2023考研全国统考数学一期中试卷（含答案详解）

2023考研全国统考数学一期中试卷（含答案详解）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题卡上。）1.设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内连续，且$\lim\limits_{x\toa^+}f(x)=+\infty$，$\lim\limits_{x\tob^-}f(x)=-\infty$，则下列说法正确的是A.$f(x)$在区间$(a,b)$内必有零点B.$f(x)$在区间$(a,b)$内至多有一个零点C.存在唯一的$c\in(a,b)$使得$f(c)=0$D.存在无穷多个$c_1,c_2\in(a,b)$使得$f(c_1)=f(c_2)=0$2.设函数$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，则$f(x)$在$x=0$处A.不连续B.连续但不可导C.可导且$f'(0)=1$D.可导且$f'(0)=0$3.已知函数$y=xe^{-x^2}$，则$y$的极值点为A.$x=0$B.$x=1$C.$x=-1$D.无极值点4.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内可导，$f(a)=f(b)$，则下列结论不一定成立的是A.存在$c\in(a,b)$使得$f'(c)=0$B.存在$c_1,c_2\in(a,b)$使得$f'(c_1)=f'(c_2)$C.$f(x)$在区间$[a,b]$上单调D.存在$c\in(a,b)$使得$f''(c)=0$5.设函数$y=\arctan(x^2)$，则$\frac{dy}{dx}$等于A.$\frac{2x}{1+x^4}$B.$\frac{1}{1+x^4}$C.$\frac{x}{1+x^2}$D.$\frac{2x}{1+x^2}$6.设函数$f(x)=\ln(x^2+1)$，则$f'(x)$等于A.$\frac{2x}{x^2+1}$B.$\frac{1}{x^2+1}$C.$\frac{x}{x^2+1}$D.$2\ln(x^2+1)$7.设函数$f(x)=e^x\sinx$，则$f'(x)$等于A.$e^x\sinx+e^x\cosx$B.$e^x\cosx$C.$e^x(\sinx-\cosx)$D.$e^x(\sinx+\cosx)$8.设函数$y=\ln(\sinx)$，则$\frac{dy}{dx}$等于A.$\cotx$B.$\tanx$C.$\cscx$D.$\secx$9.设函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，则$f'(x)$等于A.$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$B.$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$C.$\frac{x}{x^2+1}$D.$2x$10.设函数$y=x^3-3x^2+2$，则$y$的拐点为A.$(1,0)$B.$(0,2)$C.$(2,0)$D.无拐点二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。）1.设函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$，则$\lim\limits_{x\to1}f(x)$等于________。2.设函数$y=2^x$，则$\frac{dy}{dx}$等于________。3.设函数$f(x)=\sin^2(x^2)$，则$f'(x)$等于________。4.设函数$y=\ln(3x+1)$，则$\frac{dy}{dx}$等于________。5.设函数$f(x)=\sqrt{1-x^2}$，则$f'(x)$等于________。6.设函数$y=x^2e^x$，则$y$的极值点为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）【标准答案及解析】一、单项选择题1.A解析：根据连续函数介值定理，由于$f(x)$在区间$(a,b)$内连续，且$\lim\limits_{x\toa^+}f(x)=+\infty$，$\lim\limits_{x\tob^-}f(x)=-\infty$，因此$f(x)$必在$(a,b)$内取到所有介于$+\infty$和$-\infty$之间的值，包括$0$。所以$f(x)$在区间$(a,b)$内必有零点。2.D解析：由于$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{1+x}=1$，且$\lim\limits_{x\to0^-}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{1}{1+x}=1$，因此$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$，即$f(x)$在$x=0$处连续。又由于$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{\ln(1+x)}{x}-1}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}-1}{2x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{-x}{2x(1+x)}=0$，因此$f(x)$在$x=0$处可导且$f'(0)=0$。3.C解析：由于$y=xe^{-x^2}$，因此$y'=e^{-x^2}-2xe^{-x^2}=e^{-x^2}(1-2x)$。令$y'=0$，解得$x=\frac{1}{2}$。又由于$y''=-2e^{-x^2}+4xe^{-x^2}=2e^{-x^2}(2x-1)$，当$x=-1$时，$y''=2e^{-1}>0$，因此$x=-1$是$y$的极小值点。4.C解析：根据罗尔定理，由于$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内可导，$f(a)=f(b)$，则存在$c\in(a,b)$使得$f'(c)=0$，因此选项A成立。根据导数存在但不一定连续的性质，选项B不一定成立。由于$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内可导，但导数不一定存在，因此$f(x)$在区间$[a,b]$上不一定单调，选项C不一定成立。根据费马定理，选项D成立。5.A解析：由于$y=\arctan(x^2)$，因此$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+(x^2)^2}\cdot2x=\frac{2x}{1+x^4}$。6.A解析：由于$f(x)=\ln(x^2+1)$，因此$f'(x)=\frac{1}{x^2+1}\cdot2x=\frac{2x}{x^2+1}$。7.A解析：由于$f(x)=e^x\sinx$，因此$f'(x)=e^x\sinx+e^x\cosx=e^x(\sinx+\cosx)$。8.A解析：由于$y=\ln(\sinx)$，因此$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sinx}\cdot\cosx=\cotx$。9.A解析：由于$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，因此$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$。10.A解析：由于$y=x^3-3x^2+2$，因此$y'=3x^2-6x$，$y''=6x-6$。令$y''=0$，解得$x=1$。又由于$y''(1)=0$，$y'''(1)=6>0$，因此$x=1$是$y$的拐点。二、填空题1.0解析：由于$\lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^2+1}=\frac{1^2-1}{1^2+1}=0$，因此$\lim\limits_{x\to1}f(x)=0$。2.$2^x\ln2$解析：由于$y=2^x$，因此$\frac{dy}{dx}=2^x\ln2$。3.$2x\sin(2x^2)\cos(x^2)$解析：由于$f(x)=\sin^2(x^2)$，因此$f'(x)=2\sin(x^2)\cos(x^2)\cdot2x=2x\sin(2x^2)$。4.$\frac{3}{3x+1}$解析：由于$y=\ln(3x+1)$，因此$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3x+1}\cdot3=\frac{3}{3x+1}$。5.$-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$解析：由于$f(x)=\sqrt{1-x^2}$，因此$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$。6.$x=1$解析：由于$y=x^2e^x$，因此$y'=2xe^x+x^2e^x=e^x(2x+x^2)$。令$y'=0$，解得$x=0$或$x=-2$。又由于$y''=2e^x+2xe^x+2xe^x+x^2e^x=e^x(2+4x+x^2)$，当$x=1$时，$y''=e^2>0$，因此$x=1$是$y$的极小值点。三、解答题1.解：由于$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{2\sin(2x)}{2x}=2\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x}=2\cdot1=2$，因此$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{x}=2$。2.解：由于$f(x)=x^3-3x^2+2$，因此$f'(x)=3x^2-6x$。令$f'(x)=0$，解得$x=0$或$x=2$。又由于$f''(x)=6x-6$，当$x=0$时，$f''(0)=-6<0$，因此$x=0$是$f(x)$的极大值点；当$x=2$时，$f''(2)=6>0$，因此$x=2$是$f(x)$的极小值点。又由于$f(0)=2$，$f(2)=0$，因此$f(x)$在$x=0$处的极大值为$2$，在$x=2$处的极小值为$0$。3.解：由于$y=x^2\lnx$，因此$\frac{dy}{dx}=2x\lnx+x^2\cdot\frac{1}{x}=2x\lnx+x$。4.解：由于$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$