2026年秋高一数学中档题专练专题 1-1 集合与常用逻辑用语有关的参数问题（解析版）

专题1-1集合与常用逻辑用语重难点题型专练

【题型1】结合元素的互异性求参数（分类讨论）...................................................................1

【题型2】集合关系的辨析...........................................................................................................2

【题型3】利用集合相等求参数.................................................................................................4

【题型4】利用集合中元素的个数求参数...................................................................................6

【题型5】由集合间包含的关系求参数的范围...........................................................................8

类型一求参数的值（互异性分类讨论）.....................................8

类型二方程型（判别式与根的讨论）.......................................9

类型三不等式型（注意讨论空集）........................................11

【题型6】容斥原理......................................................................................................................13

【题型7】集合中的新定义问题.................................................................................................18

【题型8】根据集合的交并补运算结果求参数.........................................................................20

类型一分类讨论求参数的值（互异性）....................................20

类型二求参数范围（讨论空集）..........................................22

【题型9】根据集合混合运算的结果确定参数的范围.............................................................23

【题型10】逆否条件的性质.......................................................................................................25

【题型11】根据充要条件求参数值...........................................................................................26

【题型12】根据充分条件求参数取值范围...............................................................................27

【题型13】根据必要条件求参数取值范围...............................................................................28

【题型14】根据全称量词命题求参数范围...............................................................................29

【题型15】解三角形利用三角函数或基本不等式求最值.......................................................31

【题型16】命题与集合................................................................................................................32

【题型1】结合元素的互异性求参数（分类讨论）

互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互

异性”．

注意：通过互异性求参数要检验看集合中的所有元素是否有重复的情况

【例1】已知集合P有三个元素1,2a1,a21.若0P，则实数a的值为（）

11

A．B．1C．或1D．0或1

22

【答案】C

【解析】因为0P，所以2a10或a210.

13

当2a10即a时，P1,0,，满足题意；

24

当a210即a1时，

若a1，则P1,3,0，满足题意；若a1，则P1,0，不满足题意；

1

综上，实数a的值为或1.故选：C

2

【例2】（高一上·四川德阳·期末）若10,m,m22m1，则m．

【答案】2

【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案.

【详解】因为10,m,m22m1，

所以m1或m22m11，

若m1，m22m10，不满足互异性；

若m22m11m0或2，又m0，所以m2

【练1】已知集合M1,m,m23，且4ÎM，则m取值构成的集合为（）

A．1,4B．1,4C．1,1,4D．

【答案】B

【解析】因为集合M1,m,m23，且4ÎM，

所以m4或m234.

当m234时，解得：m1或m1.

而m1，不符合元素的互异性，故m4或m1.故选：B

【练2】已知集合A{12,a24a,a2}，且3A，则a（）

A．1B．3或1C．3D．3

【答案】D

【详解】由集合A{12,a24a,a2}，得a24aa2，解得a2且a1，

显然a23，由3A，得a24a3，而a1，解得a3，

当a3时，A{12,3,5}，符合题意，

所以a3.

【题型2】集合关系的辨析

1k

【例1】（24-25高二上·云南保山·阶段练习）设集合Mxxk,kZ，Nxx1,kZ，

33

则（）

A．NMB．MN

ð

C．MND．NRM

【答案】B

3k1k3

【分析】将集合M,N中表达式化为,，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即

33

可确定M,N的包含关系．

3k1k3

【详解】根据已知得Mxx,kZ，Nxx,kZ，所以MN

33

【例2】若A、B、C为三个集合，ABBC，则一定有（）

A．ACB．CAC．A¹CD．A

【答案】A

【分析】由已知等式可推导得到ABC，由此可依次判断各个选项得到结果.

【详解】因为ABBC，

所以ABB，ABC，BBC，

所以AB,AC,BC,

所以ABC，

对于A，因为ABC，所以AC，故A正确；

对于B，当且仅当ABC时，CA，故B错误；

对于C，当ABC时，满足ABC，故C错误；

对于D，当A时，满足ABC，故D错误.

【练1】（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合Axx3t1,tZ，Bxx3t2,tZ

则“xA”是“xB”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】通过tZ，得AB，再根据充要条件的判断方法判断即可.

【详解】因为3t13t12，tZ，t1Z，所以A中的元素都是B中的元素，

又因为3t23t11，tZ，t1Z，所以B中的元素都是A中的元素，

所以AB，所以“xA”是“xB”的充要条件.

1

【练2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合Mxxm,mZ，

6

n1p1

Nxx,nZ，Pxx,pZ，则M,N,P的关系为（）

2326

A．MNPB．MNPC．MPND．NPM

【答案】B

【分析】先将集合M,N,P中元素化为统一形式，然后进行判断即可.

16m132m1

【详解】Mxxm,mZ，

666

n13(n1)13k1

Nxx,nZx|x,kZ,

2366

p13p1

Pxx,pZ，

266

故MNP

【练3】（24-25高一上·重庆·阶段练习）（多选）设

a,bAx∣x3m1,mZ,cBx∣x3k1,kZ，则（）

A．abAB．abA

C．abBD．acB

【答案】BCD

【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可.

【详解】设a3u1,b3v1,c3w1u、v、wZ，

而ab3uv23uv11B，即A错误，C正确；

ab9uv3uv133uvuv1A，即B正确；

ac9uw3wu133uwuw1B，即D正确.

【练4】（24-25高一上·四川达州·期中）（多选）若集合M,N满足MNU，则下列结论正确的

是（）

A．MNNB．N(MN)

痧

C．UMUND．痧U(MN)UM

【答案】AD

【分析】通过分析每个选项中集合之间的关系，利用已知的MNU来判断其正确性.

【详解】对于A选项，因为MN，所以MNN，A正确；

对于B选项，由于MN，所以MNM，即MNN，而不是N(MN)，B错误；

痧

对于C选项，因为MN，所以(UM)(UN)，C错误.

痧痧

对于D选项，由C可得，(UN)(UM)，注意到MNN，于是UMNUM，D正确.

【题型3】利用集合相等求参数

集合相等：两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。

集合A与集合B相等记作A=B.

【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从集

合的形式上看，比如0<x<5,xÎN构成的集合与1,2,3,4,构成的集合相等．

b

【例1】设a，bR，若集合{1,ab,a}0,,b，则a2b.

a

【答案】0

b

【分析】利用集合相等以及a0，可得ab0，即1，代入原式可得a,b的值，进而求出答

a

案．

【详解】由题意可知：a0，

bb

因为{1,ab,a}0,,b，则ab0，可得1，

aa

a1

则{1,0,a}0,1,b，可得，且满足ab0，

b1

2

所以a2b110.

b

【例2】含有三个实数的集合可表示为a,,1，也可以示为a2,ab,0，则a2023b2024的值为.

a

【答案】1

【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.

【详解】解：由题意，若aa2，则a0或1，

检验可知不满足集合中元素的互异性，

所以aab，则b0，

所以a21，则a1，

故a2023b20241.

b11

【练1】（24-25高一上·安徽·期中）若1,a,0,,b，则ba．

aa

【答案】2

【分析】由a为分母可得a0，再利用集合相等的性质计算即可得解．

b1

【详解】由题意可得a0，则0，即b1，

a

1

则a，解得a1或a1，

a

若a1，则违背集合元素的互异性，舍去；

若a1，则有1,1,00,1,1，符合要求；

综上所述，a1，则ba112．

【练2】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设集合A1,a,b，Ba,a2,ab，若AB，则

a2023b2023的值为（）

A．2B．2C．1D．1

【答案】C

【详解】令a21或ab1分类讨论即可．

【分析】因为集合A1,a,b，Ba,a2,ab，

若AB，由集合的互异性知a1，则a21或ab1．

当a1时，A1,a,b1,1,b，

Ba,a2,ab1,1,b，有bb，得b0，

2023

所以a2023b20231020231；

22

当ab1时，集合A1,a,b，Ba,a,aba,a,1，有ba2，

11

又b，所以a2，得a1，不满足题意．

aa

综上a2023b20231．

b

【练3】含有三个实数的集合可表示为a,,1，也可表示为a2,ab,0，求a2025b2026的值．

a

【答案】1

b

【详解】由a,,1可得a0且a1（否则不满足集合中元素的互异性）．

a

aabaa2

所以1a2，或1ab

bb

00

aa

a1a1

解得，或．

b0b0

经检验a1，b0满足题意．

2025

所以a2025b202611．

2

【练4】已知Ma3,2a1,a1,N2,4a3,3a1，若M=N，则实数a的值为．

【答案】1

【解析】由题意知集合MN，

所以当a32时，得a1，所以M2,1,2,N2,1,2，故满足M=N；

1755

当2a12时，得a，所以M,2,,N2,5,，故不满足M=N；

2242

当a212时，无解，故不满足MN；

综上，可得实数a的值为1.

【题型4】利用集合中元素的个数求参数

利用集合中元素的个数求参数的问题往往以含参不等式的整数解个数或一元二次方程解的个数问题

为背景，注意平方项的系数是否可以去取0，以及验证是否能取等

【例1】若集合A{xZ∣mx4}中有5个元素，则实数m的取值范围为（）

A．[1,0)B．(1,0]C．(1,0)D．[2,1)

【答案】D

【详解】若集合A{xZ∣mx4}中有5个元素，则这五个元素只能是：3,2,1,0,1，

这表明m1,m2，即实数m的取值范围为[2,1).

故选：D.

【例2】已知集合Axax23x20,xR,aR．

（1）若A中没有元素，求a的取值范围；

（2）若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；

（3）若A中至少有一个元素，求a的取值范围．

92949

【答案】（1）,；（2）当a0时，集合A，当a时，集合A；（3）,

83838

【解析】（1）A中没有元素，a0且Δ0，

98a09

，解得a，

a08

9

所以a的取值范围为：,；

8

2

（2）①当a0时，集合A{x|3x20}，

3

②当a0时，Δ0，

94

98a0，解得a，此时集合A，

83

294

综上所述，当a0时，集合A，当a时，集合A；

383

9

（3）A中至少有一个元素，则当A中只有一个元素时，a0或a；

8

98a09

当A中有2个元素时，则a0且0，即，解得a且a0；

a08

99

综上可得，a时A中至少有一个元素，即a,.

88

【练1】（高一·浙江·期末）已知集合A{xN∣1xk}，集合A中至少有3个元素，则（）

A．k3B．k3C．k4D．k4

【答案】C

【解析】A{xN∣1xk}且集合A中至少有3个元素，k4.故选：C

2

【练2】若集合xmx2x10有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（）

A．1B．1,0C．{m|m1或m0}D．mm1

【答案】B

【详解】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素，

所以mx22x10有且仅有一个解，

1

当m0，则2x10x，满足要求；

2

当m0，则44m0m1，满足要求；

综上，满足条件的实数m组成的集合是1,0.

2

【练3】设集合Axax3x10．

(1)若A中只有一个元素，求实数a的值；

(2)若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围．

9

【答案】(1)0或

4

9

(2)a0或a≥．

4

2

【详解】（1）集合Axax3x10表示关于x的方程ax23x10的解集，

11

当a0时，由3x10，解得x=-，则A，符合题意；

33

92

当a0时，因为A中只有一个元素，则324a0，解得a，此时A，符合题意

43

9

综上可得a0或a；

4

（2）因为A中至多只有一个元素，由（1）可知a0时符合题意；

9

当a0，则324a0，解得a≥；

4

9

综上可得，实数a的取值范围为a0或a≥.

4

【题型5】由集合间包含的关系求参数的范围

由集合间关系求解参数的三部曲

第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；

第二步：看集合中是否含有参数，若AB，且A中含参数时应考虑参数使该集合为空集的情形；

第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围常采用

数形结合的思想，借助数轴解答．

【注意】

(1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；

(2)千万不要忘记考虑空集．

类型一求参数的值（互异性分类讨论）

【例1】已知集合A{1,3,a}，B{1,a}，若BA，则a（）

A．1B．0或1或3C．0或3D．3

【答案】C

【解析】因为BA，所以a3或aa.

若a3，则A1,3,3,B1,3，满足BA；

若aa，则a0或a1，

当a0时，A1,3,0,B1,0，满足BA；

当a1时，a1，集合A,B不满足元素的互异性，不符合题意；

综上所述：a0或a3，故选：C.

（2025高一·全国·专题练习）若集合A1,x,4，B1,x2，且BA，则实数x的值可以是（）．

A．2B．2，2

C．2，2，0D．2，2，0，1

【答案】C

【分析】因为BA，所以x21,x,4．逐一令x2x,x21,x24解方程，注意检验元素的互异性

即可.

【详解】因为BA，所以x21,x,4．

2

当x21时，集合B1,x不满足集合元素的互异性；

当x2x时，x0或x1（舍去），即x0，

此时A1,0,4，B1,0，满足BA；

当x24时，x2或x2，

当x2时，A1,2,4，B1,4，满足BA，

当x2时，A1,2,4，B1,4，满足BA．

所以x0或x2或x2．

类型二方程型（判别式与根的讨论）

【例1】已知Mxx22x30，Nxx2ax10,aR，且NM，则a的取值范围为

_________．

【答案】{a|2a2}

【解析】由题意，集合Mx∣x22x301,3，

当N时，即a240，解得2a2，此时满足NM，

当N时，要使得NM，则1N或3N，

当1N时，可得(1)2a10，即a2，此时N{1}，满足NM；

101

当3N时，可得323a10，即a，此时N{3,}，不满足NM，

33

综上可知，实数a的取值范围为{a|2a2}.

故答案为：{a|2a2}.

2

【练1】设集合Ax∣x5x60,Bx∣mx10，若B是A的真子集，则m的取值集合为（）

11111111

A．,B．0,,C．0,,D．,

23232323

【答案】B

【详解】因为集合A={x∣x2+5x+6=0}={-2,-3}，

Bx∣mx10，

当m0时，B，B是A的真子集，

11111

当m0时，B，因为B是A的真子集，所以2或3，解得m或m，

mmm23

故选：B

2

【练2】已知集合Px|xx60,Q{x|ax10}，且满足QP，求实数a可能取的一切值．

【解析】Px|x2x60{3,2},QP，

Q可能为，{3}，{2}.

当a0时，ax10无解，故Q，满足QP，

1

当Q{3}时，则3a10，解得a，

3

1

当Q{2}时，则2a10，解得a.

2

综上，实数a的取值为0,1,1

23.

2

【练3】已知Ax(m1)x10，Bxx2x30，若AB，求m的值．

【解析】Bxx22x301,3，若A,则m1，满足AB，

111

若A,则Ax(m1)x10，则1或3，

m1m1m1

2

解得m2或m，

3

2

所以m2或m或m1.

3

22

【练4】（多选）已知集合Ax∣x6x50,Bx∣ax2ax10，且BA，则实数a可能

的取值是（）

11

A．B．0C．-1D．

515

【答案】ABC

【解析】Ax|x26x501,5，且BA，则：

a0

①当B时，a0或2，解得a0或1a0，A适合题意；

Δ4a4a0

a0

②若B1，则Δ4a24a0，解得a1，

a2a10

a0

③若B5，则Δ4a24a0，此时无解，

25a10a10

a0

④若B1,5，则Δ0，此时无解，不合题意；

2a

15

2a

综上：a的值为0和1a0.

类型三不等式型（注意讨论空集）

【例1】已知集合Ax2x5，若BA，B{xm1x2m1,m为常数}，求实数m的取

值范围．

【解析】①若B，满足BA，则m12m1，解得m2．

2m1m1,

②若B，满足BA，则m12,解得2m3．

2m15,

由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m|m3．

【例2】已知集合Ax1x7，Bxax2a3，若BA，求满足条件的a的取值范围．

【答案】,31,2

【分析】对B分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解.

【详解】当B时，满足BA，此时，有a2a3，解得：a3；

a2a3

当B时，要使BA，只需a1，解得：1a2.

2a37

综上，实数a的取值范围为,31,2.

【练1】已知集合Ax|1x2024，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是（）

A．(2024,)B．[2024,)C．(,2024]D．(,2024)

【答案】B

【解析】集合Ax|1x2024，Bx|xa，又AB，则a2024，

所以实数a的取值范围是[2024,).故选：B

【练2】若A{x|2a1x3a2}，B{x|x211x100}，且AB，则实数a的取值范围是

_______.

【答案】(,4]

【分析】先求出集合B中不等式的解集，再由AB列不等式组求解即可.

【详解】解：由已知B{x|1x10}，

AB，

当A时，2a13a2，解得a3

2a11

当A时，3a210，解得3a4，

2a13a2

综合得a4.

故答案为：(,4]

【练3】集合Ax2a1x1a，Bxx24x50，若AB，则实数a的取值范围是

_______.

【答案】0,

【分析】先化简集合B，再根据集合间的基本关系，与集合A进行集合包含关系运算即可，注意讨

论子集中的空集的情况.

2

【详解】Bxx4x501,5，若AB，则A是B的子集，

2

当A时，2a11a，所以a，

3

2a11

2

当A时，1a5，所以0a，

3

2a11a

综上，实数a的取值范围是0,．

【练4】已知集合Ax1x2，Bx2m5xm3．

(1)若AB，求m的取值范围．

(2)若BA，求m的取值范围．

【答案】(1)mm1

(2)mm2

【详解】（1）若AB，如图所示，

2m51

则，解得m1，

m32

所以m的取值范围为mm1；

（2）若BA，有B和B两种情况，

8

当B时，2m5m3，解得m，

3

当B时，如图所示，

2m5m3

8

则2m51，解得2m，

3

m32

综上，m的取值范围为mm2．

【题型6】容斥原理

【例1】（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎

国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8

人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，

“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（）

A．三项都参加的有1人B．只参加拔河的有3人

C．只参加4人足球的有2人D．只参加羽毛球的有4人

【答案】BC

【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案.

【详解】根据题意，设A{x|x是参加拔河的同学}，B{x|x是参加4人足球的同学}，C{x|x

是参加羽毛球的同学}，

则cardA8，cardB7，cardC5，

又cardAB4，cardACcardBC3，

所以cardABC128754332，

所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的

有1人．

【例2】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参

加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，选择两

种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人．则接受调查的小学生共有（）

A．120人B．144人C．177人D．192人

【答案】A

【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合A、B、C表示，不

妨设总人数为n，选择舞蹈和唱歌的人数为x，选择舞蹈和体育的人数为y，选择唱歌和体育的人数

为z，利用容斥原理可求得n的值，即为所求.

【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，

不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合A、B、C表示，

则cardA63，cardB89，cardC47，cardABC24．

不妨设总人数为n，选择舞蹈和唱歌的人数为x，选择舞蹈和体育的人数为y，选择唱歌和体育的人

数为z，

则cardAB24x，cardAC24y，cardBC24z，xyz46．

由三个集合的容斥关系公式得

n15cardAcardBcardCcardABcardACcardBCcardABC

63894724x24y24z24151xyz105，

解得n120，故接受调查的小学生共有120人．

【练1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间

去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了

洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10

人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，

则只去了一个地方的有（）人

A．24B．26C．28D．30

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得.

【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合A，去了南山一棵树的同学组成集合B，去了磁器口的同学

组成集合C，

依题意，n(ABC)55,n(A)31,n(B)21,n(C)30,n(AB)10,n(BC)7，

而n(ABC)0，由容斥原理得55312130107n(AC)，

解得n(AC)10，所以只去了一个地方的有551071028(人).

【练2】（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比

赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益

智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三

项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为；同时参加田径和球类比赛的人数为

【答案】93

【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时

参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味

益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为x，列出方程计算即可．

【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15，

且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人；

同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人．

又因为没有人同时参加三项比赛，

所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：15339人．

设同时参加田径和球类比赛的人数为x，由题意得：

165x11xx28，

解得：x3，故同时参加田径和球类比赛的人数为3

【练3】（24-25高一上·重庆·期中）国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统计，

高一某班共45名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21人想报名语

文类选修课，有29人想报名数学类选修课，有28人想报名物理类选修课，同时想报名语文和数学

选修课的有10人，同时想报名数学和物理选修课的有15人，没有三类选修课都想报名的同学，则

只想报名物理选修课的同学有人．

【答案】5

【分析】设只想报名物理选修课的同学有x人，求得同时想报名语文和物理选修课的有13x人，只

想报名语文选修课的同学有x2人，只想报名数学选修课的同学有4人，由题意画出Venn图，再由

该班共有人数，列出方程，即可求解.

【详解】设只想报名物理选修课的同学有x人，

因为有28人想报名物理类选修课，

所以同时想报名语文和物理选修课的有2815x13x人，

因为有21人想报名语文类选修课，

则只想报名语文选修课的同学有211013xx2人，

因为有29人想报名数学类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人，

同时想报名数学和物理选修课的有15人，则只想报名数学选修课的同学有2910154人，

又没有三类选修课都想报名的同学，

由题意画出Venn图，如图所示：

因为该班共45名同学，

所以x213xx1541045，解得x5，

所以只想报名物理选修课的同学有5人.

【练4】（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有36名同学参加比赛，有26

人参加游泳比赛，有15人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有

6人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛

的有人.

【答案】8

【分析】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合A、B、C，设同时参加游

泳和球类比赛的学生人数为x人，作出韦恩图，根据题意可得出关于x的方程，解出x的值即可.

【详解】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合A、B、C，

设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为x人，由题意作出如下韦恩图，

由题意可得26549x44x36，解得x8.

因此，同时参加游泳和球类比赛的有8人.

【练5】（24-25高一上·重庆·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历

史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，

选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理

和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有人．

【答案】46

【分析】根据题意，把学生54人看成集合U，选择物理的人组成集合A，选择化学的人组成集合B，

选择生物的人组成集合C，结合Venn图和容斥原理可知，当cardABC取最大值时

cardABC最大，验证可得最终结果.

【详解】把学生54人看成集合U，选择物理的人组成集合A，

选择化学的人组成集合B，选择生物的人组成集合C.

由题意知cardU54,cardA36,cardB24,cardC20，

且cardAB18,cardBC10,cardCA16，

则cardABC10，

由cardABC

cardAcardBcardCcardABcardBCcardCAcardABC，

可得cardABC362420181016cardABC361046，

当且仅当cardABC10时，cardABC最大，此时cardABC46．

验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件．

故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有46人．

【练6】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、

历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，

选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理

和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人.

【答案】44

【分析】根据题意，设学生54人看成集合U，选择物理的人组成集合A，选择化学的人组成集合B，

选择生物的人组成集合C，结合Venn图与容斥原理可知，当cardABC取最大值时

cardABC最大，验证即可得.

【详解】把学生54人看成集合U，选择物理的人组成集合A，选择化学的人组成集合B，选择生物

的人组成集合C.

由题意知cardU54,cardA32,cardB24,cardC22，

且cardAB18,cardBC10,cardCA16，

则cardABC10，

由cardABC

cardAcardBcardCcardABcardBCcardCAcardABC，

可得cardABC322422181016cardABC341044，

当且仅当cardABC10时，即cardABC44.

验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件.

故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有44人.

【题型7】集合中的新定义问题

111

【例1】若xA且A就称A是伙伴关系集合，集合M1,0,,,1,2,3,4的所有非空子集中，

x32

具有伙伴关系的集合个数为（）

A．15B．16C．64D．128

【答案】A

11

【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有1，1，“3和”，“2和”四种可能，它们组成的非空子