考研高等代数习题集全套-2023（高清电子版）

考研高等代数习题集全套_2023（高清电子版）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设向量组α₁=(1,0,1),α₂=(1,1,0),α₃=(0,1,1),β=(1,1,1)，则向量β用向量组α₁,α₂,α₃的线性表示式为（）A.β=2α₁-α₂+α₃B.β=α₁+2α₂-α₃C.β=-α₁+α₂+α₃D.β=α₁-α₂+α₃2.设矩阵A为三阶矩阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式|A|等于（）A.4B.2C.1/2D.1/43.设线性方程组Ax=b的增广矩阵经过初等行变换化为（），则该线性方程组有唯一解。A.（102|3）（011|4）（000|0）B.（101|2）（010|3）（001|4）C.（110|1）（011|2）（000|5）D.（101|2）（011|3）（000|0）4.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，则下列等式成立的是（）A.(AB)=ABB.(AB)=ABC.(AB)=BAD.(AB)=BA5.设向量组α₁=(1,1,1),α₂=(1,2,3),α₃=(1,3,6)，则该向量组的秩为（）A.1B.2C.3D.无法确定6.设A为三阶矩阵，且A的秩为2，则下列说法正确的是（）A.A的行列式|A|=0B.A的行列式|A|≠0C.A的伴随矩阵A的秩为1D.A的伴随矩阵A的秩为27.设线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为2，增广矩阵的秩为3，则该线性方程组（）A.有唯一解B.有无穷多解C.无解D.无法确定8.设A为n阶矩阵，且A的秩为n-1，则下列说法正确的是（）A.A的行列式|A|=0B.A的行列式|A|≠0C.A的伴随矩阵A的秩为1D.A的伴随矩阵A的秩为n-29.设向量组α₁=(1,0,1),α₂=(1,1,0),α₃=(0,1,1)，则该向量组线性无关的充分必要条件是（）A.存在非零向量x使得xα₁+xα₂+xα₃=0B.不存在非零向量x使得xα₁+xα₂+xα₃=0C.存在唯一解x使得xα₁+xα₂+xα₃=0D.不存在唯一解x使得xα₁+xα₂+xα₃=010.设A为n阶矩阵，且A可逆，则下列说法正确的是（）A.A的行列式|A|=0B.A的行列式|A|≠0C.A的伴随矩阵A的秩为0D.A的伴随矩阵A的秩为n二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在题中横线上。）1.设向量组α₁=(1,0,1),α₂=(1,1,0),α₃=(0,1,1)，则向量组α₁,α₂,α₃的秩为________。2.设矩阵A为三阶矩阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式|A|等于________。3.设线性方程组Ax=b的增广矩阵经过初等行变换化为（），则该线性方程组有唯一解。4.设A为n阶矩阵，且A的秩为n-1，则矩阵A的伴随矩阵A的秩为________。5.设向量组α₁=(1,1,1),α₂=(1,2,3),α₃=(1,3,6)，则向量组α₁,α₂,α₃的秩为________。6.设线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为2，增广矩阵的秩为3，则该线性方程组的解的情况为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.（本题满分12分）设矩阵A为三阶矩阵，且A的伴随矩阵A为（），求矩阵A的行列式|A|。四、证明题（本大题共2小题，共20分。证明过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）五、综合应用题（本大题共2小题，共20分。综合应用题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）【标准答案及解析】一、单项选择题1.A解析：将β表示为α₁,α₂,α₃的线性组合，即β=x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃，代入向量坐标得：(1,1,1)=x₁(1,0,1)+x₂(1,1,0)+x₃(0,1,1)即：(1,1,1)=x₁(1,0,1)+x₂(1,1,0)+x₃(0,1,1)解得x₁=2,x₂=-1,x₃=1，故β=2α₁-α₂+α₃。2.A解析：由行列式的性质知，|A|=|A|^(n-1)，故|A|=2^(3-1)=4。3.B解析：由增广矩阵可知，矩阵A的秩为3，而增广矩阵的秩也为3，故该线性方程组有唯一解。4.C解析：由伴随矩阵的定义知，(AB)=BA。5.C解析：向量组α₁,α₂,α₃的秩为3，因为向量组α₁,α₂,α₃线性无关。6.A解析：由秩的定义知，A的秩为2，故A的行列式|A|=0。7.C解析：由秩的定义知，系数矩阵A的秩小于增广矩阵的秩，故该线性方程组无解。8.A解析：由秩的定义知，A的秩为n-1，故A的行列式|A|=0。9.B解析：向量组α₁,α₂,α₃线性无关的充分必要条件是不存在非零向量x使得xα₁+xα₂+xα₃=0。10.B解析：由可逆矩阵的定义知，A的行列式|A|≠0。二、填空题1.3解析：向量组α₁,α₂,α₃线性无关，故其秩为3。2.4解析：由行列式的性质知，|A|=|A|^(n-1)，故|A|=2^(3-1)=4。3.（）解析：由增广矩阵可知，矩阵A的秩为3，而增广矩阵的秩也为3，故该线性方程组有唯一解。4.1解析：由秩的定义知，A的秩为n-1，故矩阵A的伴随矩阵A的秩为1。5.3解析：向量组α₁,α₂,α₃线性无关，故其秩为3。6.无解解析：由秩的定义知，系数矩阵A的秩小于增广矩阵的秩，故该线性方程组无解。三、解答题1.解：将β表示为α₁,α₂,α₃的线性组合，即β=x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃，代入向量坐标得：(1,1,1)=x₁(1,0,1)+x₂(1,1,0)+x₃(0,1,1)即：(1,1,1)=x₁(1,0,1)+x₂(1,1,0)+x₃(0,1,1)解得x₁=2,x₂=-1,x₃=1，故β=2α₁-α₂+α₃。2.解：由伴随矩阵的定义知，A是由A的每个元素的代数余子式组成的矩阵，故A的行列式|A|等于A的每个元素的代数余子式的行列式的乘积，即|A|=|A|^(n-1)。又因为|A|=2，故|A|=2^(3-1)=4。3.解：由增广矩阵可知，矩阵A的秩为2，而增广矩阵的秩也为2，故该线性方程组有无穷多解。4.解：由秩的定义知，A的秩为2，故矩阵A的伴随矩阵A的秩为1。5.解：向量组α₁,α₂,α₃的秩为3，因为向量组α₁,α₂,α₃线性无关。6.证明：由秩的定义知，系数矩阵A的秩小于增广矩阵的秩，故该线性方程组无解。四、证明题1.证明：由可逆矩阵的定义知，A的行列式|A|≠0，故A的伴随矩阵A也可逆。2.证明：假设向量组α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁线性相关，则存在不全为零的常数k₁,k₂,k₃使得k₁(α₁+α₂)+k₂(α₂+α₃)+k₃(α₃+α₁)=0，即(k₁+k₃)α₁+(k₁+k₂)α₂+(k₂+k₃)α₃=0。由于向量组α₁,α₂,α₃线性无关，故k₁+k₃=k₁+k₂=k₂+k₃=0，解得k₁=k₂=k₃=0，与假设矛盾，故向量组α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁线性无关。五、综合应用题1.解：由伴随矩阵的定义知，A是由A的每个元素的代数余子式组成的矩阵，故A的行列式|A|等于A的每个元素的代数余子式的行列式的乘积，即|A|=|A|^(n-1)。又因为|A|=2，故|A|=2^(3/(3-1))=2^1.5=√8=2√2