山东日照第一中学西校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷（含解析）

2026年日照一中西校高三开学考试数学试卷一、单选题1.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，结合向量模的坐标运算公式，即可求解.【详解】由向量，因为，可得，解得，所以，所以．2.已知是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义分析判断.【详解】当时，数列不一定为递增数列，如数列，公比，而此数列为递减数列，当为递增数列时，，则或，所以当为递增数列时，成立，所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件，故选：B.3.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的定义，再利用任意角的正弦函数值求解【详解】当时，，故当时，有周期.故.而故选：4.已知角的终边在第一象限，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由，得，又的终边在第一象限，，所以，所以．5.若以点，，为元素构成的集合有个子集，则可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】方法一：由条件可得集合只有两个元素，讨论列方程求.方法二：代入选项依次验证条件即可.【详解】因为以点，，为元素构成的集合有个子集，则集合只有两个元素，所以三个点中恰有个相同，另外一个不同，当与相同时，则，所以，，此时或，，满足条件，当与相同时，则，，解得，，此时，，满足条件，当与相同时，则，，满足条件的不存在，故选项B正确，方法二：当时，集合满足条件，故B正确;当时，三点的坐标依次为，集合M有三个元素，不满足题意；当时，三点的坐标依次为，集合M有三个元素，不满足题意；当时，三点的坐标依次为，集合M有三个元素，不满足题意；综上，可以是.6.已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用可以求解的向量来表示.【详解】记圆心为，则，因为互为相反向量，所以，因为正六边形ABCDEF的边长为2，为正六边形的中心，所以当与正六边形顶点重合时，有最大值2，当在正六边形边上的中点处时，有最小值，此时.所以.故选：B7.已知函数，若恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，分析可知函数为增函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性及单调性可得恒成立，换元令，结合函数最值运算求解.【详解】令，函数的定义域为，为增函数，且，所以函数为奇函数，所以若恒成立，则恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，即，令，则恒成立，因为在区间上的最大值为，所以的取值范围是.8.若方程的三个根成等比数列，则公比为（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】分离参数，转化问题为直线与图象的交点问题，结合导数作出函数图象，进而求解即可.【详解】由，得，所以.设.方程的根等价于直线与图象的交点的横坐标.因为函数的导数为，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又时，，时，，作出的大致图象，如下图：则（*），因为成等比数列，设公比为，所以，，代入（*）式得，由，得，即，所以，解得，代入，可得，整理得，解得或（舍去），则公比为.二、多选题9.已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A.与互相垂直B.与向量共线的单位向量为C.，可以作为平面内的一组基底D.向量在上的投影向量为【答案】AC【解析】【分析】本题考查平面向量的核心性质，结合向量垂直判定、共线单位向量求解、基底定义、投影向量公式即可求解.【详解】对于A，，所以，故A正确；对于B，向量共线的单位向量为，故B错误；对于C，平面向量，，所以，不共线，所以，可以作为平面内的一组基底，故C正确；对于D，向量在上的投影向量，故D错误.10.在中，角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则为钝角三角形D.若，则为等腰三角形或直角三角形【答案】BCD【解析】【分析】结合三角形内角性质、余弦函数单调性、正弦定理及三角恒等变换，逐一判断各选项的正确性.【详解】在中，若，由大角对大边得，根据正弦定理，可得，即，选项A错误；在中，因为，所以函数在上单调递减，所以，选项B正确；在中，若，则、、中至少有一个为负数，那么角，，中至少有一个钝角，所以为钝角三角形，选项C正确；在中，若，所以由正弦定理可得，即又，所以，得或，即或所以为等腰三角形或直角三角形，选项D正确.11.已知，为方程的两个实根，设，下列结论正确的是（）A. B.存在，使得C.的个位数字为7 D.为完全平方数【答案】ACD【解析】【分析】选项A，根据韦达定理推导数列的递推关系，并求出即可；选项B，将的表达式代入，利用韦达定理化简得到通式后判断；选项C，计算前若干项的个位数字，找到周期，再根据周期取余得到对应个位数字；选项D，利用的表达式，结合的幂次的变形推导其结构，再代入判断是否为完全平方数.【详解】由于是方程的根，则有：两边同乘，可得递推关系：，则，即等式两侧同除以2，可得故数列的递推公式：，，.选项A：，A正确.选项B：化简，结合展开得：，B错误.选项C：依次计算可得：，，，，，，经过计算，从往后，可得个位数循环节为：，即周期为6，所以，余数为，对应个位数字为，C正确.选项D：由代入得：，可得，是完全平方数，D正确.三、填空题12.已知角的终边经过点，则________．【答案】【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义，由终边上一点的坐标求该点到原点的距离，再求正弦值．【详解】因为角的终边经过点，所以r=(-3)²+1²=10因此．13.已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．【答案】【解析】【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．【详解】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．14.已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是___.【答案】【解析】【分析】作出的大致图象，令，再根据二次函数零点分布列不等式组即可求解.【详解】当时，，，当时，，函数单调递增；当，，函数单调递减；当时，，，此时函数为增函数，作出函数的图象如图：设，则时，有3个根，当时，有2个根当时，有1个根，当时，有0个根，则有四个相异的实数根，等价为有2个相异的实数根，其中，，设，，解得故答案为:四、解答题15.已知数列满足，，．（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式；【答案】（1）因为,所以有,当时,,所以,所以数列是以12为首项，4为公比的等比数列.（2）【解析】【小问1详解】略【小问2详解】由（1）得，，所以，等式两边同除，，令，则，构造：，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，还原.16.已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在锐角中，若且，求周长的取值范围．【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）【解析】【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算得到的表达式，结合三角恒等变换公式将其化简为正弦型函数，再根据正弦函数的性质求解最小正周期和单调递增区间.（2）先由结合锐角三角形的条件求出角，再利用正弦定理将三角形的边转化为角的三角函数，结合锐角三角形内角范围确定角的取值区间，最终求出周长的取值范围.【小问1详解】∵，，∴.∴.函数的最小正周期.令，解得，即的单调递增区间为.【小问2详解】∵，∴，即.∵为锐角三角形，∴，则，∴，得.由正弦定理得，∴，.又，故.∵为锐角三角形，∴，解得.的周长，∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴，即周长的取值范围为.17.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．（1）若，求边上的角平分线长；（2）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由正弦定理结合两角和的正弦求出，再根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可；（2）利用向量加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.【小问1详解】由及正弦定理得，即，即，所以，因为，所以.因为，所以.由余弦定理得，又，所以，由得，所以，所以，解得.【小问2详解】因为为的中点，所以，则，由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即边上的中线的取值范围为.18.已知函数，．（1）若，求的极值点；（2）若，都有，求的取值范围；（3）证明：，有．【答案】（1）有极小值点，无极大值点．（2）（3）由（2）知，令，则，所以，即，所以．【解析】【分析】（1）代入求导并通分，解导数零点，根据定义域舍去负根，再由导数正负划分单调区间，判定极小值点；（2）化简导数分子为二次函数，以分界分类：时导数恒非负，函数在递增，；时处导数为负，存在正区间函数递减致，舍去，得；（3）借用（2）结论，令作放缩证明，对到累加，左边对数合并化简为，右边即为待证求和式，得证．【小问1详解】当时，，，，令，则，，解得，（舍去），时，，单调递减；时，，单调递增，所以有极小值点，无极大值点．【小问2详解】，，由基本不等式知，当时，，，则函数在上单调递增，所以，符合题意；当时，，，记，则是开口向上，对称轴为的二次函数．又，所以在上单调递减，则.所以时，，单调递减，，不符合题意，综上．【小问3详解】略19.若将图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是函数的图象，则称为“旋转函数”．（1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；（2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值；（3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围．【答案】（1）不是，理由见详解（2）（3）【解析】【分析】（1）根据函数的定义直接判断即可.（2）将已知条件转化为函数与直线最多一个交点，利用两个函数图象的交点与对应方程根的关系，分离，构造新函数，转化为新函数在上单调，进而求解.（3）同问题（2）根据已知条件构造新函数，转化为新函数在上单调，求导，分离参数，转化为恒成立问题求最值即可.【小问1详解】函数不是“旋转函数”，理由如下：的斜率为，倾斜角为，逆时针旋转后与轴重合，当时，有无数个与之对应，不满足函数定义，因此函数