2026秋北师大版高一数学同步备课讲义（必修一）2实际问题中的函数模型（题型专练）（原卷版）

2实际问题中的函数模型

题型一：指数、对数、幂函数模型的增长差异

1．下列函数中，增长速度最慢的是（）

A．y=2024xB．y=x2024

x

C．y=log2024xD．y=2024

x

fx=logxæ1ö

2．下面对函数1与gx=ç÷在区间0,+¥上的衰减情况的说法中正确的是（）

2è2ø

A．fx的衰减速度越来越慢，gx的衰减速度越来越快

B．fx的衰减速度越来越快，gx的衰减速度越来越慢

C．fx的衰减速度越来越慢，gx的衰减速度越来越慢

D．fx的衰减速度越来越快，gx的衰减速度越来越快

x

3．对于任意xÎm,+¥，不等式2-1>x>log3x都成立，则m的最小值为（）

A．1B．2

C．3D．4

yx

4．A,B,C三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间xx>0的函数关系式分别为yA=2-1，

1

yB=log2x+1，2，则下列结论中错误的是（）

yC=x

A．当x>1时，A总走在最前面

B．当0<x<1时，C总走在最前面

C．B不可能走在最前面，也不可能走在最后面

D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是A

题型二：根据实际问题增长率选择合适的函数模型

1．从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油Q（单位：L）与速度v（单位：

km/h)0£v£120的下列数据：

v0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（）

1

A．Q=+bB．Q=av3+bv2+cv

v+1

v

C．Q=0.5+aD．Q=klogav+b

2．在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据：

x35791113

y21.0121.1121.9930.03101.96749.36

在以下四个函数模型中，a,b为常数，最能反映x,y间函数关系的可能是（）

A．y=ax+bB．y=ax+b

2

C．y=ax+bD．y=logax+b

3．卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国7岁以下女童身高的中位

数y与年龄x之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国7岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能

反映这种变化趋势的函数模型是（）．

A．y=ax+ba>0,b>0B．y=ax2+ba>0,b>0

C．y=ax+ba>0,b>0D．y=aex+ba>0,b>0

4．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时

间t(单位：天)的数据如下表：

时间t50110250

种植成本Q150108150

2t

根据上表数据，函数①Q=at+b，②Q=at+bt+c，③Q=a×b，④Q=alogbt．能够描述西红柿种植成

本Q与上市时间t的变化关系是（）

A．①B．②

C．③D．④

题型四：建立拟合函数模型解决实际问题

1．“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”

之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间t(30£t£100)（单位：天）与增加总分数f(t)（单位：分）的函

kP1

数模型f(t)=,k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，f(60)=P.已知

1+lg(t+1)6

某学生在“百日冲刺”前的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分

为(lg61»1.79)（）

A．442B．452

C．462D．472

-kh

2．某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由p=p0e近似描述，其中p0为标

准大气压强，k为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．下表

为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（）

季节春季夏季秋季冬季

1.962.021.931.961.962.022.022.06

p0kPa(10,10](10,10](10,10](10,10]

（参考数据：lg2»0.301，lg3»0.477）

A．春季B．夏季

C．秋季D．冬季

3．“九章三号”是中国科学家研制的光量子计算原型机，求解特定问题比超算快一亿亿倍．“九章三

号”1微秒可算出的最复杂样本的速度与光量子的运动速度有很大关系．已知物体的运动速度与质量满足爱

m

m=0

2

因斯坦的运动质量公式ævö（m0表示物体的静止质量，c表示光速，v表示物体的运动速度），则

1-ç÷

ècø

（）

A．当一个粒子的运动速度为0时，其静止质量为0

B．当一个粒子的运动速度为光速的1时，其质量为静止质量的2倍

2

C．当一个粒子的运动速度接近光速时，其质量约为m0

D．当一个粒子的运动速度越大时，其质量越大

x

æ3ö

4．已知某微生物的种群数量N与培养时间x（单位：h）之间满足函数关系：N=80ç÷，一次实验中发

è2ø

现，在一定环境下，当种群数量是初始种群数量的200倍时，将达到该环境的最大容纳量，在达到环境最

大容纳量之前，需要实验人员提前进行人为干预，则该实验至多进行多少小时，需要实验人员的干预

（lg2»0.3010，lg3»0.4771）（）

A．11B．12

C．13D．14

题型四：利用二次函数模型解决实际问题

2

1．某公司在甲、乙两地销售某种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=-x+13x+12和L2=2x，其中x

为销售量（单位：辆）

（1）当销售量在什么范围时，甲地的销售利润不低于乙地的销售利润；

（2）若该公司在这两地共销售15辆车，则甲、乙两地各销售多少量时？该公司能获得利润y最大，最大利

润是多少？

2．某体育用品商场经营一批进价为40元的运动服,经市场调查发现销售量y（件）与销售单价x（元）符

合一次函数模型，且销售单价为60元时，销量是600件；当销售单价为64元时，销量是560件.

(1)写出销售量y（件）与销售单价x(元)之间的函数关系式y=f(x)；

(2)试求销售利润z（元）与销售单价x(元)之间的函数关系式；

(3)在(1)(2)条件下,当销售单价为多少元时,商场能获得最大利润?并求出此最大利润.

3．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内

ìa-4x,0<x£15

ï

共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万元，且R(x)=í5300b.当该

-,x>15

îïxx2

公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学

习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元.

(1)求a，b；

(2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；

(3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.

4．2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目

为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世

界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设

购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进

该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合

2500

作，以全新方式进行销售，此时利润Wx（万元）与销量x（万件）的关系为Wx=-x-+1000.

x+10

(1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润=销售收入-成本）

(2)写出利润Wx（万元）关于购进产品数量x（万件）的函数解析式；

(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？

题型一：几何模型中的函数问题

1．某民居有一阁楼，现要在阁楼（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设

其一边长为x（单位：米）.

(1)求窗户的面积S(x)，并求S(x)的最大值；

(2)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%.若阁楼的

窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小是多少平方米？

2．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的

函数图象如图所示，过线段OC上一点Tt,0作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)

内沙尘暴所经过的路程s(km)．

(1)当t=4时，求s的值；

(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；

(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴

发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．

¢

3．设矩形ABCD(AB>CD)的周长为20cm，其中AB=x，现将VABC沿AC向△ADC折叠至VABC的位

置，折过去后AB¢交DC于点P．

(1)设DP=m，求m关于x的函数m=fx的解析式及其定义域；

(2)求△ADP面积的最大值及相应x的值．

4．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AB上的一点，EB=a,(0<a<2)．F为线段ED上的一点，

FG^BC，垂足为G，FH^CD，垂足为H．

(1)设FG=x，求：矩形FGCH的面积S关于x的函数解析式及其定义域.

(2)求：矩形FGCH的面积S的最大值．

题型一：指数函数、对数函数模型的应用

1．《国家发展改革委等部门关于加强新能源汽车与电网融合互动的实施意见》中提出＂到2030年，我国车

网互动技术标准体系基本建成，市场机制更加完善，车网互动实现规模化应用，智能有序充电全面推广＂.

为此，某经营充电桩的公司调查了某地区在过去一年内（12个月），每月的充电桩总量Nx（单位：个）

与时间x（单位：月）的部分数据如下表所示：

x（单位：月）12⋯67⋯

Nx（单位：个）1624⋯110144⋯

(1)给出两个函数模型：Nx=max(m>0,a>1)与Nx=nx2+b(n>0,b>0)，请根据题干表格中第1，2

月的数据，确定这两个函数模型对应的解析式；

(2)在（1）的条件下，根据第6，7月数据，选出与监测数据差距较小的函数模型．

2．我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．在

物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强IW/cm2．但在实

际生活中，常用声音的声强级DdB来度量．为了描述声强级DdB与声强IW/cm2之间的函数关系，

经过多次测定，得到如下数据：

组别1234567

声强

10-112´10-113´10-114´10-1110-10①9´10-7

IW/cm2

声强级

1013.0114.7716.022040②

DdB

现有以下三种函数模型供选择：D=kI+b，D=a×I2+c，D=mlgI+n．

(1)试根据前4组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出

相应的解析式；

(2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①，②数据的值；

(3)已知发电机的噪声声强级一般在90,100，其声强为I1；电锯的噪声声强级一般在(100,110)，其声强为

2

I2；飞机起飞时发动机的噪声声强级一般在(135,145)，其声强为I3，试判断I1I3与I2的大小关系，并说明理

由．

3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温