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第七章极限理论中国人民大学龙永红Content目录第1讲几乎处处收敛与依概率收敛1第2讲矩收敛与依分布收敛23第3讲大数定律4第4讲中心极限定理5第5讲强大数定律第二十九讲大数定律伯努利大数定律切比雪夫大数定律与马尔科夫大数定律大数定律的一般形式辛钦大数定律积分计算的蒙特卡洛方法/01伯努利大数定律一、大数定律的引入

有了前面定义的收敛性概念，我们可以具体讨论概率论中的极限问题，比如，大量独立重复试验中特定事件发生频率趋于一个稳定值（概率）这一经验直观能够得到严谨的理论表述和证明。

本节讨论的大数定律，正是起源于伯努利对上述问题研究的结果，他把“频率趋于概率”这一直观表述中“趋于”的模糊概念严格化为“依概率收敛”。

一、大数定律的引入

二、伯努利大数定律

/02大数定律的一般形式一、伯努利大数定律的另一表达形式

因而，伯努利大数定律的结果可描述为：二、大数定律一般形式

/03切比雪夫大数定律与马尔科夫大数定律一、切比雪夫大数定律

二、马尔科夫大数定律

二、马尔科夫大数定律

/04辛钦大数定律一、辛钦大数定律

一、辛钦大数定律

这里用到矩母函数列极限性质，这一性质超出本书范围，我们不做讨论。/05积分计算的蒙特卡洛方法一、蒙特卡洛方法

在实际中许多定积分由于不能得到被积函数的原函数的显式表达式往往要使用数值计算来求得积分的近似值。一种基于统计模拟的方法如今被广泛应用于数值计算问题，这一方法以位于摩纳哥的世界著名赌场蒙特卡洛命名，被称作蒙特卡洛方法。

在定积分的计算中，蒙特卡洛方法的基本思想是，将积分转化为概率或随机变量的期望，通过统计模拟随机取点或随机变量取值，计算频率作为概率的估计，计算随机变量取值的平均值作为期望的估计，继而得到积分的近似值。其中，将积分转化概率，用频率估计概率，继而得到积分近似值的方法成为频率法；将积分转化为随机变量的期望，用平均值估计期望，继而得到积分近似值的方法称为均值法。二、频率法

在频率法中，将定积分视为一个曲边梯形的面积，取一个包含这个曲边梯形的矩形区域，在这个矩形区域上等可能随机取点，那么所取的点落在曲边梯形中的概率就为曲边梯形面积与矩形面积的比。由于矩形面积易知，如果能够得到这个概率，便可求得曲边梯形面积。

统计模拟的核心就在于通过计算机的随机数生成器实现在矩形区域内随机取点，当大量重复取点时，计算出这些点落在曲边梯形的频率，由伯努利大数定律

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