河北百师联盟2026-2027学年高二上学期开学联考数学试题+答案

高二数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,则a·b=2.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(-1,√3),则点A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设l,m是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是4.已知,角A为第三象限角，则的值为6.陀螺是我国一种传统的玩具，也叫作“冰尜(gá)”或“打老牛”.如图，将一个底面半径为5的圆锥形陀螺放倒在水平面上，并在水平面上绕顶点S滚动，其首次转回到原位置时，陀螺本身恰好滚动了3周，则该陀螺的侧面积为A.75πB.100πC.125πD.直线CC₁与平面ABCD所成的角为 上一点，且满足AP=mAC+D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。D.b在a上的投影向量的坐标AA第2页(共4页)点.若P,Q为线段CB₁上两点(CP<CQ),且,则A.A₁B//平面AC₁DB.异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值为C.三棱锥B-APQ的体积为定值D.点A₁到平面AC₁D的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.化简13.已知空间直线l的方向向量是m=(1,a+2b,a-1)(a,b∈R),平面a的一个法向量为n=(2,3,3).若l⊥a,则a+b=;若l//α,则a+b=.(第1空2分，第2空14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosB+√3sinB=2,且,则a+c的取值范围是·四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知,且(1)求tan(a+β)的值；(2)求的值.16.(15分)海岸上建有相距20√3海里的雷达站C,D,某一时刻接到海上B船因动力故障(1)救援出发时，A船距离雷达站C的距离为多少海里?(2)判断若A船以30海里/时的速度前往B处，能否在1.5小时内赶到救援(通过计算面ABC,棱AC的中点为(.(2)若AB=2,PC=m(m>1),的值.值范围及x₁+x₂的值.又mCα,所以L//m或1与m异面，故B错误.所以圆锥形陀螺底面的周长为C底=2πr=2π×5=10π,即陀螺自身完整滚动1周时，它的底面边缘在水平面上扫过的路径长度等于底面的周长10π.由题意得2πl=3×10π,解得l=15.所以S侧=π×5×15=75π.故选A. AB·CC₁=DC·CC₁=-6×4cos∠C₁CD=—12,B错误.=|AB|²+|AD|²+|CC₁I²+2AB·AD+2A=4²+4²+6²—24-24=20,所以A|C₁I=2√5,即AC₁=2√5,C正确.④数学答案第1页(共7页)A数学答案第2页(共7页) 对于B,因为a-b=(-1,-2)—(1,—3)=(-2,1),所以a·(a-b)=-1×(-2)+(-2)×1=0,所以al(a-b),故B正确；对于D,b在a上的投影向量的坐标,故D不正确.故选BC.解得所以f(x)在,故A正确.A数学答案第3页(共7页)由题意得中点，则DE//A₁B.又DEC平面AC₁D,A₁BC平面AC₁D,所以A₁B//对于B,由A选项知A₁B//DE,所以∠EDC₁即为异面直线A₁B与C₁D所成的角或其补角.所以所以△BPQ的面积是定值.又因为三棱柱A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，所以BB₁⊥平面ABC.又ADC平面ABC,所以BB₁⊥AD.因为D为BC的中点，AB=AC,所以BC⊥AD.因为BB₁∩BC=B,BB₁,BCC平面BB₁C₁C,所以AD⊥平面BB₁C₁C,对于D,设点A₁到平面AC₁D的距离为d.因为,所以AD²+C₁D²=AC²,所以AD⊥C因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以AA₁⊥平面ABC.又AA₁C平面AA₁C₁C,所以平面ABC⊥平面AA₁C₁C.因为平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC,AB⊥AC,ABC平面ABC,所以AB⊥平面AA₁C₁C.因为D为BC的中点，所以点D到平面AA₁C₁C的距离④数学答案第4页(共7页)13.2(第1空2分，第2空3分)【解析】由题意，m=(1,a+2b,a-1)(a,b∈R)是直线l的方向向量，n=(2,3,3)是平面α的一个法向量.又B∈(0,π),则,解得及正弦定理，由余弦定理得则由余弦定理得所以a+c的取值范围是代入.……6分(2)因为1-cos2α=2sin²α,sin2α=2sinacosα,所以…………………10分又因为,所以.…………13分所以∠DAC=180°-∠ACD-∠BDC-∠ADB=30°,∠ADC=∠BDC+∠ADB=120°.………………3分又DC=20√3,所以由正弦定理可,解得AC=60,A数学答案第5页(共7页)所以∠DBC=180°-∠BCA-∠ACD-∠BDC=60°.=60²+(20√2)²-2×60×20因为A船以30海里/时的速度前往B处，所以能在1.5小时内赶到救援.…………………15分又∵平面PAC⊥平面ABC,OBC平面ABC,平面ABC∩平面PAC=AC,∴BO⊥平面PAC.∵PCC平面PAC,∴BO⊥PC.……………6分又∵AB∩BO=B,AB,BOC平面ABC,∴PC⊥平面ABC.…………………7分设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),设直线OP与平面PAB所成的角为a.∵OP=(0,√2,m),或④数学答案第6页(共7页)解得m=2√3或(舍去).……………15分所以…………3分因此.………………………5分根据正弦函数的图象，解不等式+2kπ,k∈Z.……………8分(3),方程f(x)=m恰好有两个不同的根等价于y=sint在上的图象与直线y=m有两个交点.………………12分yE2E2因此实数m的取值范围为.……………15分整理得………………………17分又AB⊥AD,AD∩PD=D,ADC平面PAD,PDC平面PAD,所以AB⊥平面PAD.又DEC平面PAD,所以DE⊥AB2分又AP∩AB=A,APC平面PAB,ABC平面PAB,A数学答案第7页(共7页)所以DE⊥平面PAB.……………4分又DEC平面DEF,所以平面DEF⊥则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2).①因为PF=λPC,PC=(0,2,-2),所以F(0,2λ,2-2λ),设平面BFD的法向量为n=(x,y,z),令x=1,则,故.…………9分因为PA=(2,