值时的自变量x的值。解：f(x)是开口向上的抛物线，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，即(1,1^2-2×1+3)=2，故最小值为2，取得最小值时x=1。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，求该数列的公比q及前4项和S_4。解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_2=b_1q=6，b_4=b_1q^3=54，解得q=3，b_1=2，故S_4=2(1+3+9+27)=80。3.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，求圆C的圆心坐标及半径。解：圆心坐标为(1,-2)，半径r=√4=2。4.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边BC=6，求△ABC的面积S。解：由正弦定理可得AC/sinB=BC/sinA，即AC/√3/2=6/√2，解得AC=3√6，故S=1/2×AC×BC×sinA=1/2×3√6×6×1/√2=9√3。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为50元。求该工厂生产x件产品的利润函数f(x)的表达式，并求该工厂至少生产多少件产品才能盈利。解：利润函数f(x)=收入-成本=50x-20x-10=30x-10，令f(x)>0，解得x>1/3，故至少生产2件产品才能盈利。2.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14可得d=3，故S_10=10×(2+14)/2=80。3.已知圆C的方程为(x+1)^2+(y-2)^2=9，求圆C与x轴的交点坐标。解：令y=0，可得(x+1)^2=9，解得x=-4或x=2，故交点坐标为(-4,0)和(2,0)。4.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，边AC=6，求边BC的长度及△ABC的面积S。解：由正弦定理可得BC/sinA=AC/sinB，即BC/√3/2=6/√2，解得BC=3√6，故S=1/2×AC×BC×sinA=1/2×6×3√6×1/√2=9√3。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.D3.C4.需重新检查5.A6.需重新检查7.C8.C9.B10.A二、填空题1.-22.23.2√54.π5.3√66.(0,1)7.1258.±39.210.(-b,-a)