2026年秋高一数学中档题专练专题3-3 函数的奇偶性与对称性（解析版）

专题3-3函数的奇偶性与对称性

重难点题型

【题型1】判断函数的奇偶性

【题型2】利用奇偶性求值

【题型3】利用奇偶性求参数

【题型4】利用奇偶性求解析式

【题型5】利用函数奇偶性识别图像

【题型6】利用奇偶性与单调性比大小

【题型7】利用单调性解奇函数不等式

中档题型

【题型8】利用单调性解偶函数不等式

【题型9】已知f(x)=奇函数+M

【题型10】函数中心对称的抽象表达式及应用

【题型11】函数轴对称的抽象表达式及应用

【题型12】构造新函数解不等式

【课后作业】

重难点题型

【题型1】判断函数的奇偶性

一、函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，

偶函数关于y轴对称

那么函数f(x)就叫做偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)

f(x)，

奇函数关于原点对称

那么函数f(x)就叫做奇函数

二、判断奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数f(x)是偶函数函数f(x)的图象关于y轴对称；

函数f(x)是奇函数函数f(x)的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数yf(x)在x0处有意义，则有f(0)0；

偶函数yf(x)必满足f(x)f(|x|).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称

的两个区间上单调性相同.

(5)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得

的函数，如f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x).

f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(g(x))

偶偶偶偶偶

偶奇不确定奇偶

奇偶不确定奇偶

奇奇奇偶奇

【注意】在f(g(x))中，g(x)的值域是f(x)定义域的子集．

1．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（）

A．fxx21B．fxx31

1

C．fxx3D．fxx42x2

x

【答案】C

222

【解析】对于A，因为fxx1的定义域为R，且fx(x)1x1fx，

所以fxx21为偶函数；

333

对于B，因为fxx1的定义域为R，且fx(x)1x1fx，

所以fxx31不是奇函数；

1

对于C，因为fxx3的定义域为,00,，

x

3131311

且fx(x)xxfx，所以fxx3为奇函数；

xxxx

424242

对于D，因为fxx2x的定义域为R，且fx(x)2(x)x2xfx，

所以fxx42x2为偶函数；故选：C.

2．（2024·高一·山东·期中）（多选）已知fx,gx有相同的定义域，fx是偶函数，gx是奇函

数，且gx0，则（）

A．fxgx为奇函数B．fgx为偶函数

fx

C．fxgx是偶函数D．是奇函数

gx

【答案】BD

【解析】fx,gx有相同的定义域，fx是偶函数，gx是奇函数，且gx0，

所以fxfx,gxgx，

因为fxgxfxgxfxgx，故A错.

fgxfgxfgx，故B正确.

fxgxfxgxfxgx，故C错.

fxfxfx

，故D对.

gxgxgx

故选：BD.

【巩固练习1】判断下列函数的奇偶性

(1)fxx3x；

(2)fx1x2x21；

2x22x

(3)fx.

x1

【解析】（1）定义域为R，关于原点对称，

3

fxxxx3x(x3x)f(x)，

所以f(x)为奇函数.

1x20

（），所以定义域为，关于原点对称，

22x1{1,1}

x10

此时f(x)0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数.

（3）x10x1，所以定义域为(,1)(1,)，

不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数.

【巩固练习2】设函数fx,gx的定义域为R，且fx是奇函数，gx是偶函数，则下列结论中

正确的是（）

A．fxgx是偶函数B．fxgx是奇函数

C．fxgx是奇函数D．fxgx是奇函数

【答案】C

【解析】易知选项ABCD中的函数定义域即为R；

因为fx是奇函数，gx是偶函数，所以fxfx,gxgx，

对于A，fxgxfxgx，故fxgx是奇函数，即A错误；

对于B，fxgxfxgxfxgx，故fxgx是偶函数，即B错误；

对于C，fxgxfxgx，故fxgx是奇函数，即C正确；

对于D，fxgxfxgxfxgx，故fxgx是偶函数，即D错误

【题型2】利用奇偶性求值

由函数的奇偶性求函数值

由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用f(x)fx或

f(x)fx求解

3．已知函数yf(x)在R上是奇函数，且当x0时，f(x)x22x，则f(1)（）

A．1B．1C．0D．1

【答案】B

【解析】f11221，又fx在R上是奇函数，故f1f11.故选：B

21

【巩固练习1】已知fx是偶函数，当x0时，fx3x，则f（）

x3

A．7B．5C．7D．5

【答案】B

2

【解析】fx是偶函数，当x0时，fx3x，

x

1112

ff3165

则3331.故选：B

3

2x3,x0

【巩固练习2】如果函数y是奇函数，则f(3)（）

fx,x0

A．2B．2C．3D．3

【答案】D

2x3,x0

【解析】记gx，

fx,x0

因为gx为奇函数，所以g3g3，

又g3f3，g32333，

所以f3g3g33.故选：D

8

【巩固练习3】已知奇函数fx的定义域为R，且当x<2时，fx；当0x2时，

x2

f(x)=x2-2，则f3f0f1（）

A．7B．9C．-7D．-9

【答案】B

【解析】因为fx是定义域为R的奇函数，

8

所以f00，f3f38，f1f11221，

32

所以f3f0f19．

【题型3】利用奇偶性求参数

利用函数的奇偶性求参数函数的奇偶性，题目难度不大，属于基础题。根据偶函数的定义，即可求

参数考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力

常见方法：

（1）定义法

奇函数：f(x)

f(x)；偶函数：f(x)f(x)

（2）特殊值法

可以取0，±1这类比较好计算的特殊值

（3）函数性质法

①f(|x|)为偶函数，

②奇奇=奇；偶偶=偶；奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()偶=偶，结合常见函数模型

③复合函数yf[g(x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

（4）定义域对称法

若解析式中含有2个参数时，可以考虑通过定义域对称这个限制来得出参数的值

x21

4．已知f(x)为R上的偶函数，则a.

(3x2)(xa)

2

【答案】

3

【解析】法一：特殊值法：因为fx为偶函数，所以f1f1，

11112

所以，解得a，

3121a321a3

23x23

经检验，当a时，f(x)为偶函数，符合题意.

39x24

法二：定义法：因为fx为偶函数，所以fxfx，

2

x1x21

所以，化简得3a2x0，

3x2xa3x2xa

2

所以3a20，解得a.

3

2

5．已知定义在a2,a上的函数yfx是奇函数，则实数a的值为．

【答案】2或1

2

【详解】因为yfx，xa2,a为奇函数，

又奇函数的定义域关于原点对称，

所以a2a20，a20，

解得a2或a1

6．已知函数fxxa2x2a1为R上的奇函数，则fa的值是（）

A．0B．12C．12D．10

【答案】D

【分析】由奇函数的性质可知f00，由此可以求出a的值，进而可以求出fa.

【详解】因为函数fxxa2x2a1为奇函数，

所以f00，即a2a10，即a2或a1，

显然函数fxxa2x2a1的定义域为R关于原点对称，

且当a2时，有fxxx21，从而有fxxx21fx，

当a1时，有fxx2x1，但f12f10，

所以a2，即fxxx21，所以faf2222110.故选：D.

7．若fxxx2xa为奇函数，则a的值为（）

A．1B．0C．1D．2

【答案】D

【解析】由函数fxxx2xa为奇函数，可得f2f20，

可得82a0，解得a2，

经检验，当a2时，fxxx2x2x(x24)，

满足fxfx，符合题意，所以a2.故选：D.

【巩固练习1】（2024·高一·贵州安顺·期末）已知函数fx1xax是偶函数，则

a.

【答案】1

【解析】fx1xaxx2a1xa，由fx是偶函数可得

2

xa1xax2a1xa，即a1x0恒成立.

【巩固练习2】（2024·高一·江西上饶·期末）若函数fxax2bx1是2a,1a上的偶函数，则ab

的值为.

【答案】1

【解析】由题意首先2a1a0，解得a1，

即函数fxx2bx1是2,2上的偶函数，

由f1bf1b，解得b0，此时fxx21，经检验符合题意，

所以ab1.

2b

【巩固练习3】若函数fxxax1是定义在(b,2b2)上的偶函数，则f（）

2

157

A．B．C．D．2

444

【答案】D

【解析】因为函数f(x)x2ax1是定义在(b,2b2)上的偶函数，

a0

所以b2b20且fxx2ax1x2ax1fx，则，

b2

b2

所以f(x)x21，则ff(1)112.故选：D．

2

【题型4】利用奇偶性求解析式

由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤

（1）在哪个区间上求解析是，x就设在哪个区间上；

（2）把x对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得f(x)；

（3）利用函数的奇偶性把f(x)改写成f(x)或f(x)，从而求出f(x)．

2

8．所函数f(x)是R上的偶函数，且当x0时，函数的解析式为f(x)1，则f(1)；

x

当x0时，函数的解析式为.

2

【答案】1fx1

x

2

【解析】因为函数f(x)是R上的偶函数，且当x0时，函数的解析式为f(x)1，

x

所以f1f1211，

2

设x0，则x0，所以fx1，又fxfx，

x

2

所以fx1，

x

2

即当x0时，函数的解析式为fx1.

x

2

故答案为：1；fx1

x

以Fxgfx为偶函数，正确

1

9．函数fx是一个偶函数，gx是一个奇函数，且fxgx，则fx等于（）

x1

12x222x

A．B．C．D．

x21x21x21x21

【答案】A

【解析】因为函数fx是偶函数，函数gx为奇函数，则fxfx，gxgx，

111

由fxgx可得fxgx，即fxgx，

x1x1x1

1

fxgx

x11

所以，，解得fx，其中x1

1x21

fxgx

x1

【巩固练习1】设fx为奇函数，且当x0时，fxx3x，则当x0时，fx（）

A．x3xB．x3xC．x3xD．x3x

【答案】D

【解析】fx为奇函数，当x0时，fxx3x，

3

3

则当x0时，x0，fxfxxxxx.故选：D

【巩固练习2】fx是定义在R上的偶函数，当x0时，fxx22x3，求当x0时，fx的

解析式．

【答案】fxx22x3x0

2

【详解】当x0时，x0，fxx2x3x22x3，

由于fx是偶函数，故fxfx，

所以fxx22x3．

即当x0时，fxx22x3．

x(x1),x0

【巩固练习3】（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数f(x)是奇函数，那么g(x)

g(x),x0

（）

A．x(x1)B．x(x1)C．x(x1)D．x(x1)

【答案】A

【解析】当x0时，x0，所以f(x)x(x1)x(x1)，

又因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，

所以f(x)x(x1)，即f(x)x(x1)，

所以当x0时，g(x)x(x1).故选：A.

【巩固练习4】已知函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，f(x)g(x)x2x1，则f(2)（）

A．2B．1C．1D．2

【答案】A

【解析】根据题意，由f(x)g(x)x2x1①得f(x)g(x)x2x1，

因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，

所以f(x)g(x)x2x1②，

由①②得2f(x)2x，所以f(x)x，则f(2)2.故选：A.

【巩固练习5】（2024·高一·河南·期中）已知fx,gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且

fxgxx3x2x，则f1g1（）

A．1B．3C．3D．1

【答案】D

【解析】因fx,gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则有：f(x)f(x),g(x)g(x)，

由fxgxx3x2x，将其中的x取为x，则可化简得：

32

fxgxf(x)g(x)①xxx，

23

由联立可求得：f(x)x,g(x)x②x，于是f(1)g(1)1111.

①②

【题型5】利用函数奇偶性识别图像

判断函数图像常用的办法是排除法

一:判断奇偶性(依选项而判断)

二:代入特殊点看正负

2x21

10．函数fx的部分图象大致是（）

x3

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性和特殊区间的正负即可判断求解.

2x21

【详解】因为fx定义域,00,，

x3

2

2x12x21

且fx3fx，

xx3

所以fx是奇函数，则fx的图象关于原点对称，排除A，D；

2

当0x时，fx0，排除B.

2

x1

11．函数fxx的图象大致为（）

1x22

A．B．

C．D．

【答案】A

x1

【详解】fxx，函数定义域为R，

1x22

x1

fxxfx，函数为奇函数，排除CD，

1x22

f10，排除B

x21

【巩固练习1】函数fx的图象大致是（）

x

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.

【详解】函数的定义域为xx0，

(x)21x21

因为fxfx，

xx

所以f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，

所以排除A，

x21

当x0时，fx0，所以排除C，

x

x211

当x1时，f(x)x，

xx

1

因为yx和y在(1,)上递增，所以f(x)在(1,)上递增，所以排除B

x

【巩固练习2】（2024·高一·江苏南京·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，

形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解

析式来分析函数的图像特征，函数yx21x21在[﹣2，2]上的图像大致是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】fxx21x21定义域为R，

2222，

fxx1x1x1x1fx

则fx是偶函数，其图象关于y轴轴对称，排除选项CD；

又因为f00210211，则排除选项A，选B.

2x

【巩固练习3】（2024·高一·重庆·期中）函数f(x)的图像大致是（）

x21

A．B．

C．D．

【答案】A

2x

【解析】由f(x)f(x)，得函数f(x)为奇函数，排除B项，

x21

224

由f(2)，得0f(2)1，则排除C、D两项.

2215

【题型6】利用奇偶性与单调性比大小

利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用

其单调性比较大小

f(x)f(x)

12．已知奇函数f(x)的定义域为,00,，且不等式120对任意两个不相等的正

x1x2

实数x1，x2都成立，在下列不等式中，正确的是()

A．f5f3B．f5f3C．f(3)f(5)D．f(3)f(5)

【答案】C

f(x)f(x)

12

【解析】根据不等式0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，得到f(x)在区间

x1x2

(,0)、(0,)单调递增，从而求出答案．

【详解】解；对任意正实数x1、x2(x1x2)，

f(x)f(x)

恒有不等式120，

x1x2

f(x)的定义域为,00,，

f(x)在区间(,0)、(0,)单调递增，

f(3)f(5)

13．设偶函数fx的定义域为R，当x0,时，fx是增函数，则f7，fπ，f3的

大小关系是（）

A．f(π)f(3)f(7)B．fπf7f3

C．fπf3f7D．fπf7f3

【答案】A

【解析】由fx是R上的偶函数，得f(7)f(7),f(3)f(3)，

又fx在0,上单调递增，则f(7)f(3)f(π)，

所以f(π)f(3)f(7).故选：A

【巩固练习1】已知函数f(x)ax2b是定义在[a,a2]上的偶函数，又g(x)f(x2)，则

g(2),g(3),g(2)的大小关系为（）

A．g(2)g(3)g(2)B．g(3)g(2)g(2)

C．g(2)g(2)g(3)D．g(2)g(3)g(2)

【答案】D

【详解】根据题意，数f(x)ax2b是定义在[a,a2]上的偶函数，

则有aa20，解可得a1，

则函数f(x)是开口向下的二次函数，在区间[0,)上为减函数，

又g(x)f(x2)，函数g(x)的对称轴为x2，且在(2,)上为减函数，

则有g(2)g(3)g(6)g(2)，

即g(2)g(3)g(2).

【巩固练习2】已知函数fx在3,上单调递减，且fx的图象关于直线x3对称，则af0.2，

bf2,cf0的大小关系是（）

A．abcB．bcaC．cbaD．bac

【答案】D

【分析】结合函数的对称性及单调性即可比较大小

【详解】因为函数fx在3,上单调递减，且fx的图象关于直线x3对称，

所以函数fx在,3上单调递增，

因为00.22，所以f(0)f(0.2)f(2)，

即c<a<b

【巩固练习3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知函数fx是定义在R上的偶函数，函数gx是

定义在R上的奇函数，且fx，gx在0,上单调递减，则（）

A．ff2ff3B．fg2fg3

C．gg2gg3D．gf2gf3

【答案】D

【解析】因为fx，gx在0,上单调递减，fx是偶函数，gx是奇函数，

所以gx在R上单调递减，fx在,0上单调递增，

对于A中，由f2f3，但无法判断f2,f3的正负，所以A不正确；

对于B中，因为gx是定义在R上的奇函数，可得g00，

又因为gx在0,上单调递减，可得0g2g3，

因为fx在0,上单调递减，且fx为偶函数，所以fx在(,0)上为增函数，

所以fg2fg3，所以B不正确；

对于C中，由g2g3，gx在R上单调递减，所以gg2gg3，所以C不正确；

对于D中，由f2f3，gx在R上单调递减，gf2gf3，所以D正确.故选：D.

【题型7】利用单调性解奇函数不等式

先移项，再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义

域的限制

14．已知奇函数fx在R上单调递增，且f21，则不等式fx10的解集为（）

A．1,1B．2,2C．2,D．,2

【答案】D

【解析】由fx10，可得fx1，

因为fx是奇函数，且f21，所以fxf2，

因为fx在R上单调递增，所以x<2，

故不等式fx10的解集为,2．故选：D

15．若定义在R上的奇函数fx在(,0)单调递减，且f20，则满足xfx0的x的取值范围

是（）

A．2,0[2,)B．2,2

C．[,2]0,2D．[,2][2,]

【答案】B

【解析】fx为R上的奇函数，且在(,0)单调递减，f(2)0，

f(2)0，f(0)0，且在0,上单调递减，

所以fx0x2或0x2，fx02x0或x2，

x0x0

xf(x)0可得，或，

x2或0x22x0或x2

即0x2或2x0，即2x2，故选：B.

【巩固练习1】奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范

围．

【答案】(1，2)

【详解】原不等式化为f(m－1)＜－f(3－2m)．

因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)＜f(2m－3)．

因为f(x)是减函数，

所以m－1＞2m－3，所以m＜2．

又f(x)的定义域为(－1，1)，

所以－1＜m－1＜1且－1＜3－2m＜1，

所以0＜m＜2且1＜m＜2，所以1＜m＜2．

综上得1＜m＜2．

故实数m的取值范围是(1，2)．

axb12

【巩固练习2】函数f(x)是定义在(1,1)上的单调递增的奇函数，且f.

1x225

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求满足f(t1)f(t)0的t的范围；

x

【答案】(1)f(x)(1x1)

1x2

1

(2)0t

2

12

【分析】（1）依据奇函数性质以及f先求出a、b的值即可求得函数f(x)的解析式，再进行

25

验证即可.

（2）依据奇函数性质将不等式变形为f(t1)f(t)，再结合单调性和定义域即可求解.

【详解】（1）由已知可知f(0)0，解得b0，

12

又f，解得a1，

25

x

所以f(x)(1x1)，

1x2

xx

因为f(x)22fx(1x1)，

1x1x

所以fx为奇函数，任取1x1x21，

22

xxx11x2x21x1xx1xx

则fxfx121212，

12222222

1x11x21x11x21x11x2

<<<22>

因为1x1x21，故x1x20,1x1x21,1x11x20，

所以1x1x20，故fx1fx20，即fx1fx2，

所以函数fx在(1,1)上单调递增，

x

所以函数f(x)的解析式为f(x)(1x1).

1x2

（2）因为fx为奇函数，由已知可变形为f(t1)f(t)，

又fx在(1,1)上是增函数，

1

所以-1<t-1<-t<1，0t.

2

【巩固练习3】设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为()

A．(－1,0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,0)∪(0,2)

【答案】C

【解析】利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，

x>0，x<0，

所以不等式xf(x)<0可化为或由图可知x>2或x<－2，故选C.

fx<0fx>0，

【巩固练习4】设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式xf(x)0的解集为

A．(1，0)(1，)B．(，1)(0，1)

C．(，1)(1，)D．(1，0)(0，1)

【答案】D

【详解】因为奇函数f(x)在(0，)上为增函数,

所以f(x)在(，0)上也是增函数,且f(1)f(1)0,

从而f(x)在定义域上的大致图象为：

所以xf(x)0的解为:1x0,或0x1

中档题型

【题型8】利用单调性解偶函数不等式

利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，再加上绝对值，得到绝对值不等式(组)，注意是否有定

义域的限制

16．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意x1，x2(,0]，当x1x2时总有

f(x)f(x)1

120，则满足f(12x)f()0的x的范围是（）

x1x23

12121212

A．,B．,C．,D．,

33332323

【答案】A

f(x)f(x)

12

【详解】任意x1，x2(,0]，当x1x2时总有0，

x1x2

f(x)在(,0]上是增函数，

又f(x)是定义域为R的偶函数，

故f(x)在[0,)上是减函数．

111

由f(12x)f()0可得f(12x)f()f()．

333

1112

所以12x，解得x，

3333

12

即不等式的解集为(,)

33

111

17．已知fx是定义在,上的偶函数，且在,0上递减，则不等式fxf12x0的

222

解集是．

11

【答案】x|x

32

11

【分析】根据fx是定义在,上的偶函数，将不等式fxf12x0转化为

22

fxf12x，再利用其单调性求解.

111

【详解】解：因为fx是定义在,上的偶函数，且在,0上递减，

222

1

所以fx在0,上递增，

2

不等式fxf12x0等价于fxf12x，

1

x

2

111

所以12x，解得x，

232

x12x

11

所以不等式fxf12x0的解集是x|x.

32

【巩固练习1】已知fx是定义在R上的偶函数，且在区间0,单调递减，则不等式

fx1f2x1的解集为（）

A．,20,B．2,0

C．0,2D．,02,

【答案】A

【解析】因为fx是定义在R上的偶函数，所以fx1f2x1，

又因为fx是在区间0,单调递减，

22

所以x12x1，即x12x1，于是有3x26x0，解得x<2或x0，

故不等式fx1f2x1的解集为,20,.故选：A.

【巩固练习2】已知定义在[4,4]上的偶函数f(x)在[0,4]上为减函数，且f(x1)f(2)，则实数x

的取值范围是（）

A．3,B．3,3C．3,1D．1,3

【答案】C

【解析】因为f(x)为定义在[4,4]上的偶函数，且f(x1)f(2)，可得fx1f(2)，

且f(x)在[0,4]上为减函数，则0x12，解得3x1，

所以实数x的取值范围是3,1.故选：C.

2axb19

【巩固练习3】已知定义在[2,2]上的偶函数f(x)，且f()．

x21310

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解关于m的不等式f13mfm10．

2axb

【解析】（1）f(x)是定义在[2,2]上的偶函数，

x21

∵4ab4ab

f(2)f(2)，，即a0，

55

∴b9

19

又f()，即110，解得b1，

3101

9

1

所以f(x)，经检验符合题意．

x21

1

（2）由（1）知：f(x)，f(x)在[0,2]上为单调递减函数，

x21

因为f13mfm10，即f∴13mfm1，

又f(x)为偶函数，可得f13mfm1，

∵213m2

11

综上可得：2m12，解得m0或m1，

32

13mm1

11

所以不等式的解集为[,0)（,1]．

32

【题型9】已知f(x)=奇函数+M

已知f(x)奇函数M，x[a,a]，则

（1）f(x)f(x)2M

（2）f(x)maxf(x)min2M

b

18．（22-23高一上·浙江台州·期中）已知f(x)ax33，f(4)5，则f4（）

x

A．3B．1C．-1D．-5

【答案】B

b

【解析】设gxfx3ax3，定义域为,00,，

x

3bb

则gxaxax3gx，故gx为奇函数，

xx

又g4f43532，则g42，

所以f4g43231.故选：B

x3

19．已知函数fx3在区间2024,2024上的最大值为M，最小值为m，则

x22

Mm．

【答案】6

x3

【解析】设gx，

x22

则gx的定义域为R，且连续不断，

3

x3x

由gxgx220，可知gx为奇函数，

x2x2

设gx在2023,2023上的最大值为gx0，

由奇函数的对称性可知gx在2023,2023上的最小值为gx0gx0，

=-+

则函数fxgx3在区间2023,2023上的最大值为Mgx03，最小值为mg(x0)3，

所以Mmgx03gx036.

(x1)2g(x)

20．定义在R上的奇函数g(x)，设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则

x21

Mm．

【答案】2

2xg(x)

【分析】由题意可得h(x)的最大最小值分别为M1，m1，由奇函数的性质可得

x21

(M1)(m1)0，变形可得答案．

【详解】函数yg(x)为奇函数，g(x)g(x)，

(x1)2g(x)2xg(x)

又f(x)1的最大值为M，最小值为m，

x21x21

2xg(x)

又h(x)h(x)，即yh(x)为奇函数，

x21

2xg(x)

且h(x)的最大最小值分别为M1，m1，

x21

由奇函数的性质可得(M1)(m1)0，

解得Mm2．

【巩固练习1】（2024·高一·浙江·期中）已知函数fxax3bx4，若f20242，则

f2024．

【答案】6

3

【解析】令gxax3bx，gxaxbxax3bxgx，

所以gx为奇函数，

所以f2024g202442，所以g20242，

所以g20242，所以f2024g202446．

2

2x1

【巩固练习2】若函数fx在区间2024,2024上的最大值为M，最小值为m，则

x21

Mm．

【答案】4