天津三十二中2025-2026学年高二（下）第一次月考数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津三十二中高二（下）第一次月考数学试卷一、单项选择题：本大题共9小题，共45分。1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法有（）A.3种 B.6种 C.9种 D.24种2.（x-3y）5展开式中第3项的系数是（）A.90 B.-90 C.-270 D.2703.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（）

​​​​​​​A.为函数​​​​​​​的一个零点

B.函数在区间上单调递减

C.为函数​​​​​​​的一个极大值点

D.是函数​​​​​​​的最大值4.函数y=xlnx,x∈（0，5）的单调性是（）A.单调递增

B.单调递减

C.在（0，）上单调递减，在（，5）上单调递增

D.在（0，）上单调递增，在（，5）上单调递减5.若函数f（x）=-x3+3ax2+2在x=2处取得极值，则f（x）在[1，3]内的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.66.已知函数在区间[1，2]上是增函数，则实数m的取值范围为（）A.4≤m≤5 B.2≤m≤4 C.m≤2 D.m≤47.若二项式的展开式中x5的系数是-80，则实数a=（）A.-80 B.80 C.-2 D.28.“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（）A. B. C. D.9.下列实数m的取值范围中，能使关于x的不等式ln（x+m）≤mx恒成立的是（）A.（-1，1） B.（0，2） C.（，1] D.[1，）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。10.二项式的展开式的中间一项为______．11.已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是

.12.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有______种不同着色方法

13.从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的四位数有

.14.已知函数f（x）=（x-1）ex-kx3+1，若对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x2f（x1）+x1f（x2），则实数k的取值范围是

.三、解答题：本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题5分)

函数f（x）=（x-3）ex的单调递增区间是______．16.(本小题12分)

有4名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式-最后用数字作答）.

（1）全体排成一排，女生必须站在一起；

（2）全体排成一排，女生互不相邻；

（3）已知甲、乙是这7人中的两人，甲不站在排头，乙不站在排尾；17.(本小题14分)

已知二项式（-）n（n∈N*）的展开式中二项式系数和与各项系数和之差为255．

（1）求n的值；

（2）求展开式中的常数项．18.(本小题15分)

如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱BC，CD的中点.

​​​​​​​

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求二面角​​​​​​​的正弦值.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a,b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值.

（I）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+t,若g（x）=f（x）+t有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.20.(本小题17分)

已知函数f（x）=x（lnx-k-1），k∈.

（1）当x＞1时，求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求实数k的取值范围；

（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1•x2＜e2k．

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】1155

11.【答案】[1，+∞）

12.【答案】84

13.【答案】180

14.【答案】

15.【答案】（2，+∞）

16.【答案】720

1440

3720

17.【答案】解：（1）二项式系数和为2n，

令x=1可得各项系数和为（1-2）n=（-1）n，

所以2n-（-1）n=255，

解得n=8．

（2）二项式（-）8的展开式的通项公式为Tr+1==（-2）r，

令=0，的r=2，

故常数项为第3项T3=（-2）2=112．

18.【答案】（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，

故，

设平面的法向量为，

则，即，

令z=1，则x=2，y=-2，​​​​​​​故，

又，，所以，

则，又平面，

故平面.

（2）解：由（1）可知，，

则，

故直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为.

（3）解：由（1）可知，，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，故，

所以，

故二面角的正弦值为．

19.【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）（-∞，0）∪（，+∞）．

20.【答案】解：（1）∵f（x）=（lnx-k-1）x（k∈），

∴x>0,，

①当k≤0时，∵x＞1，∴，

函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值；

②当k＞0时，令lnx-k=0，解得x=ek，

当1＜x＜ek时，f′（x）＜0；当x＞ek，f′（x）＞0，

∴函数f（x）的单调减区间是（1，ek），单调增区间是（ek，+∞），

在区间（1，+∞）上的极小值为

f（ek）=（k-k-1）ek=-ek，无极大值．

（2）∵对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，

∴f（x）-4lnx＜0，

即问题转化为（x-4）lnx-（k+1）x＜0对于x∈[e，e2]恒成立，

即对于x∈[e，e2]恒成立，

令，则，

令t（x）=4lnx+x-4，x∈[e，e2]，则，

∴t（x）在区间[e，e2]上单调递增，

故t（x）min=t（e）=e-4+4=e＞0，

故g′（x）＞0，

∴g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数，

要使,对于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，

∴，即实数k的取值范围是．

证明：（3）∵f（x1）=f（x2），由（1）知，k>0，函数f（x）在区间（0，ek）上单调递减，在区间（ek，+∞）上单调递增，且f（ek+1）=0，

不妨设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，

要证x1x2＜e2k，只要证，即证，

∵f（x）在区间（